人教A版高中数学必修五高二上学期寒假作业(四)Word版含答案.docx

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2015高二数学寒假作业（四）
一、选择题
1、椭圆x 2m + y 2
4 = 1 的焦距为2,则m 的值等于 （ ） A.5或3
（B ）8
（C ）5
（D ）16
2、设双曲线22
22b
y a x -=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知
原点到直线l 的距离为
4
3
c ，则双曲线的离心率为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．
2 D ．
33
2 3、已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ）
A ．)4,1,3(--
B ．)4,1,3(---
C ．)4,1,3(
D ．)4,1,3(--
4、空间四边形OABC 中，OB OC =，3
AOB AOC π
∠=∠=
，则cos <,OA BC >的值
是（ ） A ．
21 B ．22 C ．－2
1
D ．0
5、已知)1,1,21
()3,21,1(,==b a ，且b a ,均在平面α 内，直线l 的方向向量)1,0,2
1(=υ，则( )
A ．l ⊂α
B ．l 与α 相交
C ．l ∥α
D ．l ⊂α 或l ∥α
6、如图所示，ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点，则MN 与平面PCD 所成角的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
二、填空
7、方程x 224–k + y 2
16 + k = 1 表示椭圆，则k 的取值范围是 .
8、已知向量=OA (1，－7，8)，=OB (0，14，16)，)cos 8
1,sin 71,2(αα=c ，α∈ (0，π)，若⊥c 平面OAB ，则＝α__________________． 9、已知PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，PA ＝3，AB ＝2，3=
BC ，则二面角P －BD －A
的正切值为______． 三、解答题
10、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．
(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·
OB 的值； (2)如果OA ·
OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．
11、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AD ＝DC ＝3，在线段A 1C 1上有一点Q ，且
1113
1
A C Q C =，求平面QDC 与平面A 1DC 所成锐二面角的大小．
12、如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截
面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ====. （Ⅰ）求BF 的长；
（Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离.
2015高二数学寒假作业（四）参考答案一、选择题
1~6 AAADBD
二、填空
7、(–16, 4) (4, 24).
8、
4
π3
9、2
21
三、解答题
10、解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l∶x＝ty＋1代入抛物线y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3
(2)证明：设l∶x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，
∴b＝2，
∴直线l过定点(2,0)．
11、解：建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，
)1,3
,0(
),1,0,3
(
),0,3
.0(
1
1
C
A
C．
)
1,332,33(,31111Q A C Q C ∴=．
设平面A 1CD ，平面QCD 的一个法向量分别为
)
,,(111z y x n =，
)
,,(222z y x m =
由⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨
⎧==⋅⋅03,
00
,01111z x y DA n DC
n
令x 1＝1，∴z 1＝.3-
∴).3,0,1(-=n
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨
⎧==⋅⋅033,0,0,02
22
z x y DQ m DC m 令x 2＝1，∴z 1＝
33
-
．
∴
)33,0,1(-
=m 6π
,2332211||||,cos >=
∴<=⨯+=>=<⋅⋅m n m n m n m n ．
即平面QDC 与平面A 1DC 所成锐二面角为6π
．
12、解：（I ）建立如图所
示的空间直角坐标系，则(0,0,D ，
(2,4,0)B
1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C …
设(0,0,)F z .∵1AEC F 为平行四边形，
11,
,(2,0,)(2,0,2),2.(0,0,2).(2,4,2).
||26,2 6.
A EC F A F EC z z F BF BF BF \\=-=-\=\\=--=uuu r uuu u r
uuu r
uuu r
由为平行四边形由得于是即的长为
（II ）设1n 为平面1AEC F 的法向量，
)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ⎩
⎨
⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020
140,0,011y x y x AF n AE n 得由 ⎪⎩
⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.
41,
1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为α，则 .33
33
4116
1
133|
|||cos 1111=++
⨯=
⋅⋅=
n CC n CC α ∴C 到平面1AEC F 的距离为
.11
33
4333343cos ||1=⨯
==αCC d。