2015高考总复习数学(文)课件：1.1 集合的含义与基本关系

1.集合的含义与表示 确定性 、________ 无序性 互异性 和________. (1)集合元素的三个特征：________ 属于 或________ 不属于 ，用符号“∈ (2)元素与集合的关系是______ ____” 或“____”表示.
列举法 、________ 描述法 、图示法. (3)集合的表示法：________
(2)集合的运算性质： 并集的性质：A∪∅＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A∪B＝
A⇔B⊆A.
交集的性质：A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B＝
A⇔A⊆B；
补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁U (A
∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U (A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B).
根据子集的定义，集合 C 必须含有元素 1、2，且可能含有元素 3、
4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有 22＝4 个.故选 D.
4.(2012 年全国)已知集合 A＝{1,3， m}，B＝{1，m} ，A ∪B＝A，则 m＝( A.0 或 3
B )
B.0 或 3
C.1 或 3 D.1 或 3 解析：因为 A∪B＝A，所以 B⊆A，所以 m＝3 或 m＝ m.
【互动探究】 3.(2012 年湖北)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，
B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件 A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为
(D )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：求解一元二次方程，得 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝
{1,2}，易知 B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1,2,3,4}.因为 A⊆C⊆B，所以
实数 m 的取值范围.
解：(1)①当 m＋1＞2m－1， 即 m＜2 时，B＝∅.满足 B⊆A.
②当 m＋1≤2m－1，即 m≥2 时，要使 B⊆A 成立，
m＋1≥－2， 需 2m－1≤5，
可得 2≤m≤3.
综上所述，当 m≤3 时有 B⊆A.
(2)∵x∈R，且 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－ 1}， 没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立.即 A∩B＝∅. ①若 B＝∅，即 m＋1＞2m－1，得 m＜2 时满足条件. ②若 B≠∅，则要满足条件有：
2x－x2}，B＝{y|y＝3x(x>0)}，则 A#B 为(
)
图 1-1-30≤x≤1 或 x≥2}
B.{x|1<x≤2}
D.{x|0≤x≤1 或 x>2}
解析： A＝{x|y＝ 2x－x2}＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}， B ＝ {y|y ＝ 3x(x>0)} ＝ {y|y>1} ， 则 A ∪ B ＝ {x|x≥0}.A∩B ＝ {x|1<x≤2}.根据新运算，得 A#B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1 或 x>2}.故选 D.
方法二， ∁UA＝{3,4}， ∁UB＝{1,4} ， ∁U(A∪B)＝∁UA∩∁UB
＝{4}.故选 D.
考点1 集合的运算 例 1：(2012 年辽宁)已知全集 U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集 合 A＝{0,1,3,5,8}，集合 B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)为( A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} 解析：因为全集U ＝ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ， 集合 A ＝ {0,1,3,7,9}，所以(∁U A)∩(∁U B)为{7,9}.故选 B. 答案：B 【方法与技巧】本题主要考查集合的交集、补集运算，属 于容易题.利用性质(∁U A)∩(∁U B)＝∁U (A∪B)为最佳选择. )
2n ③若集合 A 有 n 个元素，则 A 的子集数为________. 3.集合的运算及其性质 (1)集合的运算：
{x|x∈A 且 x∈B} ①交集：A∩B＝________________.
{x|x∈A 或 x∈B} ②并集：A∪B＝________________. {x|x∈U 且 x A} ③补集：∁U A＝________________.
6. 对任意两个正整数 m ， n ，定义某种运算⊕： m ⊕ n ＝
m＋n，m与n奇偶性相同， mn， m与n奇偶性不同，
则集合 P＝{(a，b)|a⊕b＝8，a，
b∈N* }中元素的个数为( C )
A.5 个 B.7 个 C.9 个 D.11 个
解析：当 a，b 奇偶性相同时，a⊕b＝a＋b＝1＋7＝2＋6
D.{1，－1}
3.已知集合 A＝{x|x2<1}，B＝{a}，若 A∩B＝∅，则 a 的取 值范围是( B ) B.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.[－1,1]
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－1,1)
4.(2012 年广东汕头检测) 已 知 全 集 U ＝ R ， 集 合 A ＝ {1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图 1-1-1 中阴影部分所表示的 集合为( A )
m＋1≤2m－1， m＋1>5， m＋1≤2m－1， 或 2m－1<－2，
解得 m＞4. 综上所述，实数 m 的取值范围为有 m＜2 或 m＞4.
【方法与技巧】(1)空集是任何集合的子集，因此当 B⊆A
时需考虑 B＝∅的情形；(2)当 A∩B＝∅时也需考虑 B＝∅的情形， 如果集合 B 不是空集，要保证 B⊆A，可以利用数轴，这样既直 观又简洁；(3)虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况讨论， 在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论 结果的并集，因此本题综合性比较强.
若 m＝3， 则 A＝{1,3， 3}， B＝{1,3}， 满足 A∪B＝A.若 m＝ m， 解得 m＝0 或 m＝1.若 m＝0，则 A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足 A ∪B＝A.若 m＝1，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，显然不成立. 综上 m ＝0 或 m＝3.
考点 3 与集合有关的新概念问题 例 3：如图 1-1-3 所示的韦恩图中，A，B 是非空集合，定 义集合 A#B 为阴影部分表示的集合. 若 x ，y ∈R ，A ＝{x|y ＝
答案：D
【方法与技巧】根据图形语言可知定义的 A#B 可转化为
A#B＝∁A∪B(A∩B).所以需要求出和，借助数轴求出并集与交集.
解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算 解出.
【互动探究】 5.(2013 年山东)已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{x－y|x∈
A，y∈A}中元素的个数是( C )
(4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N＋)；整数集 Z； 有理数集 Q；实数集 R.
2.集合间的基本关系
(1)对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中任何一个元素都是
集合 B 的元素，则称集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合
A⊆B⇔若 a∈A，则 a∈B A，记作 A⊆B 或 B⊇A.用符号表达即“______________________”.
2.已知集合 M＝{x|y＝ 3－x2}，N＝{x||x＋1|≤2}，且 M， N 都是全集 I 的子集， 则图 112 的韦恩图中阴影部分表示的集
合为( C )
图 1-1-2
A.{x|－ 3≤x≤1} C.{x|－3≤x<－ 3} B.{x|－3≤x≤1} D.{x|1<x≤ 3}
考点 2 集合间的基本关系 例 2：集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}. (1)若 B⊆A，求实数 m 的取值范围； (2)当 x∈R 时，没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立，求
{0,1,3,5,8}，集合 B＝{2,4,5,6,8}，所以∁U A＝{2,4,6,7,9}，∁U B＝
【互动探究】 1.(2013 年江西)若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一 个元素，则 a＝( A ) A.4 C.0 B.2 D.0 或 4
解析：若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}只有一个元素，则 方程 ax2＋ax＋1＝0 只有一个实数根，当 a＝0 时，方程无根； 当Δ＝a2－4a＝0 ，即 a＝4 或 a＝0(舍)时成立.故选 A.
＝3＋5＝4＋4.当 a，b 奇偶性不同时，a⊕b＝ab＝1×8，由于(a，
b)有序，故共有元素 4×2＋1＝9(个).
(2)空集及其性质： 子集 ，其中“任何集合”当然也包 ①空集是任何集合的______
括了∅，故有∅⊆∅. 真子集 ，即∅ ②空集是任何非空集合的________
A(而 A≠∅).
(3)子集的有关性质： ①A＝B⇔_______________. A⊆B 且 B⊆A
A⊆C ②A⊆B，B⊆C⇒___________.
1.非空集合 A，B 满足 A⊆B，则(
A.∂x0∈A，使得 x0 B.∀x∈A，有 x∈B C.∂x0∈B，使得 x0 D.∀x∈B，有 x∈A
B )
B
A
2.集合 A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则 A∩B 是( C ) A.(1，－1) C.{(1，－1)}
x＝1， B. y＝－1
图 1-1-1 A.{1} C.{1,2} B.{0,1} D.{0,1,2}
5.(2013 年重庆)已知集合 U＝{1,2,3,4}，集合 A＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A∪B)＝( D ) A.{1,3,4} B.{3,4} D.{4}
C.{3}
解析： 方法一， 因为 U＝{1,2,3,4}， 集合 A＝{1,2}， B＝{2,3}， A∪B＝{1,2,3}，则∁U(A∪B)＝{4}.故选 D.
A.1 个 B.3 个 C.5 个 D.9 个 解析：∵A＝{0,1,2}，B＝{x－y|x∈A，y∈A}， ∴当 x＝0，y 分别取 0,1,2 时，x－y 的值分别为 0，－1， －2；
当 x＝1，y 分别取 0,1,2 时，x－y 的值分别为 1,0，－1；
当 x＝2，y 分别取 0,1,2 时，x－y 的值分别为 2,1,0； ∴B＝{－2，－1,0,1,2}， ∴集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 5 个.
第一章 集合与逻辑用语
第1讲 集合的含义与基本关系
考纲要求 考情风向标 1.集合的含义与表示. (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于” 关 纵观近几年的高考情况，可以看出 本专题高考考查的特点及规律：一般都 系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举 是基础题，难度不大，大多出现在选择 题及填空题的前三分之一位置，但也有 法或描述法)描述不同的具体问题. 少数年份出现在选择题的后两题.预测 2.集合间的基本关系. (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别 2015 年高考仍将以集合的交、并、补 集运算为主要考点，考查学生对集合概 给 念的认识和理解，如集合与元素，集合 定集合的子集. (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义. 与集合之间的关系及运算；也可以集合 知识为依托考查其他知识，如方程、不 3.集合的基本运算. (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求 等式等，在考查其他知识的同时，突出 考查准确使用数学语言的能力和运用 两 数形结合的思想解决问题的能力；定义 个简单集合的并集与交集. 新运算在集合方面是一个新型的集合 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 问题，应予以重视. 会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运 算.