人教版高中数学B版必修4练习 数乘向量

2.1.4 数乘向量
一、基础过关
1． 13⎣⎡⎦⎤1
2
(2a ＋8b )－(4a －2b )等于
( )
A ．2a －b
B ．2b －a
C ．b －a
D ．－(b －a )
2． 已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线交点为O ，则OB →
等于 ( )
A.1
2
a ＋b
B ．a ＋1
2b
C.1
2
(a ＋b )
D ．a ＋b 3． 下列算式中不正确的是
( )
A.AB →＋BC →＋CA →
＝0 B.AB →－AC →＝BC →
C ．0·AB →＝0
D ．λ(μa )＝(λμ)a
4． 如右图，已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，
且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么 ( )
A.AO →＝OD →
B.AO →＝2OD →
C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →
5． 若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则a ＝________b .
6． 若2⎝⎛⎭⎫y －13a －1
2
(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝ ________________.
7． 如图所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →
＝b 为边的平行四边形．又
BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →
.
8． 已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12
(AB →＋DC →
)．
二、能力提升
9． 已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则 ( )
A ．P 在△ABC 内部
B ．P 在△AB
C 外部
C ．P 在AB 边上或其延长线上
D ．P 在AC 边上
10．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →
，则r －s 等于
( )
A ．0
B.45
C.83
D ．3
11．如图，在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，下列向量：
①CA →；②－DF →；③AB →＋FE →；④BC →－DE →；⑤OB →＋OC →＋OD →＋OE →.其中与FA →＋AB →＋2BO →＋ED →
相等的向量有________．(填对应向量的序号即可)
12．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 是
DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示DC →、FE →、FC →.
三、探究与拓展
13．在△ABC 的内部有一点O 满足OA →＋OC →＋3OB →
＝0，求S △AOB S △AOC
的值．
答案
1．B 2.C 3.B 4.A 5.－32 6.421a －17b ＋1
7c
7． 解 ∵BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝1
6
(a －b )．
∴OM →＝OB →＋BM →
＝b ＋16a －16b
＝16a ＋56
b . ∵CN →＝13CD →＝16OD →，
∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →
＝23
OD →
＝23(OA →＋OB →)＝2
3
(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝2
3(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16
b .
8． 证明 取以A 为起点的向量，应用三角形法则求证．
∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →
.
∵F 是BC 的中点， ∴AF →＝12(AB →＋AC →)．
又AC →＝AD →＋DC →， ∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)
＝12(AB →＋DC →)＋12
AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)．
9． D 10.C 11.②③④⑤
12．解 ∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 是DC 、AB 的中点，
∴FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12
b ，
EF →＝ED →＋DA →＋AF →
＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14
b －a .
1 13．
3。