高考数学理科二轮复习规范答题示例2导数与不等式的恒成立问题

规范答题示例 2导数与不等式的恒建立问题
典例 2(12 分 )设函数 f(x)＝e mx＋ x2－mx.
(1)证明： f(x)在 (－∞， 0)上单一递减，在 (0，＋∞ )上单一递加；
(2)若关于随意 x1， x2∈ [－ 1,1] ，都有 |f(x1)－ f(x2)|≤ e－ 1，求 m 的取值范围．
审题路线图 (1) 求导 f ′ x ＝ m e mx－ 1 ＋ 2x →议论 m确立 f′ x 的符号→证明结论
(2)条件转变为 |f x1
联合 1知 f 1 － f 0 ≤e－ 1，
－ f x2 | max≤ e－1 ――――→→
f x min＝f 0 f － 1 － f 0 ≤ e－ 1
m
e－ m≤ e－ 1，
→结构函数 g t ＝ e t－ t－ e＋ 1→研究 g t 的单一性→－m
＋ m≤ e－ 1
e
追求g m ≤0，
的条件→对 m议论得合适条件的范围
g－ m ≤ 0
规范解答·分步得分建立答题模板
(1) 证明f′ (x)＝ m(e mx－ 1)＋ 2x.1 分第一步
若 m≥ 0，则当 x∈ (－∞， 0)时， e mx－ 1≤ 0， f′( x)＜0；求导数：一般先确立函数当 x∈ (0，＋∞ )时， e mx－ 1≥ 0， f′ (x)＞ 0.的定义域，再求 f′ (x)．若 m＜ 0，则当 x∈ (－∞， 0)时， e mx－ 1＞ 0， f′( x)＜0；第二步
当 x∈ (0，＋∞ )时， e mx－ 1＜ 0， f′ (x)＞ 0.4 分定区间：依据 f ′ (x)的符所以， f(x)在( －∞， 0)上单一递减，在 (0，＋∞ )上单一递加 .6 分号确立函数的单一区间．(2) 解由 (1)知，对随意的 m， f(x)在 [ －1,0] 上单一递减，在 [0,1]第三步
上单一递加，寻条件：一般将恒建立问故 f(x)在 x＝ 0 处获得最小值．题转变为函数的最值问
所以关于随意 x1，x2∈ [ －1,1] ，|f(x1)－f(x2)|≤ e－ 1 的充要条件是题．
f 1 － f 0 ≤ e－ 1，第四步
8 分
f － 1 － f 0 ≤ e－1，写步骤：经过函数单一性
e m－ m≤ e－ 1，探究函数最值，关于最值即
－m
①
可能在两点取到的恒成
e ＋ m≤e－ 1.
设函数 g(t)＝ e t－ t－ e＋ 1，则 g′(t)＝ e t－ 1.9 分立问题，可转变为不等式当 t＜ 0时， g′ (t)＜ 0；当 t＞ 0 时， g′ (t)＞ 0.组恒建立．
故 g(t)在 (－∞， 0)上单一递减，在 (0，＋∞ )上单一递加．第五步
－ 1
再反省：查察能否注意定又 g(1) ＝ 0， g( －1) ＝e ＋2－ e＜ 0，故当 t∈ [－ 1,1] 时， g(t)≤ 0.
当 m∈ [－ 1,1] 时， g(m)≤ 0， g(－m)≤ 0，即①式建立； 10 分义域、区间的写法、最值
当 m ＞ 1 ，由 g(t)的 性，得
g(m)＞ 0，即 e m －m ＞e － 1；
点的探究能否合理等 .
当 m ＜－ 1 ， g(－ m)＞ 0，即 e －
m ＋ m ＞e － 1.11 分
上， m 的取 范 是 [－ 1,1].12 分
分 (1)求出 数 1 分；
(2) 遗漏 m ＝ 0 扣 1 分；两种状况只 正确一种
2 分；
(3) 确立 f ′ (x)符号 只有 无中 程扣 1 分；
(4) 写出 f(x)在 x ＝ 0 获得最小 1 分；
(5) 无最后 扣 1 分；
(6) 其余方法结构函数同 分．
追踪演 2
已知函数 f(x)＝
ln x ＋ 1
.
x
(1) 求函数 f(x)的 区 和极 ；
(2) 若 随意的 x>1，恒有 ln(x － 1)＋ k ＋ 1≤ kx 建立，求 k 的取 范 ；
(3) 明：
ln 2 ln 3 ＋⋯＋ ln n 2n 2
－n － 1 *
， n ≥2) ．
22 ＋ 3 2 2 <
4 n ＋ 1 (n ∈N n
ln x
(1) 解 f ′ (x)＝－ x 2 ，由 f ′ (x)＝ 0? x ＝ 1，列表以下：
x (0,1) 1 (1，＋∞ )
f ′ (x)
＋ 0 － f(x)
增
极大
减
所以函数 f(x)的增区 (0,1) ，减区 (1，＋∞ )，极大
f(1)＝ 1，无极小 ．
(2) 解 因 x>1，ln( x － 1)＋ k ＋1≤ kx?
ln x － 1
＋ 1
≤k? f(x － 1)≤ k ，x － 1
所以 f( x －1) max ≤ k ，所以 k ≥ 1.
(3) 明
由 (1) 可得 f(x) ＝
ln x ＋1
≤ f(x)max ＝f(1)＝ 1? ln x ≤ 1－ 1，
x
x
x
当且 当 x ＝1 取等号．
令 x ＝ n 2 (n ∈ N * ，n ≥ 2)．
ln n 2
1 ln n 1
1 1
1 1 1 1
n 2 <1－ n 2? n 2 <2 1－ n
2
<
2
1－ n n ＋ 1 ＝ 2 1－ n
＋
n ＋ 1 (n ≥ 2)，
ln 2 ln 3
ln n 1
1 1 1 1 1
1 1 1
所以 22 ＋ 32
＋⋯＋ n 2
<2 1－ 2＋
3 ＋ 2 1－ 3＋
4 ＋⋯＋ 2 1－ n ＋ n ＋ 1
＝1
n － 1＋
1 － 1 2
－ n － 1
＝2n n ＋1
.
2 n ＋ 1 2 4。