用数学归纳法证明范德蒙德行列式

用数学归纳法证明范德蒙德行列式
随着近代数学的发展，数学归纳法在数学证明领域中日渐成为一种简单易行的证明方式，也被广泛应用于证明数学定理。

本文将以用数学归纳法证明范德蒙德行列式为主题，以期让读者更好地理解数学归纳法在证明范德蒙德行列式时的作用。

首先，我们来看一下范德蒙德行列式。

范德蒙德行列式是一个关于自由变量的数学表达式，它的定义如下：
设A是一个 n× n的单位方阵，它的每一个元素a_ij都等于1，1≤i，j≤n。

而范德蒙德行列式则定义为：
D_n = |A| = det [a_ij]_{n×n}
其中det [a_ij]_{n×n}表示 n× n方阵A的行列式。

范德蒙德行列式定义式中的A是n×n位方阵，它的每一个元素a_ij等于1，1≤i，j≤n。

这样一来，D_n值只取决于 n大小，而且n越大，D_n值越大。

那么，问题来了：既然范德蒙德行列式只是一个数学表达式，它的值是如何计算出来的呢？
这就是数学归纳法发挥作用的地方。

如果要证明范德蒙德行列式关于n表达式D_n任意自然数n成立，可以先考虑n=1形，因为当n = 1，A1×1位矩阵，D_1 = |A| = a_11 = 1，这个结果很显然是正确的。

接下来，假设范德蒙德行列式关于n表达式D_n任意n k成立，即D_1=1，D_2=2，……，D_k=k，那么我们就可以证明D_k+1 = k+1立。

根据假设，当n=k，A一个 k× k的单位矩阵，D_k = |A| = det
[a_ij]_{k×k}。

而当n=k+1，A一个 (k+1)×(k+1)单位矩阵，则D_k+1 = |A| = det [a_ij]_{(k+1)×(k+1)}。

在这里，我们可以用拆解法分解A，将det [a_ij]_{(k+1)×(k+1)}解为det [a_ij]_{k×k}det [b_ij]_{k×k}只要证明det [a_ij]_{k×k} = det [b_ij]_{k×k}，就可以证明 D_k+1 = k+1立。

经过简单的推导，我们可以得出结论： det [b_ij]_{k×k} = det [a_ij]_{k×k}，因此 det [a_ij]_{(k+1)×(k+1)} = det [a_ij]_{k ×k} + det [b_ij]_{k×k} = D_k + D_k = 2D_k = 2k。

由于 D_k = k，因此 D_k+1 = k+1立。

根据上述证明，我们可以得出结论：范德蒙德行列式关于n表达式D_n任意自然数n成立，即D_n = n。

由此可见，数学归纳法在证明范德蒙德行列式时发挥了重要作用。

综上所述，本文简单介绍了什么是范德蒙德行列式，以及如何使用数学归纳法来证明它的正确性。

此外，本文还讨论了数学归纳法在证明范德蒙德行列式时的重要作用，以期能让读者更好地理解数学归纳法的运用。