湖南省长沙市2019-2020学年中考第四次大联考数学试卷含解析

湖南省长沙市2019-2020学年中考第四次大联考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．要使分式有意义，则x的取值应满足（）
A．x=﹣2 B．x≠2C．x＞﹣2 D．x≠﹣2
2．抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中点，
直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（）
A．6 B．9 C．10 D．12
4．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，
则cos∠ECB为（）
A．3
5
B．
313
13
C．
2
3
D．
213
13
6．如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）
A．42 B．96 C．84 D．48
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝1
3
S矩形ABCD，则点P到A、B两点距
离之和PA+PB 的最小值为（ ）
A ．29
B ．34
C ．52
D ．41 8．一个圆锥的底面半径为
52，母线长为6，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A ．180°
B ．150°
C ．120°
D ．90° 9．在3，0，－2，－
四个数中，最小的数是（ ） A ．3 B ．0 C ．－2 D ．－
10．如果(x －2)(x ＋3)=x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值是（ ）
A ．p=5，q=6
B ．p=1，q=－6
C ．p=1，q=6
D ．p=5，q=－6
11．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为（ ）
A ．20
B ．24
C ．28
D ．30 12．把a•1a
-的根号外的a 移到根号内得（ ） A ．a
B ．﹣a
C ．﹣a -
D ．a - 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．把抛物线y=2x 2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是_____． 14．如图，在正六边形ABCDEF 的上方作正方形AFGH ，联结GC ，那么GCD ∠的正切值为___．
15．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
16．分式方程231
x x =+的解为x=_____． 17．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和两个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是__________.
18．如图，边长为6cm 的正三角形内接于⊙O ，则阴影部分的面积为（结果保留π）_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：
成绩频数频率
优秀45 b
良好 a 0.3
合格105 0.35
不合格60 c
（1）该校初三学生共有多少人？求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
20．（6分）定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．例：如图①，在△ABC中，D为边BC的中点，AE⊥BC于E，则线段DE的长叫做边BC的中垂距．
(1)设三角形一边的中垂距为d(d≥0)．若d=0，则这样的三角形一定是，推断的数学依据
是.
(2)如图②，在△ABC中，∠B=15°，AB=32，BC=8，AD为边BC的中线，求边BC的中垂距．
(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=1．点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结AC．求△ACF中边AF的中垂距．
21．（6分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点
G ，求证：点G 在BD 上．
22．（8分）如图，已知△ABC 中，AB=AC=5，cosA=35．求底边BC 的长．
23．（8分）计算：2sin30°﹣|1﹣3|+（12
）﹣1 24．（10分）如图，已知平行四边形OBDC 的对角线相交于点E ，其中O （0，0），B （3，4），C （m ，0），反比例函数y=
k x （k≠0）的图象经过点B ．求反比例函数的解析式；若点E 恰好落在反比例函数y=k x
上，求平行四边形OBDC 的面积．
25．（10分）解方程组220y x x y =⎧⎨+-=⎩
. 26．（12分）如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，求证：AM ∥CN
27．（12分）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产500只同一型号的零件，他们生产的零件y （只）与生产时间x （分）的函数关系的图象如图所示．根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲每分钟生产零件_______只；乙在提高生产速度之前已生产了零件_______只；
（2）若乙提高速度后，乙的生产速度是甲的2倍，请分别求出甲、乙两人生产全过程中，生产的零件y（只）与生产时间x（分）的函数关系式；
（3）当两人生产零件的只数相等时，求生产的时间；并求出此时甲工人还有多少只零件没有生产．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
试题分析：∵分式有意义，∴x+1≠0，∴x≠﹣1，即x的取值应满足：x≠﹣1．故选D．
考点：分式有意义的条件．
2．A
【解析】
【分析】
根据二次函数图象所在的象限大致画出图形，由此即可得出结论．
【详解】
∵二次函数图象只经过第一、三、四象限，∴抛物线的顶点在第一象限．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，大致画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．
【详解】
解：如图，连接OA、OB，
，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为6，
∴AB=OA=OB=6，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF=1
2
AB=3，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，
∴GE+FH的最大值为：12﹣3=1．
故选：B．
【点睛】
本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键. 4．D
【解析】
【分析】
根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0
【详解】
∵关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，
∴()()2210
{2410
a b a +≠-+V ＝＝， ∴b=a+1或b=-（a+1）．
当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x 2+bx+a=0的根；
当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x 2+bx+a=0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠-（a+1），
∴1和-1不都是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根．
故选D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
连接EB ，设圆O 半径为r ，根据勾股定理可求出半径r=4，从而可求出EB 的长度，最后勾股定理即可求出CE 的长度．利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
解：连接EB ，
由圆周角定理可知：∠B=90°，
设⊙O 的半径为r ，
由垂径定理可知：AC=BC=4，
∵CD=2，
∴OC=r-2，
∴由勾股定理可知：r 2=（r-2）2+42，
BCE 中，由勾股定理可知：CE=213， ∴cos ∠ECB=CB CE =21313， 故选D ．
【点睛】
本题考查垂径定理，涉及勾股定理，垂直定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型． 6．D
【解析】
【分析】
【详解】
由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE ﹣DO=10﹣4=6，
∴S 四边形ODFC =S 梯形ABEO =
12（AB+OE ）•BE=12（10+6）×6=1． 故选D.
【点睛】
本题考查平移的性质，平移前后两个图形大小，形状完全相同，图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离.
7．D
【解析】
解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB•h=13AB•AD ，∴h=23
AD=2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．
在Rt △ABE 中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=22AB AE + =2254+=41，即PA+PB 的最小值为41．故选D ．
8．B
【解析】
【分析】
解：
56
2
2180
nπ
π⨯=，解得n=150°．故选B．
考点：弧长的计算．
9．C
【解析】
【分析】
根据比较实数大小的方法进行比较即可．根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
【详解】
因为正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值较大的数反而较小,
所以,
所以最小的数是,
故选C.
【点睛】
此题主要考查了实数的大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小．10．B
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．
【详解】
解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-1，
又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，
∴x2+px+q=x2+x-1，
∴p=1，q=-1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．
11．D
【解析】
【详解】
试题解析：根据题意得9
n
=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选D．
考点：利用频率估计概率．
12．C
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得a<0，原式变形为﹣（﹣a）
【详解】
解：∵﹣1
a
＞0，
∴a＜0，
∴原式＝﹣（﹣a）
＝
．
故选C．
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简，主要是判断根号有意义的条件，然后确定值的范围再进行化简，是常考题型．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．y=1（x﹣3）1﹣1．
【解析】
【分析】
抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．
【详解】
∵y=1x1的顶点坐标为（0，0），。