人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：10【提高】《解三角形》全章复习与巩固

《解三角形》全章知识复习与巩固
【学习目标】
1.正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2.应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识网络】
【要点梳理】 要点一：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b c
A B C
==
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形，且
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆的外接圆半径）
； （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它． （3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
要点二：余弦定理 在△ABC 中，
A bc c b a cos 2222-+=，
B ac c a b cos 2222-+=，
C ab b a c cos 2222-+=
变形为：
bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，ab
c b a C 2cos 2
22-+=
要点诠释：
（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；
（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；
（3）正、余弦定理可以结合使用. 要点三：三角形的面积公式
(1) 111
222a b c S ah bh ch =
==，其中,,a b c h h h 为,,a b c 边上的高 (2)B ac A bc C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===
（3）S =2
a b c
p ++=
要点四：三角形形状的判定方法
设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ， 解斜三角形的主要依据是：
（1）角与角关系：由于A +B +C = π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC ；
2
sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+； （2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a < b ； （3）边与角关系：正弦定理、余弦定理 常用两种途径：
（1）由正余弦定理将边转化为角； （2）由正余弦定理将角转化为边.
要点诠释：①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等
综合结合起来.②在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.
要点五：解三角形应用的分类
（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达； （2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）； （3）角度问题； （4）面积问题.
【典型例题】
类型一：正、余弦定理的基本应用
例1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A+C ＝2B ． (1)求cos B 的值；
(2)若b 2＝ac ，求sin A sin C 的值．
【思路点拨】由题设“A+C ＝2B ”易知B ＝60°，又由边之间的关系“b 2＝ac ”，如何求“sin A sin C ”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值.
【解析】(1)由已知2B ＝A+C ，A+B+C ＝180°，解得B ＝60°，所以1
cos 2
B =
． (2)解法一：由已知2b ac =，及1cos 2
B =
， 根据正弦定理得2sin sin sin B A C =， 所以23sin sin 1cos 4
A C
B =-=
． 解法二：由已知2
b a
c =，及1
cos 2
b =，根据余弦定理得22cos 2a
c ac B ac +-=，
解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故3
sin sin 4
A C =
． 【总结升华】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形.
举一反三：
【变式1】在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，41
C cos =
，则c ＝ ；sinA ＝ ． 【答案】∵在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，4
1
C cos =，
∴由余弦定理得：c 2
＝a 2
＋b 2
－2abcosC ＝1＋4－1＝4，即c ＝2； ∵4
1
C cos =
，C 为三角形内角， ∴4
15C cos 1C sin 2
=
-= ∴由正弦定理
A sin C sin a
c =
得：8
152415
1C sin A sin =⨯
==c a ． 故答案为：2；
8
15
【变式2】在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1
cos 4
B =-,则b =___________. 【答案】在AB
C ∆中,得用余弦定理
22214()()47()
cos 2444a c b c b c b c b B ac c c
+-++-+-=⇒-==,化简得8740c b -+=,与题目条件
7b c +=联立,可解得2,4,3a b c ===. 故答案为4.
类型二：正、余弦定理的综合应用
例2. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知→
→
BC BA ·＝2，cosB ＝3
1
，b ＝3，求：(Ⅰ)a 和c 的值；(Ⅱ)cos(B －C)的值． 【答案】(Ⅰ) a ＝3，c ＝2，(Ⅱ)
27
23． 【思路点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角C 的正弦值. 【解析】(Ⅰ)∵→
→
BC BA ·＝2，cosB ＝
3
1
， ∴c •acosB ＝2，即ac ＝6①， ∵b ＝3，
∴由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，即9＝a 2＋c 2－4， ∴a 2＋c 2＝13②，
联立①②得：a ＝3，c ＝2；
(Ⅱ)在△ABC 中，sinB ＝3
2
2)3
1(1cos 12
2
=
-=-B ， 由正弦定理
C c B b sin sin =
得：sinC ＝b
c
sinB ＝92432232=⨯， ∵a ＝b ＞c ，∴C 为锐角， ∴cosC ＝9
7
)924(
1sin 122=-=-C ， 则cos(B －C)＝cosBcosC ＋sinBsinC ＝
31×9
7＋2723
924322=⨯． 【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.
举一反三：
【变式1】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ：sinB ：sinC 为（ ） A ．4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4
【答案】由于a ，b ，c 三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可设三边长分别为 a 、a-1、a-2．
由余弦定理可得 222222(1)(2)5
cos 22(1)(2)2(2)
b c a a a a a A bc a a a +--+---===---
又3b=20acosA ，可得33(1)5
cos 20202(2)
b a a A a a a --===- 解得6a =，故三边是6,5,4.
由正弦定理可得sinA ：sinB ：sinC=6:5:4
【变式2】已知△ABC 中cos cos a A b B =，试判断△ABC 的形状. 【答案】方法一：用余弦定理化角为边的关系
由cos cos a A b B =得222222
22b c a a c b a b bc ac
+-+-⋅=⋅，
整理得2
2
2
2
2
2
2
2
()()a b c a b a c b +-=+-， 即2
2
2
2
2
()()0a b a b c -+-=，
当220a b -=时，ABC ∆为等腰三角形；
当2220a b c +-=即222a b c +=时，则ABC ∆为直角三角形； 综上：ABC ∆为等腰或直角三角形。

方法二：用正弦定理化边为角的关系 由正弦定理得：
2sin sin ==a b R A B
即2sin =a R A ，2sin =b R B ∵cos cos a A b B =，
∴2sin cos 2sin cos =R A A R B B 即sin2sin2=A B ∵0∈、（，）
A B π ∴22=A B 或22+=A B π，即=A B 或2
+=
A B π
故ABC ∆为等腰三角形或直角三角形。

类型三：利用正、余弦定理解决实际问题
例3.（2017春 宜宾校级期中）一艘轮船从A 出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东35
°的方向航行了C 。

如果下次航行直接从A 出发到C ，此船航行的方向和路程（海里）分别为（ ）
A ．北偏东80
°， B ．北偏东65
°，2) C ．北偏东65
°， D ．北偏东80
°，2) 【答案】C
【思路点拨】在△ABC 中，∠ABC=70°+35°=105°，AB=40
，BC =AC 的长度，在△ABC 中，可由正弦定理建立方程
sin sin105BC AC
CAB =
∠︒
，求出∠CAB 。

【解析】由题意，在△ABC 中，∠ABC=70°+35°=105°，AB=40
，BC =根据余弦定理得
222222cos 402404
3200AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯=+
∴AC =。

根据正弦定理
sin sin105BC AC
CAB =
∠︒
，∴∠CAB=45°， ∴此船航行的方向和路程（海里）分别为北偏东65
°、。

故选C 。

【总结升华】
本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏东”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式进行求解．
举一反三：
【变式1】（2017 河南模拟）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30°。

则塔高AB 为（ ）m 。

A ．20
B ．
C ．
D ．40 【答案】∵∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=45°，
在△BCD 中，由正弦定理得：sin sin BC CD BDC CBD =∠∠，即40
sin 60sin 45BC =
︒︒
，
解得BC =
又tan AB ACB BC ∠==AB == 故选B 。

【变式2】如图所示，海中小岛A 的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东030，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东045，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A 到BC 所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.
在ABC ∆中，30BC =，030ABC ∠=，00018045135ACB ∠=-=，
∴015A ∠=，
由正弦定理知：
sin sin BC AC A B =，∴30sin15sin 30AC
=
︒︒
∴30sin 3060cos15sin15AC ︒
==︒=︒
于是A 到BC 所在直线的距离为sin 451)40.98AC ⋅︒=≈(海里) 它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.
类型四：解三角形与其他知识的交汇
例4.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知,sin(
)sin(
)4
4
4
A b C c
B a π
π
π
=
+-+=.
(1)求证:2
B C π
-=
(2)若,求△ABC 的面积. 【解析】(1)证明:由 sin(
)sin()44
b C
c B a π
π
+-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44
B C C B A ππ
+-+=,
即sin (
)sin ()22222
B C C C B B +-+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4
B C π
<< 所以2
B C π
-=
(2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ==,
又,4
A a π==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8
a B a C
b
c A A ππ
====,
所以三角形ABC 的面积
151
sin sin cos 2888842
bc A πππππ===== 【总结升华】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 举一反三：
【变式1】在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =.
(1)求证:tan 3tan B A =; (2)
若cos 5
C =
求A 的值. 【答案】 (1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B ,即cos =3cos AC A BC B .
由正弦定理,得
=
sin sin AC BC
B A
,∴sin cos =3sin cos B A A B . 又∵0<A B<π+,∴cos 0 cos 0A>B>，.∴
sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A
=. (2)∵ cos 05C <C <π=
,∴sin C =.∴tan
2C =.
∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A B
A B
+=--.
由 (1) ,得2
4tan 213tan A
A
=--,解得1tan =1 tan =3A A -，. ∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4
A π
.
【变式2】在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC ⋅=⋅.
(1)求证:tan 3tan B A =;
(2)若cos C =
求A 的值. 【答案】 (1)∵3AB AC BA BC ⋅=⋅,∴cos =3cos AB AC A BA BC B ⋅⋅⋅⋅,即cos =3cos AC A BC B ⋅⋅.
由正弦定理,得
=
sin sin AC BC
B A
,∴sin cos =3sin cos B A A B . 又∵0<A B<π+,∴cos 0 cos 0A>B>，.∴
sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =.
(2)∵ cos 0C <C <π=,∴sin C =.∴tan 2C =. ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A B
A B
+=--.
由 (1) ,得24tan 2
13tan A
A
=--,解得1tan =1 tan =3A A -，. ∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=
4
A π
. 【巩固练习】 一、选择题
1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，c ＝120°，则sin A ＝( )
A B C D
2．设a 、b 、c 为△ABC 的三条边长，且关于x 的方程22()10a bc x +++=有两个相等的实数根，则A 的大小是( )
A ． 120°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
3．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，2ABC S =△，则△ABC 外接圆的直径为( )
A ．
B ．5
C ．
D ．
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若∠C ＝120°，c =，则( )
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
5． 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ＝4，b+c ＝5，tan B C =，
则△ABC 的面积为( )
A B ． C D ．3
4
6．（2017 长春四模）如图，从高为h 的气体（A ）上测量铁桥（BC ）的长，如果测得桥头B 的俯角是
α，桥头C 的俯角是β，则该桥的长可表示为（ ）
A ．
sin()sin sin h αβαβ
-⋅ B ．
sin()cos cos h αβαβ-⋅ C ．sin()cos cos h αβαβ-⋅ D ．cos()
cos cos h αβαβ-⋅ 7．已知△ABC 中，2222
sin()sin()
c b C B c b C B ++=--，那么△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．直角三角形 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A ．
7
25
B ．725-
C ．725±
D ．2425
二、填空题
9． 若△ABC 中，已知A tan AC ·AB ＝→
→，当6
A π
＝时，△ABC 的面积为 ．
10．在△ABC 中，已知sin A :sin B ，2
2
c b =，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________． 11．（2017 衡阳一模）如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B 、D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为________km 。

12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝
4
1
a ，2sinB ＝3sinC ，则cosA 的值为 ．
三、解答题
13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a ＋b ＋c ＝8．
(Ⅰ)若a ＝2，b ＝
2
5
，求cosC 的值； (Ⅱ)若sinAcos 22B ＋sinBcos 2
2A ＝2sinC ，且△ABC 的面积S 2
9＝sinC ，求a 和b 的值．
14. 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
15. 设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边，并且
22sin sin sin sin 33A B B B ππ⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
(1)求角A 的值；
(2)若12AB
AC =，a =b ，c (其中b ＜c )．
16. （2017 南通模拟）如图所示，某镇有一块空地△OAB ，其中OA=3 km ，OB =，∠AOB=90°。

当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN ，其
中M ，N 都在边AB 上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM 地带上形成假山，剩下的△OBN 地带开设儿童游乐场。

为安全起见，需在△OAN 的一周安装防护网。

（1）当3
km 2
AM =
时，求防护网的总长度； （2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN 的面积最小？最小面积是多少？
【答案与解析】
1．【答案】 A
【解析】2222cos 76c a b ab C =+-=，c =c =-，又
sin sin c a
C A
=
，
4
sin A =
，∴ sin A =．
【解析】 ∵ △＝4(b 2+C 2)-4(a 2+bc )＝0，∴ b 2+c 2-a 2＝bc ，∴ 2cosA ＝1，∴ A ＝60°． 3．【答案】C
【解析】 ∵ 1
s i n 2
2
ABC S ac B =
=△，∴ c = 由余弦定理，得2222cos 25b a c ac B =+-=， 所以b ＝5或b ＝-5(舍去)．
由正弦定理，得2sin b
R B
==R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C ． 4．【答案】A
【解析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，又∠C ＝120°，c =
，
∴ 2222a a b a b =++，∴ 222
a b a b b
=+>，∴ a b >，故选A ． 5．【答案】C
【解析】∵ t a n t a n 3t a n
t a n B C B C +，
tan tan tan()1tan tan B C
B C B C
++=-，
∴ t a n ()3B C += B+C ＝120°，A ＝60°． ∵ 2222c o s a b c b A =+-，而5b c +=，
∴ 22252b c bc +=-，∴ 16＝25-2bc -2bc cos60°＝25-3bc ， ∴ bc ＝3．
∴ 1s i n 24
ABC S bc A ==△． 6．【答案】A
【解析】 由∠EAB=α，得∠DBA=α，
在Rt △ADB 中，∵AD=h ， ∴sin h
AB α
=
， 又∠EAC=β，∴∠BAC=α－β。

在△ABC 中，sin()sin()
sin sin sin AB BC h αβαββαβ
--==⋅。

故选A 。

【解析】 由已知条件及正弦定理得
2222
sin sin sin()
sin sin sin()C B C B C B C B ++=-- sin cos cos sin sin cos cos sin C B C B
C B C B
+=
-，
∴ 3
223s i n c o s s i n
c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n
C B C C B C B B C B +-- 3223sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin C B C C B B C B C B =-+-，
∴ sin2C ＝sin2B ．
又由题设可知，B ≠C ，．∴ 2C ＝π－2B ， ∴ 2
B C π
+=
．
∴ △ABC 为直角三角形． 8．【答案】A
【解析】由正弦定理得sin sin b c
B C =，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得8
5
sin sin 2b
b B B =， 化简得8
15sin 2sin cos B B B
=
，则4cos 5B =． 所以2
2
47cos cos 22cos 121525C B B ⎛⎫
==-=⨯-= ⎪⎝⎭
，故选A ．
9．【答案】
6
1
【解析】△ABC 中，∵→
AB ·→
AC ＝AB •AC •cosA ＝tanA ，∴当6A π＝时，有 AB •AC •
23＝3
3，解得AB •AC ＝
32
， △ABC 的面积为 21AB •AC •sinA ＝61
213221＝⨯⨯，
故答案为：6
1
．
10．【答案】 45°，30°，105° 【解析】
由已知条件可得a =
，又
∵ 2222c o s a b c b A =+-，
∴ 22222c o s b b c b c A =+-
，又2
2
c b =，
∴
c o s
2A =，A ＝45°，1
sin 2
B =，B ＝30°，∴
C ＝105°． 11．【答案】 7
【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2－2AB ×BCcosB=89－80cosB ，
在△ACD 中，由余弦定理得AC 2=CD 2+AD 2－2AD ×CDcosD=34－30cosD ， ∴89―80cosB=34―30cosD ， ∵A+C=180°，∴cosB=－cosD ，
∴1cos 2
D =-
， ∴123430()492
AC =-⨯-=。

∴AC=7。

故答案为7。

12. 【答案】－
4
1 【解析】在△ABC 中， ∵b －c ＝
4
1
a ①，2sinB ＝3sinC ， ∴2
b ＝3
c ②，
∴由①②可得a ＝2c ，b ＝
2
3c ． 再由余弦定理可得 4
1
·34492cos 2
2
22
2
2
-=-+=-+=c c a c c bc a c b A ，
故答案为：－4
1
．
13． 【解析】(Ⅰ)∵a ＝2，b ＝2
5
，且a ＋b ＋c ＝8，
∴c ＝8－(a ＋b)＝2
7
，
∴由余弦定理得：512
522272522C cos 2
2
2222-=⨯⨯⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=
ab c b a ；
(Ⅱ)由sinAcos 22B
＋sinBcos 2
2A ＝2sinC 可得：
sinA •
2B cos 1+＋sinB •2
A
cos 1+＝2sinC ， 整理得：sinA ＋sinAcosB ＋sinB ＋sinBcosA ＝4sinC ，
∵sinAcosB ＋cosAsinB ＝sin(A ＋B)＝sinC ， ∴sinA ＋sinB ＝3sinC ，
利用正弦定理化简得：a ＋b ＝3c ， ∵a ＋b ＋c ＝8， ∴a ＋b ＝6①， ∵S ＝
21absinC ＝2
9
sinC ， ∴ab ＝9②，
联立①②解得：a ＝b ＝3．
14. 【解析】 解法一：设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则
3020cos(90S t =-°400=
=
故当1
3
t =
时，min S =
此时13
v =
= 即小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．
设小艇与轮船在C 处相遇．
在Rt △OAC
中，20cos30OC == AC ＝20 sin30°＝10． 又AC ＝30t ，OC ＝vt ． 此时，轮船航行时间3
1
3010==
t ． 3303
13
10==
v ． 即，小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
15．【解析 】(1)
因为22
11sin cos sin sin sin 2222A B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
222313
cos sin sin 444
B B B =-+=，
所以sin A =．又因为△ABC 为锐角三角形，所以3
A π
=． (2)由12AB AC =可得cos 12cb A =．
由(1)知3
A π
=
，所以cb ＝24． ②
由余弦定理知2222cos a c b cb A =+-，
将a =
2252c b +=， ③
③+②×2，得2
()100c b +=， 所以c+b ＝10或c+b ＝-10(舍去)．
因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根． 解此方程并由c ＞b 知c ＝6，b ＝4．
16. 【解析】（1）∵OA=3 km
，OB =，∠AOB=90°，∴A=60°，AB=6。

在△OAM 中，由余弦定理得：OM2=OA2+AM2－2OA ·AM ·cosA=
27
4。

∴2
OM =。

由正弦定理得：sin sin AM OM AOM A =
∠
，即32sin 2
AOM =∠， ∴1
sin 2
AOM ∠=。

∴A=30°。

∴∠AON=∠AOM+∠MON=60°。

∴△OAN 是等边三角形。

∴△OAN 的周长C=3OA=9。

∴防护网的总长度为9 km 。

（2）设∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），则∠AON=θ+30°，∠OMA=120°－θ，∠ONA=90°－θ。

在△OAM 中，由正弦定理得
sin sin OM OA
A OMA =
∠
33sin(120)sin(60)
θθ==︒-︒+。

∴2sin(60)
OM θ=
︒+，
在△AON 中，由正弦定理得
sin sin ON OA
A ONA =
∠
33sin(90)cos 2
θθ
==︒-，
∴2cos ON θ
=
，
∴127sin 216cos sin(60)OMN S OM ON MON θθ∆=
⋅⋅∠==+︒。

∴当且仅当2θ+60°=90°，即θ=15°时，△OMN
=
2。