微分几何初步 课后答案(陈维桓 著) 北京大学出版社
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z
4.求曲线 r r (t ) ,使得 r (0) (1, 0, 5), r (t ) (t , t , e ) .
2
t
解：由 r (t ) (t , t , e ) 可得 r (t ) ( t , t , e ) c , c 为常向量.
2
t
当 t 0 , r (0) (0, 0,1) c (1, 0, 5)
c12 c2 2 c32 1
则 c1 c3 a
2 , c2 0 . 2 2 2 , 0, ) 的方向始终成定角 . 2 2 4
所以, r (t ) 的切线与 (
l 是曲 3.设平面曲线 c 与同一平面的一条曲线 l 相交于正则点 P ,且落在直线 l 的一侧.证明： 线 c 在点 P 的切线.
证明：设曲线 c ： r r (t ) ,点 P 对应 t t0 . 在 c 与 l 所 在 平 面 内 , 作 l1 / / l , 记 l1 c r r (t ) | t t0 t11 , t0 t12
.再作
li / / l ,s.t. dist (li 1 , li ) dist (l , li ) ,记 li c r r (t ) | t t0 ti1 , t0 ti 2 , i 2,3, 4,
y y (t ) y (h( x)) f ( x) , z z (t ) z (h( x)) g ( x) .
即曲线在 t0 的一个邻域内可表示成 y f ( x) , z g ( x) .
5.求曲线
x2 y 2 z 2 1 , z 0 的参数方程. 2 2 x y x
1 2 1 1 1 1 cos t , sin t , cos t ) . 2 2 2 2
所以,该曲线的参数方程为 r (t ) (
§2.2 曲线的弧长 1.设下面的常数 a 0 ,求曲线在指定范围内的弧长： （1） r (t ) ( acht , asht , at ) , 0 t b . （2）悬链线 y ach
t
,在 t 0 处,其中 ab 0 .
解： （1） r (t ) a sin t , a cos t , b , r (t )= a cos t , a sin t , 0 ,
r (t ) r (t ) ab sin t , ab cos t , a 2 .
（3）曳物线 r (t ) (a cos t , a ln(sec t tan t ) a sin t ) , 0, t . 解： （1） r (t ) ( asht , acht , a ),| r (t ) |
x , 0, x . a
a 2 ( sh 2t ch 2t 1) 2acht.
这样有, l / / l1 / / l2 / / / / ln / / , ln l .
r (t0 tn 2 ) r (t0 tn1 ) / /l . tn1 tn 2
r (t0 tn 2 ) r (t0 tn1 ) 由 P 为正则点,可知 r (t0 ) 存在, r (t0 ) tn1 tn 2 l / / r (t0 ) ,即 l 是 c 在点 P 的切线.
2a 4 2a 2 2a 2 r (t ) r (t ) t4 , t3 , t2 . | r (t ) r (t ) | 2t 2 . 2 3 2 a t 1 | r (t t ), r (t ) 6t , 6, 6t ,
2 2
r (t ) r (t ) 8 t 2 1, 2t , t 2 1 . | r (t ) r (t ) | 1 . 2 3 2 3 t 1 | r (t ) |
（3） r (t ) ( a 1 cos t , a sin t , b), r (t ) a sin t , a cos t , 0 ,
| r (t ) r (t ) | 3 . 3 25 | sin t cos t | | r (t ) |
2.求曲线的密切平面方程： （1） r (t )= a cos t , a sin t , bt , a b 0.
2 2
（2） r (t )= a cos t , b sin t , e
d r d r dt d r 1 1 (a sin t , a cos t , b). ds dt ds dt | r (t ) | a 2 b2
（2） r (t ) ( 3cos t sin t ,3sin t cos t , 2sin 2t )
( x, y, z ) 的弧长.
t t , y bsh a a t t c 的参数方程为 r (t ) (ach , bsh , t ) a a t b t r (t ) ( sh , ch ,1) a a a
解： ：令 z t ,则 x ach
z a 2 b2 t z ch dt a 2 b 2 sh s | r (t ) | dt 0 0 a a a
4.证 明 ： 若 曲 线 r (t ) 在 点 t0 有 x(t0 ) 0 , 则 该 曲 线 在 t0 的 一 个 邻 域 内 可 表 示 成
y f ( x) , z g ( x) .
证明： 因 x(t0 ) 0 ,不妨设 x(t0 ) 0 ,则存在 t0 的一个邻域 (t0 ) ,使得 x x(t ) 在 (t0 ) 内 连续且严格递增.从而在 (t0 ) 内存在 x x(t ) 的反函数,设为 t h( x) .所以,在 (t0 ) 内,
1 3
3
1 2
2
t
c (1, 0, 6). 1 1 r (t ) ( t 3 1, t 2 , et 6). 3 2
§2.3 曲线的曲率和 Frenet 标架 1.求曲线的曲率：
a . a 0 t 3 2 3 （2） r = 3t t ,3t ,3t t .
2 2
dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
3.设曲线 c 是下面两个曲面的交线：
x2 y 2 z 2 1, x ach , a, b 0. 求 c 从点 (a, 0, 0) 到点 2 a b a
-| MC |= rt r sin t x(t ) =| OC |-| MC |= MC
y (t ) =| CC |-| CN |= r r cos t
所以, M = (rt r sin t , r r cos t ) .
2.证明：曲线的切线与某个确定的方向成定角. 证 明 ： r (t ) (3, 6t , 6t ) , 单 位 切 向 量 r * (t )
（1） r = at , a 2 ln t , （3） r = a t sin t , a 1 cos t , bt . a 0 （4） r = cos t ,sin t , cos 2t . 解： （1） r (t ) (a,
3
3
2a a 2a 2a , 2 ), r (t ) 0, 2 , 3 , t t t t
（4） r (t ) ( 3cos t sin t ,3sin t cos t , 2sin 2t ),
2 2
r (t ) 6 cos t sin 2 t 3cos3 t , 6sin t cos 2 t 3sin 3 t , 4 cos 2t ,
r (t ) r (t ) 12sin 2 t cos3 t , 12sin 3 t cos 2 t , 9sin 2 t cos 2 t .
dr 2. 求下列曲线的单位切向量场 ： ds
（1）圆螺旋线 r (t ) (a cos t , a sin t , bt ), a 0. （2） r (t ) (cos t ,sin t , cos 2t ).
3 3
解： （1） r (t ) ( a sin t , a cos t , b)
r (t ) r (t ) ab cos t , ab sin t , a 2 cos t 1 .
t a b 2 4a 2 sin 4 | r (t ) r (t ) | 2. 3 3 2 | r (t ) | 2 2 2 t b 4a sin 2
§2.1 参数曲线 1.将一个半径为 r 的圆盘在 XY 平面内沿 X 轴作无滑动的滚动,写出圆盘上一点的轨迹方程 （此曲线称为旋轮线,or 摆线）. 解：设初始位置时,圆盘中心 C(0,r) ,考虑点 M(0,0) 的运动轨迹.设 CM 转过的弧度为 t , C 与 M 在 X 轴上的投影为 C 、 M , M 在 CC 上的投影为 N ,则若设 M=( x(t ), y (t )) ,有
x2 y 2 z 2 1 x2 y 2 z 2 1 解： 1 2 1 2 2 2 x y x ( x ) y 2 4
令y
1 1 1 1 1 sin t ,则 x cos t , z cos t , 0 t 2 . 2 2 2 2 2
2
C (c1 , c2 , c3 ) 成定角,则
1 2 , 若 r t t (1, 2 , 2 ) * (t ) 与 单 位 常向 量 1 2t 2
cos (r* (t ), C ) r * (t ) C
1 (c1 2c2t 2c3t 2 ) a , a 为常数 2 1 2t
b b s | r (t ) | dt 2a chtdt 2ashb. 0 0
（2） 令x t , 则y ach
t t t , r (t ) (t , ach ), r (t ) (1, sh ). a a a
x x t x s | r (t ) | dt 1 sh 2 dt ash . 0 0 a a 1 （3） r (t ) ( a sin t , a ( cos t )) cos t t t 1 s | r (t ) | dt a 2 sin 2 t a 2 ( 2 cos 2 t 2)dt a ln cos t. 0 0 cos t
4.求曲线 r r (t ) ,使得 r (0) (1, 0, 5), r (t ) (t , t , e ) .
2
t
解：由 r (t ) (t , t , e ) 可得 r (t ) ( t , t , e ) c , c 为常向量.
2
t
当 t 0 , r (0) (0, 0,1) c (1, 0, 5)
c12 c2 2 c32 1
则 c1 c3 a
2 , c2 0 . 2 2 2 , 0, ) 的方向始终成定角 . 2 2 4
所以, r (t ) 的切线与 (
l 是曲 3.设平面曲线 c 与同一平面的一条曲线 l 相交于正则点 P ,且落在直线 l 的一侧.证明： 线 c 在点 P 的切线.
证明：设曲线 c ： r r (t ) ,点 P 对应 t t0 . 在 c 与 l 所 在 平 面 内 , 作 l1 / / l , 记 l1 c r r (t ) | t t0 t11 , t0 t12
.再作
li / / l ,s.t. dist (li 1 , li ) dist (l , li ) ,记 li c r r (t ) | t t0 ti1 , t0 ti 2 , i 2,3, 4,
y y (t ) y (h( x)) f ( x) , z z (t ) z (h( x)) g ( x) .
即曲线在 t0 的一个邻域内可表示成 y f ( x) , z g ( x) .
5.求曲线
x2 y 2 z 2 1 , z 0 的参数方程. 2 2 x y x
1 2 1 1 1 1 cos t , sin t , cos t ) . 2 2 2 2
所以,该曲线的参数方程为 r (t ) (
§2.2 曲线的弧长 1.设下面的常数 a 0 ,求曲线在指定范围内的弧长： （1） r (t ) ( acht , asht , at ) , 0 t b . （2）悬链线 y ach
t
,在 t 0 处,其中 ab 0 .
解： （1） r (t ) a sin t , a cos t , b , r (t )= a cos t , a sin t , 0 ,
r (t ) r (t ) ab sin t , ab cos t , a 2 .
（3）曳物线 r (t ) (a cos t , a ln(sec t tan t ) a sin t ) , 0, t . 解： （1） r (t ) ( asht , acht , a ),| r (t ) |
x , 0, x . a
a 2 ( sh 2t ch 2t 1) 2acht.
这样有, l / / l1 / / l2 / / / / ln / / , ln l .
r (t0 tn 2 ) r (t0 tn1 ) / /l . tn1 tn 2
r (t0 tn 2 ) r (t0 tn1 ) 由 P 为正则点,可知 r (t0 ) 存在, r (t0 ) tn1 tn 2 l / / r (t0 ) ,即 l 是 c 在点 P 的切线.
2a 4 2a 2 2a 2 r (t ) r (t ) t4 , t3 , t2 . | r (t ) r (t ) | 2t 2 . 2 3 2 a t 1 | r (t t ), r (t ) 6t , 6, 6t ,
2 2
r (t ) r (t ) 8 t 2 1, 2t , t 2 1 . | r (t ) r (t ) | 1 . 2 3 2 3 t 1 | r (t ) |
（3） r (t ) ( a 1 cos t , a sin t , b), r (t ) a sin t , a cos t , 0 ,
| r (t ) r (t ) | 3 . 3 25 | sin t cos t | | r (t ) |
2.求曲线的密切平面方程： （1） r (t )= a cos t , a sin t , bt , a b 0.
2 2
（2） r (t )= a cos t , b sin t , e
d r d r dt d r 1 1 (a sin t , a cos t , b). ds dt ds dt | r (t ) | a 2 b2
（2） r (t ) ( 3cos t sin t ,3sin t cos t , 2sin 2t )
( x, y, z ) 的弧长.
t t , y bsh a a t t c 的参数方程为 r (t ) (ach , bsh , t ) a a t b t r (t ) ( sh , ch ,1) a a a
解： ：令 z t ,则 x ach
z a 2 b2 t z ch dt a 2 b 2 sh s | r (t ) | dt 0 0 a a a
4.证 明 ： 若 曲 线 r (t ) 在 点 t0 有 x(t0 ) 0 , 则 该 曲 线 在 t0 的 一 个 邻 域 内 可 表 示 成
y f ( x) , z g ( x) .
证明： 因 x(t0 ) 0 ,不妨设 x(t0 ) 0 ,则存在 t0 的一个邻域 (t0 ) ,使得 x x(t ) 在 (t0 ) 内 连续且严格递增.从而在 (t0 ) 内存在 x x(t ) 的反函数,设为 t h( x) .所以,在 (t0 ) 内,
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t
c (1, 0, 6). 1 1 r (t ) ( t 3 1, t 2 , et 6). 3 2
§2.3 曲线的曲率和 Frenet 标架 1.求曲线的曲率：
a . a 0 t 3 2 3 （2） r = 3t t ,3t ,3t t .
2 2
dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
3.设曲线 c 是下面两个曲面的交线：
x2 y 2 z 2 1, x ach , a, b 0. 求 c 从点 (a, 0, 0) 到点 2 a b a
-| MC |= rt r sin t x(t ) =| OC |-| MC |= MC
y (t ) =| CC |-| CN |= r r cos t
所以, M = (rt r sin t , r r cos t ) .
2.证明：曲线的切线与某个确定的方向成定角. 证 明 ： r (t ) (3, 6t , 6t ) , 单 位 切 向 量 r * (t )
（1） r = at , a 2 ln t , （3） r = a t sin t , a 1 cos t , bt . a 0 （4） r = cos t ,sin t , cos 2t . 解： （1） r (t ) (a,
3
3
2a a 2a 2a , 2 ), r (t ) 0, 2 , 3 , t t t t
（4） r (t ) ( 3cos t sin t ,3sin t cos t , 2sin 2t ),
2 2
r (t ) 6 cos t sin 2 t 3cos3 t , 6sin t cos 2 t 3sin 3 t , 4 cos 2t ,
r (t ) r (t ) 12sin 2 t cos3 t , 12sin 3 t cos 2 t , 9sin 2 t cos 2 t .
dr 2. 求下列曲线的单位切向量场 ： ds
（1）圆螺旋线 r (t ) (a cos t , a sin t , bt ), a 0. （2） r (t ) (cos t ,sin t , cos 2t ).
3 3
解： （1） r (t ) ( a sin t , a cos t , b)
r (t ) r (t ) ab cos t , ab sin t , a 2 cos t 1 .
t a b 2 4a 2 sin 4 | r (t ) r (t ) | 2. 3 3 2 | r (t ) | 2 2 2 t b 4a sin 2
§2.1 参数曲线 1.将一个半径为 r 的圆盘在 XY 平面内沿 X 轴作无滑动的滚动,写出圆盘上一点的轨迹方程 （此曲线称为旋轮线,or 摆线）. 解：设初始位置时,圆盘中心 C(0,r) ,考虑点 M(0,0) 的运动轨迹.设 CM 转过的弧度为 t , C 与 M 在 X 轴上的投影为 C 、 M , M 在 CC 上的投影为 N ,则若设 M=( x(t ), y (t )) ,有
x2 y 2 z 2 1 x2 y 2 z 2 1 解： 1 2 1 2 2 2 x y x ( x ) y 2 4
令y
1 1 1 1 1 sin t ,则 x cos t , z cos t , 0 t 2 . 2 2 2 2 2
2
C (c1 , c2 , c3 ) 成定角,则
1 2 , 若 r t t (1, 2 , 2 ) * (t ) 与 单 位 常向 量 1 2t 2
cos (r* (t ), C ) r * (t ) C
1 (c1 2c2t 2c3t 2 ) a , a 为常数 2 1 2t
b b s | r (t ) | dt 2a chtdt 2ashb. 0 0
（2） 令x t , 则y ach
t t t , r (t ) (t , ach ), r (t ) (1, sh ). a a a
x x t x s | r (t ) | dt 1 sh 2 dt ash . 0 0 a a 1 （3） r (t ) ( a sin t , a ( cos t )) cos t t t 1 s | r (t ) | dt a 2 sin 2 t a 2 ( 2 cos 2 t 2)dt a ln cos t. 0 0 cos t