余弦定理和正弦定理的变形与应用

余弦定理和正弦定理的变形与应用
潘祠军 (湖北省荆门市东宝中学,448000)
设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，由余弦定理与正弦定理得出：
222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B C +-=
222sin sin sin 2sin sin cos B C A B C A
+-=222sin sin sin 2sin sin cos C A B C A B +-=
上述公式有着广泛的应用，但是由于限定了A 、B 、C 是三角形的三个内角，使其应用受到了一定的局限.为此，本文将其拓广，使其用途更广，由于上述公式是轮换式，因此我们只研究（1）式
我们先将结论拓广为以下结论：
定理一.若实数α、β、γ满足αβγπ++=，则有下列结论成立
222sin sin sin 2sin sin cos αβγαβγ+-=
证明：∵αβγπ++=，∴()γπαβ=-+，于是cos cos()γαβ=-+ 又∵22221cos 21cos 2sin sin sin (1cos )22
αβαβγγ--+-=+-- 21cos (cos 2cos 2)cos cos()cos()cos()2
γαβγαβαβαβ=-+=-+--+ cos [cos()cos()]2sin sin cos γαβαβαβγ=-+--=.
∴222
sin sin sin 2sin sin cos αβγαβγ+-=.
定理二. 若实数α、β、γ满足k αβγπ++=（k Z ∈），则有下列结论成立 2221sin sin sin 2(1)sin sin cos k αβγαβγ-+-=⋅-⋅.
证明：∵k αβγπ++=，∴[(1)]k αβγππ++--=，由定理一可知
∴222sin sin sin [(1)]2sin sin cos[(1)]k k αβγπαβγπ+---=--
即2221sin sin sin 2(1)sin sin cos k αβγαβγ-+-=⋅-⋅.
定理三. 若实数α、β、γ满足k αβγπ++=（k Z ∈），则有下列结论成立
222cos cos cos 12(1)cos cos cos k αβγαβγ++=+⋅-⋅.
证明：∵k αβγπ++=，∴()()[(1)]22k ππ
αβγππ++-+--=，由定理一可知222sin ()sin ()sin [(1)]2sin()sin()cos[(1)]2222
k k ππππαβγπαβγπ++----=+---即222cos cos cos 12(1)cos cos cos k αβγαβγ++=+⋅-⋅.
定理的应用
例1.解方程222cos cos 2cos 31x x x ++=
解：由定理三可得222cos cos 2cos 312cos cos 2cos3x x x x x x ++=++
且222cos cos 2cos 31x x x ++=，∴cos cos2cos30x x x =，
∴cos 0x =或cos20x =或cos30x = 即2x k π
π=+，或24k x ππ=+，或36
k x ππ=+. 例2.在ABC ∆中，已知cos3cos3cos31A B C ++=，求证：ABC ∆中，必有一角为120. 证明：设32A α=-，31802B β=-，3902
C γ=-. 于是0αβγ++=，（∵180A B C ++=），由定理二和诱导公式可得
222333333sin sin cos 2sin sin sin 222222
A B C A B C +-=1[1(cos3cos3cos3)]2
A B C =-++ 又∵cos3cos3cos31A B C ++=，
∴3332sin
sin sin 0222
A B C = 从而，32A ，32B ，32C 中，必有一个为180，于是ABC ∆中，必有一角为120. 例3.设α，β为锐角，且22sin sin sin()αβαβ+=+.求证2παβ+=
.
证明：∵()0αβαβ++--=，由定理2与定理3可得 222sin sin sin ()2sin sin cos()αβαβαβαβ+-+=-+
222cos cos cos ()12cos cos cos()αβαβαβαβ+++=++
又因为22
sin sin sin()αβαβ+=+，所以上述两式可变形为
2sin ()sin()cos()2sin sin αβαβαβαβ
+-++=，即cos()0αβ+≤. 1sin()cos()2cos cos αβαβαβ
-++=，即cos()0αβ+≥. 于是，cos()0αβ+=，
又因为0)αβπ<+<，所以2παβ+=
.
注：联系人——潘祠军：电话，地址：邮编448000。