行列式按行展开和克莱姆法则
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上页 下页 返回
abcd
例６ 计算
bad c
D4 c
d
a
. b
解
d c ba
将行列式的第2、3、4行都加到第1行，并提取 第一行的公因子 a b c d
1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
上页 下页 返回
再将第2、3、4列都减去第1列，得
xn x1 xn ( xn x1 )
xnn2 ( xn x1 )
按第1列展开，并把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出， 就有
上页 下页 返回
1 1 1
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )
x2
x3
xn
n-1阶范德蒙德行列式
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44 .
证明（分三步）
i 1,2, ,n
第一步
a11 a12 L MM D an11 an12 L 0 0L
a1n1 a1n
a11 a12 L
M M a21
a a n1n1 n1n
M
a22 L M
0
1
an11 an12 L
a1n1 a2n1
M an1n1
上页 下页 返回
a n 1b a b b D a n 1b b a b
a n 1b b b a
上页 下页 返回
1 b b b 1 a b b
a (n 1)b 1 b a b
1 b b a
1b b b
a (n 1)b
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
上页 下页 返回
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
上页 下页 返回
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
Dn
1
1
1
1
0
x2 x1
x3 x1
0 x2 ( x2 x1 ) x3 ( x3 x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
2 0
3 7
1 2
10
2
7
2
r3 r1
0 66
66
20 42 12 1080.
上页 下页 返回
例 计算 n 阶行列式 a b b b
b a b b
D b b a b
解
b b b a 将第 2,3, ,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一 个代数余子式.
上页 下页 返回
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
ai1(1)i1 Mi1 ai2(1)i2 Mi2 L ain (1)in Min
行列式按行(按列)展开
一、余子式与代数余子式 例如 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
第二步 a11 a1 j a1n
为什么依次 对调行 ？
1 D 0 aij 0 把D的第 i 行依次与
第i +1 行，第i +2 行,
…, 第 n 行对调
an1 anj ann
a11 L
a1 j1
a1 j
a1 j1 L a1n
得
M
MMM
M
ai11 L
D 1 ni ai11 L
x2n2
x
n2 3
x
n2 n
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) ( xi x j )
ni j2
( xi x j ).
ni j1
上页 下页 返回
5 3 1 2 0 1 7 2 52 例４ 计算行列式 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
上页 下页 返回
评注
本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列） 化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开， 每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续 进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开 成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列 式比较适用．
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
代数余子式的重要性质
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
ij
1 ,当 i 0 ,当 i
ab
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
上页 下页 返回
例
x a1 a2 a3 an
a1 x a2 a3 an
Dn1 a1 a2 x a3 an .
解
a1 a2 a3 a4 x
将第2,3, ,n 1列都加到第一列，得
1 a2 a1 a3 a2
0 0 x上页 a下n页 返回
评注 本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐 步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般 尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）； 若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用 行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给 行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用 这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形 行列式之目的．
5 3 1 2 0 1 7 2 52 解 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
上页 下页 返回
5 3 1 2
1 25 2 0 2 3 1
0 4 1 4 02 35
2 3 1 2 5 4 1 4
2 35
r2
2r1
10
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
上页 下页 返回
例1 3 1 1 2
5 1 1 1
5 1 D
20
3 4 c1 2c3 11 1
1 1 c4 c3
00
3 1 10
1 5 3 3
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
a a a a 41
42
43
44
A23 123 M 23 M 23 .
上页 下页 返回
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
j， j.
上页 下页 返回
例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 x22
xn
x
2 n
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1 x2n1
x
n1 n
证 用数学归纳法
11
D2 x1
x2
x2 x1 ( xi x j ),
10 0 0
b ab db cb
D4 (a b c d ) c
d c
ac
, bc
按第一行展开得
d cd bd ad ab db cb
D4 (a b c d ) d c a c b c .
cd bd ad 把第二行加到第一行，再提取公因子得：
a13 a23 a33
a14
a24 0
a11 1 33 a33 a21
a41
a12 a22 a42
a14 a24 . a44
a41 a42 a43 a44
上页 下页 返回
第三步
a11
a12
a1n
பைடு நூலகம்
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
110
D４ (a b c d )(a b c d ) • d c a c b c ,
cd bd ad
上页 下页 返回
第二列减去第一列得
100
D4 (a b c d )(a b c d ) • d c a d b c ,
a1 j M ai1 j ai1 j L anj
11
1 i j Mij
Aij .
上页 下页 返回
一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 aij
外都为零，那末这行列式等于
a
与它的代数余子
ij
式的乘积，即 D aij Aij ．
例如
a11 D a21
0
a12 a22 0
cd bc ad
按第一行展开 ad bc
D４ (a b c d )(a b c d ) b c a d
(a b c d)(a b c d)•[(a d)2 (b c)2]
(a b c d )(a b c d ) • (a b c d )(a b c d )
a11 L M ai11 L
D 1 ni 1 n j ai11 L
LL an1 0L
a1 j1 M
ai1 j1 ai1 j1
L anj 1
0
a1 j1 M
ai1 j1 ai1 j1
L anj 1
0
L a1n M L ai1n L ai1n LL L ann L
ai1 j1 ai1 j1
ai1 j ai1 j
ai1 j1 L ai1 j1 L
ai 1n ai1n
LL L L L LL
an1
anj 1
anj
anj1 L ann
0L
0
1aij
0 上页L 下页 0返回
再把D的第j 列依次与第j+1 列，第j+2 列, …, 第n 列对调
n
x ai
i 1
n
x ai
i 1
Dn1
x
n
ai
i 1
n
x ai
i 1
a1 a2 x a2 a2 x a2 a3
an
an
an x 上页 下页 返回
提取第一列的公因子，得 1 a1 a2
1 x a2
n
Dn1 ( x ai) 1 a2 x i 1
5 5 3 0
5 11 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6
2 8
2 40.
5 5 0 5
上页 下页 返回
推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对
应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
an
an
an
.
(x
n
n
ai) (x
a i ).
i1 i1
1 a2 a3 x
将第一列的-a1倍加到第2列， -a2倍加到第3列 ,…, - an 倍加到最后一列，得
10
0 0
1 x a1 0
n
Dn1 (x ai)1 a2 a1 x a2
i 1
abcd
例６ 计算
bad c
D4 c
d
a
. b
解
d c ba
将行列式的第2、3、4行都加到第1行，并提取 第一行的公因子 a b c d
1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
上页 下页 返回
再将第2、3、4列都减去第1列，得
xn x1 xn ( xn x1 )
xnn2 ( xn x1 )
按第1列展开，并把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出， 就有
上页 下页 返回
1 1 1
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )
x2
x3
xn
n-1阶范德蒙德行列式
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44 .
证明（分三步）
i 1,2, ,n
第一步
a11 a12 L MM D an11 an12 L 0 0L
a1n1 a1n
a11 a12 L
M M a21
a a n1n1 n1n
M
a22 L M
0
1
an11 an12 L
a1n1 a2n1
M an1n1
上页 下页 返回
a n 1b a b b D a n 1b b a b
a n 1b b b a
上页 下页 返回
1 b b b 1 a b b
a (n 1)b 1 b a b
1 b b a
1b b b
a (n 1)b
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
上页 下页 返回
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
上页 下页 返回
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
Dn
1
1
1
1
0
x2 x1
x3 x1
0 x2 ( x2 x1 ) x3 ( x3 x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
2 0
3 7
1 2
10
2
7
2
r3 r1
0 66
66
20 42 12 1080.
上页 下页 返回
例 计算 n 阶行列式 a b b b
b a b b
D b b a b
解
b b b a 将第 2,3, ,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一 个代数余子式.
上页 下页 返回
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
ai1(1)i1 Mi1 ai2(1)i2 Mi2 L ain (1)in Min
行列式按行(按列)展开
一、余子式与代数余子式 例如 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
第二步 a11 a1 j a1n
为什么依次 对调行 ？
1 D 0 aij 0 把D的第 i 行依次与
第i +1 行，第i +2 行,
…, 第 n 行对调
an1 anj ann
a11 L
a1 j1
a1 j
a1 j1 L a1n
得
M
MMM
M
ai11 L
D 1 ni ai11 L
x2n2
x
n2 3
x
n2 n
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) ( xi x j )
ni j2
( xi x j ).
ni j1
上页 下页 返回
5 3 1 2 0 1 7 2 52 例４ 计算行列式 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
上页 下页 返回
评注
本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列） 化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开， 每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续 进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开 成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列 式比较适用．
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
代数余子式的重要性质
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
ij
1 ,当 i 0 ,当 i
ab
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
上页 下页 返回
例
x a1 a2 a3 an
a1 x a2 a3 an
Dn1 a1 a2 x a3 an .
解
a1 a2 a3 a4 x
将第2,3, ,n 1列都加到第一列，得
1 a2 a1 a3 a2
0 0 x上页 a下n页 返回
评注 本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐 步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般 尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）； 若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用 行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给 行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用 这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形 行列式之目的．
5 3 1 2 0 1 7 2 52 解 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
上页 下页 返回
5 3 1 2
1 25 2 0 2 3 1
0 4 1 4 02 35
2 3 1 2 5 4 1 4
2 35
r2
2r1
10
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
上页 下页 返回
例1 3 1 1 2
5 1 1 1
5 1 D
20
3 4 c1 2c3 11 1
1 1 c4 c3
00
3 1 10
1 5 3 3
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
a a a a 41
42
43
44
A23 123 M 23 M 23 .
上页 下页 返回
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
j， j.
上页 下页 返回
例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 x22
xn
x
2 n
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1 x2n1
x
n1 n
证 用数学归纳法
11
D2 x1
x2
x2 x1 ( xi x j ),
10 0 0
b ab db cb
D4 (a b c d ) c
d c
ac
, bc
按第一行展开得
d cd bd ad ab db cb
D4 (a b c d ) d c a c b c .
cd bd ad 把第二行加到第一行，再提取公因子得：
a13 a23 a33
a14
a24 0
a11 1 33 a33 a21
a41
a12 a22 a42
a14 a24 . a44
a41 a42 a43 a44
上页 下页 返回
第三步
a11
a12
a1n
பைடு நூலகம்
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
110
D４ (a b c d )(a b c d ) • d c a c b c ,
cd bd ad
上页 下页 返回
第二列减去第一列得
100
D4 (a b c d )(a b c d ) • d c a d b c ,
a1 j M ai1 j ai1 j L anj
11
1 i j Mij
Aij .
上页 下页 返回
一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 aij
外都为零，那末这行列式等于
a
与它的代数余子
ij
式的乘积，即 D aij Aij ．
例如
a11 D a21
0
a12 a22 0
cd bc ad
按第一行展开 ad bc
D４ (a b c d )(a b c d ) b c a d
(a b c d)(a b c d)•[(a d)2 (b c)2]
(a b c d )(a b c d ) • (a b c d )(a b c d )
a11 L M ai11 L
D 1 ni 1 n j ai11 L
LL an1 0L
a1 j1 M
ai1 j1 ai1 j1
L anj 1
0
a1 j1 M
ai1 j1 ai1 j1
L anj 1
0
L a1n M L ai1n L ai1n LL L ann L
ai1 j1 ai1 j1
ai1 j ai1 j
ai1 j1 L ai1 j1 L
ai 1n ai1n
LL L L L LL
an1
anj 1
anj
anj1 L ann
0L
0
1aij
0 上页L 下页 0返回
再把D的第j 列依次与第j+1 列，第j+2 列, …, 第n 列对调
n
x ai
i 1
n
x ai
i 1
Dn1
x
n
ai
i 1
n
x ai
i 1
a1 a2 x a2 a2 x a2 a3
an
an
an x 上页 下页 返回
提取第一列的公因子，得 1 a1 a2
1 x a2
n
Dn1 ( x ai) 1 a2 x i 1
5 5 3 0
5 11 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6
2 8
2 40.
5 5 0 5
上页 下页 返回
推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对
应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
an
an
an
.
(x
n
n
ai) (x
a i ).
i1 i1
1 a2 a3 x
将第一列的-a1倍加到第2列， -a2倍加到第3列 ,…, - an 倍加到最后一列，得
10
0 0
1 x a1 0
n
Dn1 (x ai)1 a2 a1 x a2
i 1