四川省射洪县射洪中学高二下学期第二次月考数学(理)试题

射洪中学高2015级第四期第二学月考试
数学试题（理科）
命题人：宋光辉杨勇审题人：苏志全吴江本试卷分第I卷（选择题)和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷l至2页，第II卷 3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域
书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：（每小题5分，小计60分）
1.“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.椭圆的长轴长是（）
A. 2
B.
C. 4
D.
3.已知，则( )
A.-1 B．1 C.0 D．-2
4.下列各式正确的是（）
5.已知命题若，则全为零；命题若，则．给出
下列四个复合命题：①；②；③；④．其中真命题的个数是（）A．1 B．2
C．3 D．4
6.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如左图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()
7.直线在点处的切线与直线平行，则()
A．1 B．C．D．－1
8.若在上是减函数，则的取值范围是()
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
9.已知抛物线的准线与曲线相切，则的值为( )
A.2
B.1
C.
D.
10.设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且
，
则（）
11.设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，
，且
，则不等式
的解集是（ ） A. B. C. D.
12如图，
是椭圆与双曲线
的公共焦点，
分别是
，
在第
二、四象限的公共点．若四边形
为矩形，则
的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．23
D ．26
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
二、填空题（每小题5分，小计20分） 13.抛物线的准线方程为 .
14.函数
，则
= .
15.设点是双曲线（＞0，＞0）右支上一点，
分别是双曲线的左、
右焦点，为△
的内心，若
，则该双曲线的离心率是 .
16.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则
椭圆和双曲线离心率的倒数之和的最大值为 . 三、解答题（17题10分，18-22题12分，小计70分） 17.（本小题10分）已知曲线在点
处的切线平行于直线
，
且点
在第三象限，
(1)求
的坐标.
(2)若直线
，且也过切点，求直线的方程.
18.（本小题12分）已知命题：，命题：，若命题，
均为真命题，求实数的取值范围．
19.（本小题12分）已知椭圆的长轴是，焦点坐标分别是.
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.
20.（本小题12分）已知函数f(x)＝x2＋a ln x.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；
(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
21.（本小题12分）已知动圆C过定点(1，0)，且与直线x＝－1相切.
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当tan α·tan β＝1时，求证直线AB恒过一定点M，并求M坐标.
22.（本小题12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若.
(i) 求的最值；
(ii) 求四边形的面积.
射洪中学高2015级第四期第二学月考试
数学试题（理科）参考答案
一．选择题
BDBCB DACAB DD 二．填空题
13. 1-=x 14.1 15. 2 16.3
3
4 三．解答题
17.解：（1）设),(000y x P ，00<x 132+='x y ……………1分
由已知得： 4132
0=+x ，)(1100舍或=-=∴x x ……………4分 )4,1(,400---=∴P y ……………5分
（2）4
1
1-=∴⊥l k l l ……………6分
0174)1(4
1
4:=+++-=+∴y x x y l 即 ……………10分
18.解：若p 为真，则：30<<m ……………3分
若q 为真，则：120)2)(1(<>⇒>--m m m m 或 ……………6分 由已知得：假真q p ……………8分
则⎩⎨⎧≤≤<<2
130m m 21≤≤⇒m ……………12分 19.解：（1）由已知得：2,3==c a ……………2分 则1=b ……………3分
则椭圆方程为：13
22
=+y x ……………5分
（2）联立⎪⎩⎪
⎨⎧=++=13
2
2y x m x y 得：0336422=-++m mx x ……………8分 由已知得：0)33(163622>--=∆m m 解得：22<<-m ……………12分
20.解：（1）当x x x f a ln 2)(22-=-=时， ……………1分 定义域为),0(+∞
x
x x x x f 2
222)(2-=-=' ……………3分
令)1,0()(110)(的减区间为得x f x x f ∴<<-<' ……………6分
（2）x x a x x g ++=ln )(2
，x
a
x x x a x x g ++=++='2212)( ……………8分
由已知得：),1[0)(+∞≥'在x g 上恒成立 则),1[,)2(max 2+∞∈--≥x x x a 则3-≥a ……………12分
21.解：（Ⅰ） (1)设动圆圆心M (x ，y )，依题意点M 的轨迹是以(1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x . ……………5分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由题意得x 1≠x 2且x 1x 2≠0，则x 1＝y 214，x 2＝y 22
4，
所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，
则将y ＝kx ＋b 与y 2＝4x 联立消去x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0. ……………6分 由根与系数关系得y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4b
k ， ……………8分 因为tan α·tan β＝1，所以y 1x 1
·y 2
x 2
＝1，x 1x 2－y 1y 2＝0，
解得y 1y 2＝16，又y 1y 2＝4b
k 所以b ＝4k ；
因此直线AB 的方程可表示为y ＝kx ＋4k ， ……………10分 所以直线AB 恒过定点M (－4，0). ……………12分
22.解:(1)由题意22=
=
a c e ,12
422=+b
a ,又222c
b a +=, 解得4,82
2
==b a ,椭圆的标准方程为14
82
2=+y x ……………4分
(2)设直线AB 的方程为m kx y +=,设),(),,(2211y x B y x A
联立⎩⎨⎧=++=8
22
2y x m
kx y ,得0824)21(222=-+++m kmx x k ……………5分 ()2
222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（）………①
⎪⎩⎪⎨⎧+-=
+-=+22
212
212182214k m x x k km x x ， 2122-=-=⋅a b k k OB
OA ，2
12121-=∴x x y y ，
2
2222121214
21822121k
m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴， 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=
=2
2
222
2142182m k km km k m k ++-++-222812m k k -=
+， 2
2
222218214k
k m k m +-=+--∴， 2228)4(k m m -=--∴
2242k m ∴+=……………6分
(i)2121y y x x OB OA +=⋅
222222222
28444244
21212121212m m m k k k k k k
---+-=-===-+++++ 2242OA OB ∴-=-≤⋅< ……………8分
当k =0(此时22=m 满足①式),即直线AB 平行于x 轴时,OA ⋅的最小值为-2. 又直线AB 的斜率不存在时2OA OB ⋅=,所以OB ⋅的最大值为2 …………9分 (ii)设原点到直线AB 的距离为d ,则
22442)4(16642||21824
2142||4)(2||1||||121||21222
222222
2212
212
122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=
∆m k m
m m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB 284==∴∆AOB ABCD S S 四边形. ……………………12分。