江西省南昌市十所省重点中学命制2017届高三第二次模拟突破冲刺数学理试题二

南昌市十所省重点中学2017年二模突破冲刺交流卷（02）
高三理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
（1）设集合2{|60}A x x x =-≤-，22{}B x x =，则A B ⋂=
（A ）(2,3] （B ）(2,3) （C ）(2,3]- （D ）(2,3)-
（2）设i 为虚数单位，若i
()1i
a z a -=
∈+R 是纯虚数，则a 的值是 （A ）1-
（B ）0
（C ）1 （D ）2
（3）若θ是第二象限角且sin θ =
1213，则4
tan()πθ+= （A ）177
-
（B ）717
-
（C ）
177
（D ）
717
（4）设F 是抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点，直线l 过点F 且与抛物线E 交于A ，B
两点，若F 是AB 的中点且8AB =，则p 的值是 （A ）2
（B ）4
（C ）6
（D ）8
（5）为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动”．其内容如下：卡号的前7位是固
定的，后四位从“0000”到“9999”共10000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为优惠卡，则“优惠卡”的个数是 （A ）1980
（B ）4096
（C ）5904
（D ）8020
（6）在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AC 的中点，点F 在线段AD 上并且AF =
2DF ，设AB = a ，BC = b ，则EF = （A ）23a 1
6-b （B ）23a 1
2- b （C ）
1
6
a 13- b
（D ）
16a 16
-b （7）设max{,}m n 表示m ，n 中最大值，则关于函数()max{sin cos ,sin cos }
f x x x x x =+-的命题中，真命题的个数是 ①函数()f x 的周期2T =π
②函数()f x 的值域为[2]-
③函数()f x 是偶函数 ④函数()f x 图象与直线x = 2y 有3个交点 （A ）1
（B ）2
（C ）3 （D ）4
（8）更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者
半之，不可半者，副置分母、子之数，以少
减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”
右图是该算法的程序框图，如果输入a=
153，b = 119，则输出的a值是
（A）16
（B）17
（C）18
（D）19
（9）设实数0
a b
>>，0
c>，则下列不等式一定正确
．．．．的是
（A）01
a
b
<<（B）ln0
a
b
>
（C）a b
c c
>（D）0
ac bc
-<
（10）下列方格纸中每个正方形的边长为1，粗线部分是一个几何体的三视图，则该几
何体最长棱的棱长是
（A）3 （B）6 （C）25（D）5
（11）设P为双曲线C：
22
22
1(0
x y
a
a b
-=>，0)
b>上且在第一象限内的点，F1，F2分别
是双曲线的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中
点，线段EF1与PF2交于点M．若
2
2
PM MF
=，则双曲线的离心率是（A）12
+（B）22
+（C）32
+（D）42
+
（12）设函数()
f x= x·e x，2
()2
g x x x
=+，
2
()2sin()
63
h x x
=+
ππ
，若对任意的x∈R，都有()()[()2]
k
h x g
x x
f≤+
-成立，则实数k的取值范围是
否
结束
输出 a
否
b = b - a a = a - b
是
是
a > b
a≠b
输入a，b
开始
（A ）1
(,1]e -∞+
（B ）1
(2,3]e -+
（C ）e
1
[2,)++∞
（D ）e
1
[1,)++∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）7(3)x -的展开式中，x 5的系数是 ．（用数字填写答案）
（14）若x ，y 满足约束条件320
200326x y x y x y -+⎧⎪
--⎨⎪+≤-≤⎩
≥，则2210634x y x y ++++的最小值是 ．
（15）下表示意某科技公司2012～2016年年利润y （单位：十万元）与年份代号x 之间
的关系，如果该公司盈利变化规律保持不变，则第n 年（以2012年为第1年）年利润的预报值是y = ．（直接写出代数式即可，不必附加单位）
年份 2012 2013 2014 2015 2016 年份代号x 1 2 3 4 5 年利润/十万元
1
6
15
28
45
（16）在如图所示的直角坐标系xOy 中，AC ⊥OB ，OA ⊥AB ，|OB | = 3，点C 是OB 上
靠近O 点的三等分点，若(0)k
y x x
=>函数的图象（图中未画出）与△OAB 的边
界至少有2个交点，则实数k 的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
C B
A
O y
x
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，D是BC边上靠近点B的三
等分点，
6 sin
2
BAC ACB
∠+∠
=．
（Ⅰ）若2cos(cos cos)
C a B b A c
+=，求C；
（Ⅱ）若c = AD = 3，求△ABC的面积．
（18）（本小题满分12分）
如图，在圆柱中，A，B，C，D是底面圆的四等分点，O是圆心，A1A，B1B，C1C 与底面ABCD垂直，底面圆的直径等于圆柱的高．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）（ⅰ）求二面角A1 - BB1 - D的大小；
（ⅱ）求异面直线AB1和BD所成角的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
王明参加某卫视的闯关活动，该活动共3关．设他通过第一关的概率为，通过第
二、第三关的概率分别为p，q，其中p q
>，并且是否通过不同关卡相互独立．记ξ为他通过的关卡数，其分布列为：
ξ0 1 2 3
P a b
（Ⅰ）求王明至少
．．通过1个关卡的概率；
（Ⅱ）求p，q的值．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C：
22
2
1(3)
3
x y
a
a
+=的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且
O
D
B
1
B
1
A
满足
113e
OF OA AF
+=
，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(0,1)的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数2321
()ln 342()2
f x x x ax x a a a a =--+--+∈R 存在两个极值点．
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）设1x 和2x 分别是()f x 的两个极值点且12x x <，证明：212e x x >．
请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos sin x t
y t =⎧⎨=⎩
（t 为参数）．在以坐
标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 1和C 2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；
（Ⅱ）试判断：曲线C 1和C 2是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没
有，请说明理由；
（Ⅲ）设(,)A a b 是曲线C 1上任意一点，请直接写出．．．．a + 2b 的取值范围． （23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数()2122f x x x =+--． （Ⅰ）将函数化为分段函数的形式； （Ⅱ）写出不等式()1f x <的解集．
理科数学试题答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案
A
C
B
B
C
D
C
B
B
D
A
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 题 号 13 14 15 16 答 案
189-
10
22n n -
92
[0,
)8
（1）{|(2)(3)0}{|23}A x x x x x =+-≤=-≤≤，{|22}B x x x =<->或，故(2,3]A B ⋂=．
（2）i (i)(1i)11
i 1i (1i)(1i)22a a a a z ----+=
==-++-，因为z 是纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨
+≠⎩
，故1a =． （3）由θ是第二象限角且sin θ =
1213知：251si cos n 13θθ=--=-，2
an 1t 5
θ=-． 所以45tan tan 7
tan()1t 445an tan 17
πθθθ+︒︒==--+．
（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1222
F x x p
x +=
=，故AB =1228x x p p ++==，即p = 4． （5）不带“6”或“8”的号码个数为84 = 4096，故带有“6”或“8”的有5904个． （6）2121111
()()3232266
EF AF AE AD AC AB BC AB BC AB BC =-=
-=+-+=-，故选D ．
（7）下图是函数()f x 与直线2x y =在同一坐标系中的图象，由图知①②④正确，选C . （8）第一次循环得：15311934a =-=；第二次循环得：1193485b =-=；第三次循环得：
853451b =-=；同理，第四次循环513417b =-=；第五次循环341717a =-=，此
时a = b ，输出a = 17，结束．
（9）由于0a b >>，1a b >，A 错；ln ln10a
b
>=，B 对；当01c <<时，a b c c <；当1c =时，
a b c c =；当1c >时，a b c c >，故a b c c >不一定正确；0a b >>，0c >，故0ac bc ->，
D 错．
（10）画出立体图（如图）．由图知，该几何体最长棱的棱长是5．
（11）由题设条件知1(,0)F c -，2(,0)F c ，2
(,)b P c a
，122F F c =．
在Rt △PF 1A 中，由射影定理得2
2
122PF F F AF =，所以4
222b AF a c
=．
所以42(,0)2b A c a c
+，42
2(,)42b b E c a c a +.1
2
24422
2
22824EF b ab c a k b b a c c a c
-==++．
所以EF 1的直线方程是1()EF y k x c =+，当x = c 时1
222
4224283EF ab c b y ck b a c a
===
+． 即6222222812b a b c a b c +=，4224b a c =，又222b c a =-，所以22222()4c a a c -=，即422460c a c a -+=，同除以a 4得42610e e -+=，得2322e =+或232()e =-舍． 所以12e =
（12）由题设()()[()2]k h x g x x f ≤+-恒成立等价于()()()2f x kg x h x k +≥-．
①
设函数()()()H x f x kg x =+，则()(1)(e 2)x H x x k '=++．
1°设k = 0，此时()e (1)x H x x '=+，当1x <-时()0H x '<，当1x >-时()0H x '>，故1x <-时()H x 单调递减，1x >-时()H x 单调递增，故1()(1)e H x H -≥-=-．而当1x =-时()h x 取得最大值2，并且1e 2--<，故①式不恒成立．
2°设k < 0，注意到22(2)e H -=-
，22
(2)2323e
h k k ---，故①式不恒成立． 3°设k > 0，()(1)(e 2)x H x x k '=++，此时当1x <-时()0H x '<，当1x >-时()0H x '>，故1x <-时()H x 单调递减，1x >-时()H x 单调递增，故1
()(1)e H x H k ≥-=--；而
当1x =-时max ()2h x =，故若使①式恒成立，则122e k k --≥-，得1
2e
k ≥+．
（13）由二项式定理得717(1)3C r r r r
r T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．
D
C
B
A
S
（14）画出可行域（如图）．所求代数式可化为
22(5)(3)x y +++，这表示动点(,)x y 与定点(5,3)--的距离的平方．
由图知，只有C 点可能与(5,3)M --的距离最短．
于是联立32020x y x y -+⎧⎨-=-=⎩，得2
4x y =-=-⎧⎨⎩
，所
以(2,4)C --．
而22(52)(34)10CM -++-+，2
2
53(3)(1)2
103(1)
d -+--+=
=+-××
故2210634x y x y ++++的最小值是10．
（15）考虑数列{}n a ，()n a f n =，那么11a =，26a =，315a =，428a =，545a =．
所以21540a a -=+×，32541a a -=+×，4354a a -=+×2，154(2)n n a a n --=+-， 上述各式相加得：
21(2)4(2)(12)
5(1)4[123]5422
n n n a a n n n n n -+-=+-++++⋯+=-+
=--．
（16）当k < 0时显然不成立；当k = 0时，直线y = 0与△OAB 边界有无数个交点，成立．
当k > 0时，由题设，2)A ，(3,0)B ，(1,0)C ．若函数与△OAB 的边界分别交于OA ，AB ，则()y f x =应满足(1)2f k =≤．若函数与△OAB 的边界AB 交于两点（不含A 点），则临界位置为相切．由题设AB 22220x y +-=．
设切点为00(,
)k x x ，2()k
f x x
'=-，则0202()k f x x '=-=，即202k =．将切点代入直线AB 方程得03
2
x =
，928k =．综上，9208k ≤<．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由2cos (cos cos )C a B b A c +=及正弦定理得
3x + 2y - 6 = 0
x - y - 2 = 0
3x - y + 2 = 0
O
C
M (-5,-3)
y
x
2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=2cos sin()sin C A B C ⇔+=
2cos sin sin C C C ⇔=，因为,)(0C ∈π，所以sin C ≠0，所以2cos 1C =．
又因为,)(0C ∈π，所以3
C =π． ………………………………………… 6分
（Ⅱ）由6sin
sin cos 222BAC B B B AC -∠+∠===
π得21
cos 2cos 123B B =-=． 由余弦定理得222cos 2AB BD AD B AB BD +-=×，即222
133=323BD BD
+-××，得2BD =，
故6a =．过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，sin 22AE AB B ==×． 所以△ABC 的面积为1
226622
=××
………………………… 12分
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：因为B 1B ⊥平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥B 1B ，又因为
在底面圆O 中，AB ⊥BC ，AB ∩B 1B = B ，所以BC ⊥平面A 1B 1BA ，又因为BA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以BC ⊥AB 1．
…………………………… 5分
（Ⅱ）（ⅰ）由圆柱性质知CB 、CD 、CC 1两两垂直．以C 为原点，以CD 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设圆柱的高为2． 则(0,0,0)C ，2,0)B ，(1,1,0)O ．
…………………………… 6分
所以平面A 1B 1B 的一个法向量是(0,2,0)CB =． 平面BB 1D 的一个法向量是(1,1,0)CO =． 所以22
cos ,2
22
·CB CO CB CO CB CO
<>=
=
=
×． …………………………… 8分 由图知二面角A 1 - BB 1 - D 是锐二面角，所以它的大小是
4
π． …………… 9分
（ⅱ）由题意得(2,2,0)A ，(2,0,0)D ，12,2)B ． 所以1(2,0,2)AB =-，(2,2,0)BD =． 所以11126
cos ,2·422
AB BD AB BD AB BD
<>==
=
++-． …………………… 12分 （19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设事件(1,2,3)i A i =表示“王明通过第i 个关卡”，由题意知1()0.8P A =，
2()P A p =，3()P A q =．
…………………… 2分
由于事件“王明至少通过1个关卡”与事件“ξ＝0”是对立的，所以王明至少通过1个关卡的概率是1(0)10.0480.952P ξ-==-=． …………………………… 6分 （Ⅱ）由题意(0)0.2(1)(1)0.048P p q ξ==--=，(3)0.80.192P pq ξ===． 整理得1p q +=，0.24pq =，又p q >，所以0.6p =，0.4q =． ………… 12分 （20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c ，则|OF | = c ，|OA | = a ，|AF | =a c -．
所以113e c a a c +=-，其中c
e a
=，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =．
所以椭圆C 的方程是22
143
x y +=．
…………………………………………… 4分 （Ⅱ）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形． ……………… 5分 当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+． 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得22(43)880k x kx ++-=．
于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=22(8)32(43)k k ++，这显然大于0． 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ． 由根与系数的关系得122843k x x k +=-
+，12
28
43
x x k =-+． ……………… 7分 所以222
12462111k k MN k x ++=+-=，又O 到l 的距离21d k =
+． 所以△OMN 的面积2222
1262121
262(43)k k S d MN k ++===+．………… 10分
令2433t k =+≥，那么2211126
2323t S t t t -==-+当且仅当t = 3时取等． 所以△OMN 26
． …………………………………… 12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln f x x ax '=-，故函数()f x 有两个
极值点等价于其导函数()f x '在(0,)+∞有两个零点． 当a = 0时()ln f x x '=，显然只有1个零点01x =． ……………………… 2分
当a ≠0时，令()ln h x x ax =-，那么11()ax
h x a x x
-'=
-=
．
若a < 0，则当x > 0时()0h x '>，即()h x 单调递增，所以()h x 无两个零点. … 3分 若a > 0，则当10x a
<<
时()0h x '>，()h x 单调递增；当1
x a >时()0h x '<，()h x 单
调递减，所以11
()()ln 1h x h a a ≤=-. 又(1)0h a =-<，当x →0时→-∞，故若有两
个零点，则11
()ln 10h a a
=->，得10a e <<．
综上得，实数a 的取值范围是1
(0,)e
． ………………………………………… 6分
（Ⅱ）要证212e x x >，两边同时取自然对数得212ln ln n 2e l x x +>=． ……… 7分 由()0f x '=得1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得1212
1212
ln ln ln ln x x x x a x x x x +-==
+-. 所以原命题等价于证明12121212
()(ln ln )
ln ln 2x x x x x x x x +-+=
>-． …………… 8分
因为12x x <，故只需证1212122()
ln ln x x x x x x --<+，即1
1212
2
2(
1)
ln 01x x x x x x --<+．…… 9分
令12x t x =
，则01t <<，设2(1)()ln (01)1
t g t t t t -=-<<+，只需证()0g t <．… 10分 而2
22
14(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，故()g t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0g t g <=．
综上得212e x x >．………………………………………………………………… 12分 （22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题设知曲线C 1的方程是2214
x y +=．
所以曲线C 1表示以(3,0)为焦点，中心为原点的椭圆．…………………… 3分 同理曲线C 2的方程是2220x y y +-=．
所以曲线C 2表示以(0,1)为圆心，半径是1的圆．
……………………… 5分
（Ⅱ）联立曲线C 1和C 2的直角坐标方程，得2222
44
20x y x y y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩
． 消去x ，得23240y y +-=，解得131y -=131)y --=舍．
由图形对称性知公共点的个数为2．
……………………………………… 8分
（Ⅲ）a + 2b 的取值范围是[2,22]-．
……………………………… 10分
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题设
3,1
1
()41,1
2
1
3,
2
x
f x x x
x
⎧
⎪>
⎪
⎪
=--≤≤
⎨
⎪
⎪
-<-
⎪⎩
．………………………………6分
（Ⅱ）不等式的解集是
1
(0,)
2
． (10)。