盐城市第三次调研数学试题及答案

盐城市2008/2009学年度高三第三次调研考试
数学学科试题
本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的
标号涂黑．
参考公式：
样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差
锥体体积公式
s =
13
V Sh =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V Sh =
24πS R =，34π3
V R =
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第I 卷（填空题）
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题
纸的指定位置上.
1．如果复数33()2ai a R i -+
∈的模为3
2
，则a = 6 . 2．已知集合{}{}2|60,|10A x x x B x x =-->=->，则=⋂B A C R (]3,1 .
3．抛物线2
2y x =的焦点坐标为 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
81,0 .
4．如图所示，一个水平放置的“靶子”共由10个同心圆构成，其半径分别为1㎝、2㎝、3㎝、…、10㎝，最内的小圆称为10环区，然后从内向外的圆环依次为9环区、8环区、…、1环区，现随机地向“靶子”上撒一粒豆子，则豆子落在8环区的概率为
20
1
. 5．某几何体的底部为圆柱，顶部为圆锥，其主视图如图所示，若
02,3,90AB BC DSC ==∠=，则该几何体的体积为
3
10π
.
6．如图所示的程序框图，如果输入三个实数,,a b c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入的内容是 c b > . 7．将函数sin(2
)(0)y x φφπ=+≤<的图象向左平移6
π
个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值为
6
π
. 8．已知函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩
，数列{}n a 满足*
(),n a f n n N =∈，且数列{}n a 是
递增数列，则实数a 的取值范围是 （2，3） .
9．图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九
届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则
()f n = 1222+-n n .（答案用数字或n 的解析式表示）
10．已知递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且3242,a a a +是的等差中项，若
21log n n b a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S =
2
)
3(+n n . 第9题
(1) (2) (3) (4)
第11题
A
B
C
D
E
H
11．在边长为1的菱形ABCD 中，0
120ABC ∠=，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF
于点H ，则AH AB ⋅u u u r u u u r = 5
4
.
12．若关于x 的方程2
2
2
22
(6)2410x a b b x a b a b -+-+++-+=的两个实数根12,x x 满
足1201x x <<<,则22
44a b a +++的取值范围是 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+549,21 .
13．若椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心
到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是 ⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,22 . 14．已知定义在R 上的函数)(x F 满足()()()F x y F x F y +=+，当0x >时，()0F x <. 若
对任意的[0,1]x ∈，不等式组2
2
(2)(4)
()(3)
F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎪⎨-<-⎪⎩均成立，则实数k 的取值范围是 )2,3(- .
第II 卷（解答题）
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,
请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)
如图所示，角A 为钝角，且3
sin 5
A =，点,P Q 分别在角A 的两边上． （Ⅰ）若5,35AP PQ ==AQ 的长；
（Ⅱ）设,APQ AQP αβ∠=∠=，且12
cos 13
α=，求sin(2)αβ+的值．
解：（Ⅰ）因为角A 为钝角，且53sin =
A ，所以5
4
cos -=A …………………………2分 在APQ ∆中，由A AQ AP AQ AP PQ cos 22
22⋅-+=，
得
()
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⋅-+=5410553222AQ AQ ………………………………………………5分 解得2=AQ 或10-=AQ (舍)，即AQ 的长为2………………………………………7分
Q
P
A
第15题
（Ⅱ）由1312cos =
α，得13
5sin =α…………………………………………………9分 又53sin )sin(==+A βα，5
4
cos )cos(=-=+A βα………………………………11分
所以[]αβααβαββαβαsin )cos(cos )sin()(sin )2sin(+++=++=+ 65
56
135********=
⨯+⨯=……………………………………………………………………14分 16．(本小题满分14分)
某高中地处县城，学校规定家到学校的路程在10里以内的学生可以走读，因交通便利，所以走读生人数很多.该校学生会先后5次对走读生的午休情况作了统计，得到如下资料：
① 若把家到学校的距离分为五个区间：
[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]，
则调查数据表明午休的走读生分布在各个区间内的频率相对稳定，得到了如右图所示的频率分布直方图；
② 走读生是否午休与下午开始上课的时间有着密切
的关系. 下表是根据5次调查数据得到的下午开始上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表.
（Ⅰ）若随机地调查一位午休的走读生，其家到学校的路程(单位：里)在[2,6)的概率
是多少？
（Ⅱ）如果把下午开始上课时间1：30作为横坐标0，然后上课时间每推迟10分钟，
横坐标x 增加1，并以平均每天午休人数作为纵坐标y ，试根据表中的5列数据求平均每天午休人数$y 与上课时间x 之间的线性回归方程$y bx a =+；
（Ⅲ）预测当下午上课时间推迟到2：20时，家距学校的路程在6里路以上的走读生中
约有多少人午休？ 解答：（Ⅰ）7.02)2.015.0(=
⨯+=P …………………………………………………4分 则x 所
以
∑∑==---=
n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b 1
2
1
)()
)((2
22221)1()2(250
21501)150()1()250()2(++-+-⨯+⨯+-⨯-+-⨯-=
130=………
8分
再由x b y a -=，得240=a ，故所求线性回归方程为
240130+=x y ……………………10分
（Ⅲ）下午上课时间推迟到2：20时，890,5==y x ，5.1332)025.005.0(890=⨯+⨯， 此时，家距学校的路程在6里路以上的走读生中约有133人（134人） (14)
0.2
分
17．(本小题满分14分)如图甲，在直角梯形PBCD 中，//PB CD ，CD BC ⊥，
2BC PB CD ==，A 是PB 的中点. 现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA AB ⊥（如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点. （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PDE ；
（Ⅲ）在PA 上找一点G ，使得//FG 平面PDE .
解答：（Ⅰ）证：因为PA ⊥AD,PA ⊥AB,A AD AB =⋂，所以PA ⊥平面ABCD ……………4分
（Ⅱ）证：因为CD PB BC 2==,A 是PB 的中点，所以ABCD 是矩形，又E 为BC 边的中点，所以AE ⊥ED 。

又由PA ⊥平面ABCD ,得PA ⊥ED ,且A AE PA =⋂,所以⊥ED 平面PAE ，而⊂ED 平面PDE ，故平面⊥PAE 平面PDE …………………………………………………………9分
（Ⅲ）过点F 作FH ∥ED 交AD 于H ，再过H 作GH ∥PD 交PA 于G ,连结FG 。

由FH ∥ED ,⊂ED 平面PED ,得FH ∥平面PED ； 由GH ∥PD ，⊂PD 平面PED ，得GH ∥平面PED ， 又H GH FH =⋂，所以平面FHG ∥平面PED ……………………………………………12分
再分别取AD 、PA 的中点M 、N ，连结BM 、MN ，易知H 是AM 的中点，G 是AN 的中点，从而当点
G 满足AP AG 4
1
=
时，有//FG 平面PDE 。

………………………………………14分
18．(本小题满分16分)
已知圆:C 2
2
(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a . （Ⅰ）若1l 、2l 都和圆C 相切，求直线1l 、2l 的方程；
（Ⅱ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程；
（Ⅲ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值.
解答：（Ⅰ）显然，1l 、2l 的斜率都是存在的，设)(:1a x k y l -=，则)(1
:2a x k
y l --
= ……………………………………………………………………………………………1分 则由题意，得21
22
=++k ak k ，
21
22
=++k a (3)
分
第17题
图甲 图乙
解得1=k 且222=+a ，即1±=k 且222±-=a ……………………………5分 ∴1l 、2l 的方程分别为222:1+-=x y l 与222:2+--=x y l 或
2
22:1++=x y l 与
222:2++-=x y l (6)
分
（Ⅱ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，
∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-2
222
22)
2()21(2)21(r m r m ………………………………………………………9分
解得2=r 且7±=m ，∴圆M
的方程为
4)7()1(22=±+-y x ………………………11分
（Ⅲ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以12
2
2
==+AC CF CE ,即
124242
221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得2821=+d d …………………………………14分
从而14222
22121=+⋅≤
+d d d d ，
即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142…………………………………16分
19．(本小题满分16分)
设函数sin (),()cos sin x x
f x
g x x x x x +=
=-.
（Ⅰ）求证：当(0,]x π∈时，()0g x <；
（Ⅱ）存在(0,]x π∈，使得a x f <)(成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若()cos sin (1)g bx bx bx b x b ≤-≥-对(0,]x π∈恒成立，求b 的取值范围．
解答：（Ⅰ）解答：(Ⅰ)因为当(]π,0∈x 时，0sin cos sin cos )('≤-=--=x x x x x x x g ， 所以)(x g 在(]π,0上单调递减，………………………………………………………3分 又0)0(=g ，所以当(]π,0∈x 时，0)(<x g ……………………………………………4分 (Ⅱ) 因为x x x x x x f sin 1sin )(+=+=
，所以2
sin cos )('x
x
x x x f -=， 由(Ⅰ)知，当(]π,0∈x 时，0sin cos <-x x x ，所以0)('<x f ………………………6分 所
以
)
(x f 在
(]
π,0上单调递减，则当
(]
π,0∈x 时，
1)()(min ==πf x f ………………………8分
由题意知，a x f <)(在(]π,0上有解，所以min )(x f a >，从而1>a ………………………10分
（Ⅲ）由x b bx bx bx g sin cos )(-≤)1(-≥b 得x b bx sin sin ≥)1(-≥b 对(]π,0∈x 恒成立，
①当1,0,1-=b 时，不等式显然成立………………………………………………………11分 ②当1>b 时，因为(]πb bx ,0∈，所以取(]ππ
,00∈=
b
x ，则有00sin 0sin x b bx <=，从
而此时不等式不恒成立…………………………………………………………………………12分
③当10<<b 时，由(Ⅱ)可知x
x
x h sin )(=在(]π,0上单调递减，而π≤<<x bx 0， ∴
bx
bx
x x sin sin <
， ∴x b bx sin sin >成立………………………………………14分 ④当01<<-b 时，当(]π,0∈x 时，π≤<-<x bx 0，则 bx
bx
bx bx x x sin )sin(sin =
--<，∴x b bx sin sin <不成立， 综上所述，当1-=b 或10≤≤b 时，有()cos sin (1)g bx bx bx b x b ≤-≥-对(0,]x π∈恒
成立。

………………………………………………………………………………………………16分 20．(本小题满分16分)
数列{}n a 满足
⋅⋅⋅=++=-+=≠==++3,2,1,)1(,2
)1(1,0,1221n b a b a b b a a a n n n n n
n .
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）当49272,,,1a a a a =为某等差数列的第1项，第k 项，第k +7项，且
2122m a a m m =--，求m 与b ；
（Ⅲ）求证：数列{}12-n a 中能抽取出一个子数列成等比数列{}n c 的充要条件是a 为有理数. 解答：（Ⅰ）当*,12N k k n ∈-=时，12+=+n n a a ，∴)1()1(1-+=-+=a k k a a n ……2分
当*,2N k k n ∈=时，n n a a 22=+，∴1
2-⋅=k n b a (4)
分
∴⎪⎩⎪
⎨⎧⋅-++=-122
121n n b a n a ,,*)(,2*)(,12N k k n N k k n ∈=∈-=…………………………………………5分
（Ⅱ）当1=a 时，25,14,49272===a a b a ，则该等差数列的公差为
71127492749=--=
a a d ，∴147
11
)1()1(227=⨯-+=-+=k b d k a a ，
即)1(7
11
14--=k b ①
又2122m a a m m =--，所以21
2
m m b m =-⋅-，即212m m b m +=⋅- ② 由①知，b 为整数或分母为7的既约分数；由②知，b 为整数或分母为2的既约分数，从而b 必为整数………………………………………………………………………7分
由②知，0>b ，结合①得，0)1(7
11
14>--=k b ，
所以)1(-k 只能取7，故3=b ，………8分
又由②得，21
23m m m +=⋅-*)(N m ∈，设22122
323)(m m m m m f m
m --⋅=
--⋅=- 则())21(22ln 3212)2(ln 2
3
)('1m m m f m m +-⋅=--⋅⋅=
-， 因为2
121222112--=++++--m m Λ121-=-m )2(≥m
所以当4≥m 时，m m m 211)2221(2
21
+>+++++=--Λ，又12ln 3>， 从而0)('>m f ，故)(m f 在[)+∞,4上单调递增。

则由0416424)4(>=--=f ，知0)(=m f 在[)+∞,4上无解 (10)
分
又09312)3(=--=f ，0426)2(=--=f ，01113)1(>=--=f ，
所以2=m 或3=m ，
综上所述，当3=b ，且2=m 或3=m 时满足条件……………………………………………11分
（Ⅲ）①必要性。

若{}12-n a 中存在一个子数列{}n c 成等比数列，设121212,,---p m n a a a 为其中的连续三项。

因为112-+=-a n a n ，所以()()()2
111-+=-+-+a m a p a n ，则
np m m p n a -=-+-2)2)(1(……………………………………………………12分
⑴当02=-+m p n 时，02
=-np m ，即np p n 4)(2
=+，则p n =，矛盾；
⑵当02≠-+m p n 时，Q m
p n np
m a ∈-+-=-212，则Q a ∈，所以必要性成立………………
13分
②充分性。

若a 为有理数，因为112-+=-a n a n ，所以可取足够大的正整数0n ，使
010>-+a n ，因为10-+a n 也为有理数，故可设r
p
a n =
-+10（其中r p ,为互质正整数）。

现构造等比数列{}n c ，使得首项101-+=a n c ，公比1+=r q ，则
110)1()1)(1(--+⋅=
+-+=n n n r r
p
r a n c …………………………………………14分 因为r
r r r r r r n n n 1)1()1(1)1(1)1()1()1(11122-+=+-+-=+++++++---Λ，
所以1])1()1()1(1[)1(221
++++++++=+--n n r r r r r Λ， 从而])1()1()1(1[2
2-++++++++=n n r r r p r
p c Λ，
设M r r r n =+++++++-2
2)
1()1()1(1Λ，则M 为正整数， 则pM a n pM r
p
c n +-+=+=)1(01)(0-++=a pM n ，故n c 必为{}12-n a 中的项，即
等比数列{}n c 是{}12-n a 的子数列，所以充分性也成立。

综合①②知，原命题成立。

……………………………………………………………………16分
数学附加题
21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在
答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧=AB 弧AD ，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点． 求证：2AB BE CD =⋅．
证：连结AC ,因为EA 切圆O 于A ，所以∠EAB ＝∠ACB 。

因为弧=AB 弧AD ，所以∠ACD ＝∠ACB ，AB ＝AD ，于是∠EAB ＝∠ACD ………………5分 又四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠ABE ＝∠D ，所以△ABE ∽CDA. 于是DA
BE CD AB =
,即CD BE DA AB ⋅=⋅，所以CD BE AB ⋅=2
…………………………10分
B ．（选修4—2：矩阵与变换） 已知矩阵1
1A ⎡=⎢
-⎣ a b ⎤⎥⎦
,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121
α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
.
（Ⅰ）求矩阵A ；
（Ⅱ）若向量74β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，计算5A β的值.
解：（Ⅰ）⎢⎣⎡-=11
A ⎥⎦
⎤42……………………………………………………………3分
（Ⅱ）矩阵A 的特征多项式为11)(-=λλf 0654
2
2=+-=--λλλ，
解得3,221==λλ……………………………………………………………6分
当21=λ时，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121α；当32=λ时，得⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=112α，
由21ααβn m +=，得⎩
⎨⎧=+=+47
2n m n m ，得1,3==n m …………………………………8分
∴25
15
215
5
)(3)3(ααααβA A A A +=+=25
215
1)(3αλαλ+=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=339435113122355…………………………………………………10分
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知某圆的极坐标方程为ρ2
－42ρcos (θ－π4
)＋6=0．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
第21题(A)
（Ⅱ）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值．
解答：（Ⅰ）06442
2
=+--+y x y x ；⎪⎩⎪⎨⎧+=+=α
α
sin 22cos 22y x （α为参数）……………
5分
（Ⅱ）因为⎪⎭
⎫
⎝
⎛++=+4sin 24παy x ，所以其最大值为6，最小值为2……………10分 D.（选修4—5：不等式选讲）
设,,a b c 均为正实数．
（Ⅰ）若1a b c ++=，求222a b c ++的最小值； （Ⅱ）求证：
111111
222a b c b c c a a b
++++
+++≥. 解答：（Ⅰ）解：因为,,a b c 均为正实数，由柯西不等式得
()
1)()111(2222222
=++≥++++c b a c b a
，当且仅当3
1
=
==c b a 时等号成立，∴2
2
2
c b a ++的最小值为
3
1
………………………………………………5分 （Ⅱ）∵,,a b c 均为正实数，∴b
a a
b b a +≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+1
21212121，当b a =时等号成立； 则c b bc c b +≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+1
21212121，当c b =时等号成立； a
c ca a c +≥≥⎪
⎭⎫ ⎝⎛+1
21212121，当a c =时等号成立； 三个不等式相加得，b
a a c c
b
c b a ++
+++≥++1
11212121，当且仅当c b a ==时等号成立。

……………………………………………………………………10分
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）
如图所示，已知曲线2
1:C y x =，曲线 2C 与1C 关于点11(,)22
对称，且曲线2C 与1C 交
于点O 、A ，直线(01)x t t =<<与曲线1C 、2C 、x 轴分别交于点D 、B 、E ，连结AB . （Ⅰ）求曲边．．三角形BOD （阴影部分）的面积1S ; （Ⅱ）求曲边．．三角形ABD （阴影部分）的面积2S .
解答：（Ⅰ）易得曲线2
C 的方程为
x x y 22+-=…………………………………………2分
第22题
y
由⎪⎩⎪⎨⎧+-==x
x y x y 222，得点)1,1(),0,0(A O ，又由已知得),(),2,(22t t D t t t B +-………………4分
故⎰⎰-+-=1021021)2(dx x dx x x S 233
2t t +-=………………………………………6分 （Ⅱ）()
()6121236511221231222++-=--+-=⎰t t t dx x t t t S t ………………………10分
23． (本小题满分10分)
已知{}n a 为等差数列，且0≠n a ，公差0d ≠.
（Ⅰ）试证：212111a a d a a =-；01222221231232C C C d a a a a a a -+=；
01233
333312341234
6C C C C d a a a a a a a a -+-=； （Ⅱ）根据（Ⅰ）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.
解答：（Ⅰ）略……………………………………………………………………3分 （Ⅱ）结论：n
n n n n n n n n a a a d n a C a C a C a C ΛΛ211
111321211101)!1()1(---+----=-+-+-………………………5分
证：①当4,3,2=n 时，等式成立，
②假设当k n =时，k
k k k k k k k k a a a d k a C a C a C a C ΛΛ211
111321211101)!1()1(---+----=-+-+-成立， 那么当1+=k n 时，因为21111-----+=k k i k i k C C C ，所以
1
2322110)1(++-+-+-k k k k k k k a C a C a C a C Λ 1
112211113112120111101)1()()1(+--+----+------++-+-+++-=k k k k k k k k k k k k k k k a C a C C a C C a C C a C Λ --+-+-=--+---))1((111321211101k k k k k k k a C a C a C a C Λ))1((1
111421311201+--+----+-+-k k k k k k k a C a C a C a C Λ k k a a a d k Λ211)!1(--=k k a a a d k Λ321)!1(---)()!1(11211a a a a a d k k k k --=+-Λ1
21!+=k k k
a a a a d k Λ， 所以，当1+=k n 时，结论也成立。

综合①②知，n
n n n n n n n n a a a d n a C a C a C a C ΛΛ211111*********)!1()1(---+----=-+-+-对2≥n 都成
立…………10分。