10.6-10.7 静电场中的导体、电容、电容器
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E dS
S
V
e dV 0
内部 E 0 e 0
+ + +
+
+ + +
S
+
+
+
+
+
+ +
+
+
（2）、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面
垂直，大小与该处导体表面电荷面密度 成正比。
表面附近作圆柱形高斯面
S 0 E dS E S cos 0
E
E0
++ + +
三、有导体存在时场强和电势的计算 电荷守恒定律
电荷分布 静电平衡条件
E
u
例1.已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边 放入导体板B。两板间距离比两板面积小得多。 求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布 P28例10.17 (2)将B板接地，求电荷分布 解：设各表面的电荷密度如图
尖端放电 导体尖端场强特别强，足以使 周围空气分子电离而使空气被 击穿，导致“尖端放电”。 ——形成“电风”
* * *证明:对孤立的导体球
与P44习题10.22类似
1 R
R1
Q1
l R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 设用导线连接两导体球后，两球带电量 为Q1，Q2
则
uR1 uR2
2
即
动，我们就说导体处于静电平衡状态
无 外 电 场 时
导体的静电感应过程
E外
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ +
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ +
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ +
曲率较小即半径较大表面比较平坦部分电荷面密度较小曲率较大即半径较小表面尖而凸出部分电荷面密度较大曲率为负表面凹进去的部分电荷面密度最小3导体表面上的电荷分布曲率等于曲率半径的倒数尖端放电导体尖端场强特别强足以使周围空气分子电离而使空气被击穿导致尖端放电
10.6 静电场中的导体 一、导体的静电平衡
导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运
A
B
场强分布
Q 1 2 3 4 1 A 板左侧 EI 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 S
1 2 3 4 E E E
Q 1 2 3 4 2 3 两板之间 E 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 S
处于静电平衡状态的导体的性质： 1、导体是等势体，导体表面是等势面。
2、导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电
荷只分布在导体的表面上。
3、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与 导体表面在该处的面电荷密度 的关系为E 0
详细说明如下
（1）、导体内没有净电荷，未被抵消的净电荷 只能分布在导体表面上。
2
Q2 4 0 R1 4 0 R2
Q1
1 4R1 2 4R2 4 0 R1 4 0 R2
1 R2 2 R1
二、导体壳和静电屏蔽 1、空腔内无带电体的情况 当导体达到静电平衡时空腔内表面不带电荷，全 部电荷分布于腔体外表面。 空腔内场强E=0，电势处处相等。
q C u A uB
电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位 置以及极板间介质。 电介质:通常条件下导电性能很差的材料，即绝缘体 特点是：电介质内无自由电荷，所有电荷都束缚在分子 的范围里
2、电容器电容的计算
平行板电容器
已知：S、d、0
q
q
P31例10.20
解：设A、B分别带电+q、-q
B
q
q
A R1 O
R2
u3 0
R3
导体球的电势为 R3 R2 R2 R3 u1 E dr Edr Edr Edr
R1 R1 R1 R2
R1
q 4 0 r
2
dr
1 1 ( ) 4 0 R1 R2
q
u u1 u3
由定义
2 0 L q C RB u A uB ln RA
3、电介质对电容器的影响
C r C 0 将真空电容器充满某种电介质
电介质的相对电容率（相对介电常数）
r 0
电介质的介电常数或电容率
C
平行板电容器
同心球型电容器 同轴圆柱型电容器 Q
r 0 S
d
S
1 1 ( ) 4 0 R1 R2
q
作业P43：
10.21、10.27
10.7 电容 电容器
一、孤立导体的电容 电容——使导体升高单位电势所需的电量。 孤立导体：附近没有其他导体和带电体 q qU C 孤立导体的电容 U 孤立导体球的电容 C=40R 单位：法拉（F）、微法拉（F）、皮法拉（pF）
a E内 0 ua ub
Q
ua ub E dl
b
p
等势体 a
b
Q
等势面
Q uP uQ E dl E cos900 dl 0 导体表面
P P
uP uQ
静电平衡 条件
⑴导体内部任意点的场强为零。 ⑵导体表面附近的场强方向处 处与表面垂直。
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ +
加上外电场后
导体的静电感应过程
+ + +
E外
+
+ + +
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ + +
加上外电场后
导体的静电感应过程
+ + + + + + + +
E外
加上外电场后
导体的静电感应过程
+ + + + + + + + + +
1法拉 1库仑 伏特
1F=10 μF=10 pF
6 12
注意：电容只与导体的几何因素和介质有关，而 与导体是否带电无关
二、电容器的电容
1、电容器的电容 导体组合,使之不受周围导体的影响——电容器 电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等 值异号电荷q时，电量q与两极板间相应的电势
差uA-uB的比值
A R1 O
R2
E0
R3
R3
r
Qq R3 uo Edr Edr =0+ Edr 4 0 R3 0 R3 R3
qQ u3 Edr 4 0 R3 R3
r R3
r R3
qQ u3 Edr 4 0 r r
③若将外球壳接地，导体球与外球壳的电势差？ 解：若将外球壳接地，此时导体球的 电量为q，外球壳内表面的电量为-q， 外表面电量为0。而外球壳与地球是等 势体，因此外球壳的电势为
A R1 O
R2
解: 电荷分布 q
由高斯定理得
q
Q q
R3
场 强 分 布
0
E
q 4 0 r Qq 4 0 r 2
2
r R1
R2 r R3
R1 r R2
r R3
场 强 分 布
0 r R1 R2 r R3
Q q
E
q 4 0 r 2
R1 r R2
0
E
S
E 0
2011.9.23(3′)
（3）、导体表面上的电荷分布
导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面 形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。 静电场中的孤立带电体： 导体上电荷面密度的大小与该处表面的曲率有关。
曲率等于曲率半径的倒数
曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小 曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小
球壳的电势 u3 E dr
R3
1 qQ Qq 4 0r 2 dr 4 0 R3 R3
②用导线连接A、B，再作计算 连接A、B， q ( q ) 中和
球壳外表面带电
r R3
Q q
Q q
r R3
B
Qq E 4 0 r 2
q q
d
4 r 0 RA RB C RA RB
2 r 0 l C R ln( A ) RB
( RA RB )
( RA RB )
E
u
Q C u
例： 平行无限长直导线 已知:a、d、d>> a 求:单位长度导线间的C 解: 设单位长度带电量为
场强分布
O
E4
A
E1 E 2 E 3
B
由电荷守恒定律得
A板 B板
1S 2 S Q
A B 1 2 3 4
3S 4 S 0
解方程得:
电荷分布
Q 1 4 2S
Q 2 3 2S
Q 1 4 2S
Q 2 3 2S
3 1 2 4 4 Q B 板右侧 E 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 S
(2)将B板接地，求电荷及场强分布 接地时
4 0
1 2 3 a点 0 2 0 2 0 2 0 1 2 3 b点 0 2 0 2 0 2 0
解：设内外球壳带电量分别为+q、-q 场强分布 电势差
uA uB
RB
q
q r A RA
B
E
E dr
q 4 0 r 2
RB
RA
RA
1 1 dr ( ) 2 4 0 r 4 0 RA RB
q
q
RB
由定义 讨论
4 0 R A RB q C uA u B RB R A
分 布
1 2 3 两板之外 E 0 2 0 2 0 2 0
﹡例2.已知导体球和导体球壳的半径R1、R2、R3、及 q、Q
求①电荷及场强分布；球心和球壳的电势 ②如用导线连接A、B，再作计算 ③若将外球壳接地，导体球与外球 壳的电势差？ P28例10.18
Q q
B
q q
A B 1 2 3
E 3 E 2 E1
1 2 3
b
a
A板
1 0
1S 2 S Q
Q 2 3 S
电荷分布
E1 E 2 E 3
A
B
电荷分布
1 0
Q 2 3 S
A B 1 2 3
E
3 1 2 Q 场 两板之间 E 2 0 2 0 2 0 0 S 强
A B 1 2 3 4
a
由静电平衡条件：
a点 1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 b点
E 4 E 3 E 2 E1
1 2 3 4
b
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
Qq 4 0 r 2
r R3
B
q
q
A R1 O
R2
R3
球心的电势 R3 R2 R1 uo E dr Edr Edr Edr Edr
0 0 R1 R2 R3
R2
Edr
R3
R1
1 1 1 qQ ( ) Edr 4 0 R1 R2 4 0 R3 q
E
A、B间场强分布 E 0
B
讨论
A
d
B
电势差
qd uA uB E dl Ed 0S A
由定义
C 与 d S 0 有关 S C ； C d
插入介质
0S q C u A uB d
C
0 r S
d
r C0 C
球形电容器 已知 RA RB
RB RA 或RB
C 4 0 RA
孤立导体球的电容
圆柱形电容器 已知： RA R B L
A
B L
l
L RB RA
设单位长度上带电为
r
RA RB
场强分布 E 2 0 r
电势差
B RB
RB uA uB Edr dr ln 2 0 r 2 0 RA A RA
E外
加上外电场后
导体的静电感应过程
+ + + + + + + + + +
E外
加上外电场后
导体达到静电平衡
+ + + + + + + + + +
E感
感应电荷
E外
E内 E外 E感 0
感应电荷
处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度处 处为零，整个导体是个等势体。表面是等势面 导体内
q2
2、空腔内有带电体 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带 的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电 荷守恒定律决定。
未引入q1时
放入q1后
q2
q1
+ q1
q1 q2
3、静电屏蔽
封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场不受 外电场的影响；内部电荷会影响腔外电场的变化。 接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的电场 不受壳内电荷的影响 — — 静电屏蔽。 如家电的接地保护
S
V
e dV 0
内部 E 0 e 0
+ + +
+
+ + +
S
+
+
+
+
+
+ +
+
+
（2）、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面
垂直，大小与该处导体表面电荷面密度 成正比。
表面附近作圆柱形高斯面
S 0 E dS E S cos 0
E
E0
++ + +
三、有导体存在时场强和电势的计算 电荷守恒定律
电荷分布 静电平衡条件
E
u
例1.已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边 放入导体板B。两板间距离比两板面积小得多。 求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布 P28例10.17 (2)将B板接地，求电荷分布 解：设各表面的电荷密度如图
尖端放电 导体尖端场强特别强，足以使 周围空气分子电离而使空气被 击穿，导致“尖端放电”。 ——形成“电风”
* * *证明:对孤立的导体球
与P44习题10.22类似
1 R
R1
Q1
l R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 设用导线连接两导体球后，两球带电量 为Q1，Q2
则
uR1 uR2
2
即
动，我们就说导体处于静电平衡状态
无 外 电 场 时
导体的静电感应过程
E外
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ +
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ +
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ +
曲率较小即半径较大表面比较平坦部分电荷面密度较小曲率较大即半径较小表面尖而凸出部分电荷面密度较大曲率为负表面凹进去的部分电荷面密度最小3导体表面上的电荷分布曲率等于曲率半径的倒数尖端放电导体尖端场强特别强足以使周围空气分子电离而使空气被击穿导致尖端放电
10.6 静电场中的导体 一、导体的静电平衡
导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运
A
B
场强分布
Q 1 2 3 4 1 A 板左侧 EI 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 S
1 2 3 4 E E E
Q 1 2 3 4 2 3 两板之间 E 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 S
处于静电平衡状态的导体的性质： 1、导体是等势体，导体表面是等势面。
2、导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电
荷只分布在导体的表面上。
3、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与 导体表面在该处的面电荷密度 的关系为E 0
详细说明如下
（1）、导体内没有净电荷，未被抵消的净电荷 只能分布在导体表面上。
2
Q2 4 0 R1 4 0 R2
Q1
1 4R1 2 4R2 4 0 R1 4 0 R2
1 R2 2 R1
二、导体壳和静电屏蔽 1、空腔内无带电体的情况 当导体达到静电平衡时空腔内表面不带电荷，全 部电荷分布于腔体外表面。 空腔内场强E=0，电势处处相等。
q C u A uB
电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位 置以及极板间介质。 电介质:通常条件下导电性能很差的材料，即绝缘体 特点是：电介质内无自由电荷，所有电荷都束缚在分子 的范围里
2、电容器电容的计算
平行板电容器
已知：S、d、0
q
q
P31例10.20
解：设A、B分别带电+q、-q
B
q
q
A R1 O
R2
u3 0
R3
导体球的电势为 R3 R2 R2 R3 u1 E dr Edr Edr Edr
R1 R1 R1 R2
R1
q 4 0 r
2
dr
1 1 ( ) 4 0 R1 R2
q
u u1 u3
由定义
2 0 L q C RB u A uB ln RA
3、电介质对电容器的影响
C r C 0 将真空电容器充满某种电介质
电介质的相对电容率（相对介电常数）
r 0
电介质的介电常数或电容率
C
平行板电容器
同心球型电容器 同轴圆柱型电容器 Q
r 0 S
d
S
1 1 ( ) 4 0 R1 R2
q
作业P43：
10.21、10.27
10.7 电容 电容器
一、孤立导体的电容 电容——使导体升高单位电势所需的电量。 孤立导体：附近没有其他导体和带电体 q qU C 孤立导体的电容 U 孤立导体球的电容 C=40R 单位：法拉（F）、微法拉（F）、皮法拉（pF）
a E内 0 ua ub
Q
ua ub E dl
b
p
等势体 a
b
Q
等势面
Q uP uQ E dl E cos900 dl 0 导体表面
P P
uP uQ
静电平衡 条件
⑴导体内部任意点的场强为零。 ⑵导体表面附近的场强方向处 处与表面垂直。
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ +
加上外电场后
导体的静电感应过程
+ + +
E外
+
+ + +
加上外电场后
导体的静电感应过程
E外
+ + +
+ + +
加上外电场后
导体的静电感应过程
+ + + + + + + +
E外
加上外电场后
导体的静电感应过程
+ + + + + + + + + +
1法拉 1库仑 伏特
1F=10 μF=10 pF
6 12
注意：电容只与导体的几何因素和介质有关，而 与导体是否带电无关
二、电容器的电容
1、电容器的电容 导体组合,使之不受周围导体的影响——电容器 电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等 值异号电荷q时，电量q与两极板间相应的电势
差uA-uB的比值
A R1 O
R2
E0
R3
R3
r
Qq R3 uo Edr Edr =0+ Edr 4 0 R3 0 R3 R3
qQ u3 Edr 4 0 R3 R3
r R3
r R3
qQ u3 Edr 4 0 r r
③若将外球壳接地，导体球与外球壳的电势差？ 解：若将外球壳接地，此时导体球的 电量为q，外球壳内表面的电量为-q， 外表面电量为0。而外球壳与地球是等 势体，因此外球壳的电势为
A R1 O
R2
解: 电荷分布 q
由高斯定理得
q
Q q
R3
场 强 分 布
0
E
q 4 0 r Qq 4 0 r 2
2
r R1
R2 r R3
R1 r R2
r R3
场 强 分 布
0 r R1 R2 r R3
Q q
E
q 4 0 r 2
R1 r R2
0
E
S
E 0
2011.9.23(3′)
（3）、导体表面上的电荷分布
导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面 形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。 静电场中的孤立带电体： 导体上电荷面密度的大小与该处表面的曲率有关。
曲率等于曲率半径的倒数
曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小 曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小
球壳的电势 u3 E dr
R3
1 qQ Qq 4 0r 2 dr 4 0 R3 R3
②用导线连接A、B，再作计算 连接A、B， q ( q ) 中和
球壳外表面带电
r R3
Q q
Q q
r R3
B
Qq E 4 0 r 2
q q
d
4 r 0 RA RB C RA RB
2 r 0 l C R ln( A ) RB
( RA RB )
( RA RB )
E
u
Q C u
例： 平行无限长直导线 已知:a、d、d>> a 求:单位长度导线间的C 解: 设单位长度带电量为
场强分布
O
E4
A
E1 E 2 E 3
B
由电荷守恒定律得
A板 B板
1S 2 S Q
A B 1 2 3 4
3S 4 S 0
解方程得:
电荷分布
Q 1 4 2S
Q 2 3 2S
Q 1 4 2S
Q 2 3 2S
3 1 2 4 4 Q B 板右侧 E 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 S
(2)将B板接地，求电荷及场强分布 接地时
4 0
1 2 3 a点 0 2 0 2 0 2 0 1 2 3 b点 0 2 0 2 0 2 0
解：设内外球壳带电量分别为+q、-q 场强分布 电势差
uA uB
RB
q
q r A RA
B
E
E dr
q 4 0 r 2
RB
RA
RA
1 1 dr ( ) 2 4 0 r 4 0 RA RB
q
q
RB
由定义 讨论
4 0 R A RB q C uA u B RB R A
分 布
1 2 3 两板之外 E 0 2 0 2 0 2 0
﹡例2.已知导体球和导体球壳的半径R1、R2、R3、及 q、Q
求①电荷及场强分布；球心和球壳的电势 ②如用导线连接A、B，再作计算 ③若将外球壳接地，导体球与外球 壳的电势差？ P28例10.18
Q q
B
q q
A B 1 2 3
E 3 E 2 E1
1 2 3
b
a
A板
1 0
1S 2 S Q
Q 2 3 S
电荷分布
E1 E 2 E 3
A
B
电荷分布
1 0
Q 2 3 S
A B 1 2 3
E
3 1 2 Q 场 两板之间 E 2 0 2 0 2 0 0 S 强
A B 1 2 3 4
a
由静电平衡条件：
a点 1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 b点
E 4 E 3 E 2 E1
1 2 3 4
b
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
Qq 4 0 r 2
r R3
B
q
q
A R1 O
R2
R3
球心的电势 R3 R2 R1 uo E dr Edr Edr Edr Edr
0 0 R1 R2 R3
R2
Edr
R3
R1
1 1 1 qQ ( ) Edr 4 0 R1 R2 4 0 R3 q
E
A、B间场强分布 E 0
B
讨论
A
d
B
电势差
qd uA uB E dl Ed 0S A
由定义
C 与 d S 0 有关 S C ； C d
插入介质
0S q C u A uB d
C
0 r S
d
r C0 C
球形电容器 已知 RA RB
RB RA 或RB
C 4 0 RA
孤立导体球的电容
圆柱形电容器 已知： RA R B L
A
B L
l
L RB RA
设单位长度上带电为
r
RA RB
场强分布 E 2 0 r
电势差
B RB
RB uA uB Edr dr ln 2 0 r 2 0 RA A RA
E外
加上外电场后
导体的静电感应过程
+ + + + + + + + + +
E外
加上外电场后
导体达到静电平衡
+ + + + + + + + + +
E感
感应电荷
E外
E内 E外 E感 0
感应电荷
处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度处 处为零，整个导体是个等势体。表面是等势面 导体内
q2
2、空腔内有带电体 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带 的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电 荷守恒定律决定。
未引入q1时
放入q1后
q2
q1
+ q1
q1 q2
3、静电屏蔽
封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场不受 外电场的影响；内部电荷会影响腔外电场的变化。 接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的电场 不受壳内电荷的影响 — — 静电屏蔽。 如家电的接地保护