第二章风险、风险厌恶与随机占优PPT课件

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E(u(Y))＝7 1＋1 9＝5 1
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均值—方差效用不完整性说明
只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。 只有当包括三阶矩以上为0时，均值方差效用 才与真实的预期效用一致。
u(w ~)u(w)u(w)w (~w)1 2u(w)w (~w)2R3
R3
1u(n)(w)w (~w)n n3n!
期望 例2.1。Page 46
E(u(x))u(F)u(x)dF(x)
u(E(x))u[xdF(x)], 表示确定收
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风险厌恶的数学定义
E ( u ( x ) ) u ( x ) d ( x ) F u E ( x ( ) ) u x (( d x ) )
如果F(x)是二项分布，则， 风险厌恶——伯努利效用函数为凹函数 严格风险厌恶——严格不等式，u’>0，u’’<0 定理2.1：对任意F，有 风险厌恶——效用函数为严格凹函数 证明需要使用Jensen不等式。 同样：可以定义风险中性和风险偏好
~rBd ~rA,E(~rA)0
“d”表示“依分布相等” 引入“展形spread”的概念
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均值不变下的分布展形MPS
mean preserving spreads——MSP 讨论限定于两种资产相同的预期收益 图形表示 命题2-2 命题2-3 G是F的MPS，等价于F，SSD，G
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两端取期望（w是期望值，数值），利用
E (w ~ w ) 0 , E (w ~ w )2 V(w ~ a ) r
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资产风险度量的一般方法
Rothschild—Stiglitz更一般的比较不同资产风 险的分析框架
比较资产收益的分布，而不比较不同投资人 所依赖的不同的效用函数。
一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变 下的分布扩展MPS
在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性
投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风
险与收益的判断，即资产风险的度量问题。
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第一章第二节 随机占优
怎样才能认为资产A比资产B更具风险？ 简化的风险比较：均值-方差 效用 用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大） 即使一种资产X预期收益等于另一资产Y，而X
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相对风险厌恶与风险溢价
假 X ~ E 设 ( X ~ ) () ： 1 X ( 1 )
u ( X ( 1 ˆ ) E ) ( u ( X ~ ) E ) ( u ( X ) 1 ( ))
Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数
ˆ
X2u(X)
2u(X)
1 2
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RRA,
RRA X u(X) u(X)
问题以及对所需交换的资产的合理定价问题 金融经济学框架的核心问题： 如何分散风险 如何确定风险的合理价格
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风险厌恶、风险中性与风险偏好 的数学表述
伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值） Von-Neumann -Morgenstern预期效用函数 “预期”有“期望”之义，随机变量的数学
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Jensen’s inequality 证明
u 0,E (u(x) )u(E (x))
u是凹函数 证明过程：在均值点泰勒展开
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第二章风险、风险厌恶与随机占优
资产定价理论的微观经济基础
经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的 风险有多种定义，不确定性 从定量模型化解释风险 投资人面临风险的决策（第一节） Rothschild和Stiglitz提出随机占优（第二节）
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第二章第一节 风险与风险偏好
对风险的一般认识： 经济系统中状态变量的事前不确定性 对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化
E [~ r u ''( W a ~ r) ] 0
u是凹函数，得（2.21a）
E [~ r2 u ''(W a ~ r) ]0
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最后
da * 0 dW
风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着 总财富的上升而增加
关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加
经过推导可知，要求三阶导数为正数
度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险 决策的态度。
且对某些X值的集合，不等号成立。 符号 A B
SSD
可以证明，如果SSD成立，则，
投资人更偏好A（或F），B（或G）更具风险
SSD的三个等价条件
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SSD图形表示F(z)取正号取正号+
取负号
FB(z) FA(z)
0
z*
y
1
z
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SSD其他特性
SSD的3个等价表述 A B
SSD
h(x) 0x(F(x)G(x))dx0,E(~rA)E(~rB)
0 a W
0 a W
关于a是凹函数，一阶导数＝0，（2.17）
a＊是解，是W的函数，
（2.17）中对W求导数，
（2.18）。
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随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化
d dW a E E [[~ r~ r2 u u ''''((W W a a ~ r~ r))]]
假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 对r＞0和r＜0，都可得到 （2.20a） 从（2.17）得（2.21）
相对风险厌恶系数越大，所要求的单位
方差的相对风险溢价. 补偿也越高
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风险溢价和风险厌恶对投资人 决策影响的实例说明
例2.2。当前财富为W=a+(W－a) 今后财富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，优化问题
m E ( u a ( X ~ ) x ) m E ( u a ( W x a ~ r ))
则， A B FSD
定理2.1是FSD的等价条件。注意不等号方向
F(x)G (x) AB FSD
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FSd的图形表示
F(z)
1 FB(z)
FA(z)
0
1
z
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二阶随机占优 SSD
Second-order Stochastic Dominance SSD定义：F二阶占优于G，当且仅当
y
0(F (x ) G (x )d ) x 0 , y [0 ,1 ]
假设有两种资产A和B。A收益服从分布F（·）， B服从G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起 见，令收益均属于区间[0，1]）。
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一阶随机占优 FSD
First-order Stochastic Dominance FSD定义：对任意非减的函数u：R→R，
u(x)dF(x)u(x)dG(x)
方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X 如下面的例子
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X 0 4,,概 概1 1率 率 //2 2 ，Y 1 9,,概 概7 1率 率 //8 8
E(X)=E(Y)=2 ，Var(X)=4，Var(Y)=7 如果选择风险厌恶效用函数
u(x) x
则： E(u(X))＝1 0＋1 4＝1
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绝对风险厌恶与风险溢价
对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶，
风险溢价ρ，对风险的补偿，数学定义如下
u(X)u(E(X ~))E(u(X ~)) 2u(X), XE(X ~)
2u(X)
Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数
ra(X)u u((X X)) 22
绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需 给予的溢价补偿也越大