哈尔滨市呼兰区第一中学校2021届高三上学期11月阶段考试数学(理)试卷

高三学年上学期阶段质量检测
数学试题（理科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合}|{2x y y M ==，}2|{2
2=+=y x y N ，则N M =（） A.)}1,1(),1,1{(- B.}1{ C.]1,0[ D.]2,0[
2．已知i 为虚数单位，复数2i 12i
z +=-，则|z|+
1z
＝()
A.i
B.1i -
C.1i +
D.i -
3．由曲线2
3
,y x y x ==围成的封闭图形面积为()
A.
112 B.1
4
C.13
D.712
4．已知(1,2),(2,3)a b =--=-，当ka b +与2a b +平行时，k 的值为( )
A.14B ．－14C ．－12D.12
5.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2x
y x =⋅的图象(部分)如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A.①④②③B．①④③②C．④①②③
D ．③④②①
6．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，若()6f x f π⎛⎫
≤∈
⎪⎝⎭
对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，则ϕ等于（） A.
6
π B.56π C.76π D.116π
7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,)+∞单调递增.若实数a 满足212
(log )(log )2(1)f a f f a ≤+,则a 的取值范围是（）
A.[1,2]
B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.(0,2] 8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（） A.16πB.4πC.8π
D.2π
9．数列{}n a 满足2
2
1221,1,(1sin )4cos 22
n n n n a a a a ππ
+===++，则910,a a 的大小关系为（）
A.910a a >
B.910a a =
C.910a a <
D.大小关系不确定
10．已知函数()f x 在R 上满足2
(1)2(1)31,f x f x x x +=--++则曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程是（）
A.320x y --=
B.320x y +-=
C.10x y -+=
D.20x y --=
11．已知实系数一元二次方程2
(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且
1202,2x x <<>，则
1
b
a -的取值范围是() A.)31,1(-- B.]31,3(-- C.)21,3(-- D.]21
,3(--.
12．已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足：0)()('
<+x f x f ，则
1
22)(+--m m e
m m f 与)1(f （e 是
自然对数的底数）的大小关系是（） A.
1
22)(+--m m e
m m f >)1(f B.
1
22)(+--m m e
m m f <)1(f C.
1
22)(+--m m e
m m f ≥)1(f D.不确定
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知321()(4)1(0,0)3f x x ax b x a b =++-+>>在1x =处取得极值，则21
a b
+的最小值为________。

14．已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ；2
3
125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________________________________________=
2
3
（*）
15．已知35sin cos 5αα+=
，(0,)4πα∈，3sin()45πβ-=，(,)42
ππ
β∈， 则cos()αβ+的值为___________.
16．对任意实数y x ,满足方程112---++=y x y x e e x （e 是自然对数的底数），则
=⋅y x e _________.
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．（本题满分10分）
设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为23,a a 的等差中项 （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和。

18．（本题满分12分） 在ABC ∆中,满足：23
2cos cos sin()sin cos()25
A B B A B B A C ---++=-. (1)求cos A 的值;
(2)若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影. 19．（本题满分12分）
已知函数()ln (,0)f x x ax a R a =-∈>． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在[1,2]上的最小值 20．（本题满分12分） 已知函数2()cos ()12f x x π
=+
，1
()1sin 22
g x x =+. (1)设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值； (2)求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间 21．（本题满分12分）
正项数列}{n a 的前n 项和n s 满足：0)()1(222
=+--+-n n S n n S n n
（1）求数列}{n a 的通项公式n a ； （2）令2
2)2(1n n a n n b ⋅++=
，数列}{n b 的前n 项和n T ，求证：对于任意的*
N n ∈，都有64
5<n T
22．（本题满分12分） 已知函数ax
x
x x f -+
=1ln )(，其中a 为大于零的常数 （1）若函数()f x 在区间[)1,+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；
（3）求证：对于任意的,n N n *
∈且＞1时，都有ln n ＞
111
23n
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+成立。

数学试题（理科）答案
一．选择题（60分） 二．填空题（20分）
13.314.
2
3)120(sin )60(sin sin 2
2
2
=
+︒++︒+ααα
15.
10
10-16.1 三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17.（10分）
解：（1）设公比为q ，则2
1112q a q a a +=，所以022
=-+q q ，解得1=q （舍去）或2-=q
（2）9
)2)(13(91n n n s -+-=
18. （12分） 解：（1）5
3
cos -
=A （2）由53cos -
=A ，π<<A 0，得54sin =A ，由B
b
A a sin sin =
得22sin =B 因为b a >，所以4
π
=
B ，根据余弦定理)5
3(525)24(222-⨯⨯-+=c c ，解得1=c 或
7-=c （舍）
故所求投影为2
2cos ||=B BA 19.(12分)
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝1－ax
x
因为a>0，令f′(x)＝1x －a ＝0，可得x ＝1
a
；
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
B
A
D
A
C
C
B
C
D
C
A
当0<x<1a 时，f′(x)＝1－ax
x >0；
当x>1a 时，f′(x)＝1－ax
x
<0，
故函数f(x)的单调递增区间为]1,0(a ，单调递减区间为),1
(+∞a
.
(2) ①当0<1
a ≤1，即a≥1时，函数f (x)在区间[1,2]上是减函数，
∴f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.
②当1a ≥2，即0<a≤1
2时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，
∴f(x)的最小值是f(1)＝－a.
③当1<1a <2，即12<a<1时，函数f(x)在]1,1[a 上是增函数，在]2,1
[a 上是减函
数．
又f(2)－f(1)＝ln2－a ，
∴当1
2<a<ln2时，f(x)的最小值是f(1)＝－a ；
当ln2≤a<1时，f(x)的最小值为f(2)＝ln2－2a.
综上可知，当0<a<ln2时，函数f(x)的最小值是f(x)min ＝－a ； 当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是f(x)min ＝ln2－2a. 20(12分)
解： (1)由题设知f(x)＝12)]62cos(1[π
++x
∵x＝x 0是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴， ∴2x 0＋
π6＝kπ(k∈Z)，即2x 0＝kπ－π
6
(k ∈Z)． ∴g(x 0)＝1＋12sin2x 0＝1＋12sin )6(π
π-k (k∈Z).
当k 为偶数时，g(x 0)＝1＋12sin )6(π
-＝1－14＝34；
当k 为奇数时，g(x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝5
4
.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)
＝12)]62cos(1[π++x ＋1＋12sin2x 23)32sin(21++=πx 当2kπ－
π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)即kπ－5π12≤x≤kπ＋π
12
(k∈Z)时， 故函数h(x)的单调递增区间是)](12
,125[Z k k k ∈+-π
πππ. 21题答案：
解：（1）由已知得0)1)](([2=++-n n s n n s ，又0>n s ，所以n n s n +=2 当2≥n 时，n n n n n s s a n n n 2)1()1()(221=----+=-=- 当1=n 时，211==s a 满足上式，所以n a n 2= （3）证明：])
2(1
1[161)2(41)2(12
22222+-=++=⋅++=
n n n n n a n n b n n ])2(1
151314121311[1612222222+-++-+-+-=n n T n
645]211[161])2(1)1(1211[1612222=+<+-+-+=
n n
22题答案：。