控制系统的数学模型

控制系统的数学模型
在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。

自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液压的或气动的，然而描述这些系统的数学模型却可以是一样的。

因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型的外部特征，研究其内在的共性运动规律。

通过本章的学习，我们要掌握三种数学模型：微分方程、传递函数、动态构造图的建立方法。

熟练掌握自动控制系统传递函数的求取方法。

§2—1 列写微分方程的一般方法
微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。

建立系统或元件微分方程的一般步骤如下：
（1） 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量； （2） 根据物理或化学定律，列写系统各组成元件的原始方程；
（3） 在可能条件下，对各元件的原始方程进展适当简化，略去一些次要因素或进展线
性化处理；
（4） 消去中间变量，得出描述输出量和输入量〔包括干扰〕关系的微分方程，即元件
的微分方程；
（5） 对求出的系统微分方程标准化。

即将与输出有关的各项放在等号左侧；而将与输
入有关的各项置于等号右侧，等号左右侧各项均按降幂形式排列。

例：列写下列图所示RC 网络的微分方程。

解：1、明确输入、输出量
输入量：RC 网络的电压u r ；
输出量：u c
2、建立输入、输出量的动态联系
根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任意时刻，网络的输入电压等于各支路的电压降和，即
u u c r Ri += (1)
dt
d C
i u c
=………〔2〕〔i 为网络电流，是一个中间变量〕 3、消除中间变量
-+
-
R L
将〔2〕式代入〔1〕式得
u u u c c
r dt
d RC
+= 4、系统的微分方程的标准化
u u u r c c
dt
d RC
=+ 例2：列写下列图所示RLC 网络的微分方程。

〔零初始条件〕 解：1、明确输入、输出量
输入量：u i ； 输出量：u c 2、列写个组件的原始方程
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
==++=)
3()2()
1( dt d C i dt di L iR u u u u u c L
c L i 〔i 为网络电流，是一个中间变量〕 3、消除中间变量
将〔3〕分别代入〔1〕、〔2〕那么得
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
=++=)
5()
4(22 t u d u u u u u d LC dt d RC c
L c L c i
将〔5〕代入〔4〕那么得
u t u d u u c
c c i
d LC dt d RC
++=2
2
4、系统的微分方程的标准化
u u u t u d i c c c dt d RC d LC =+++2
2
即为所求的微分方程 例3：列写下列图所示RL 网络的微分方程。

〔零初始条件〕
1、明确输入、输出量
输入量：u r ；
+
-
c
+
-
输出量：u c 2、列写个组件的原始方程
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
==+=)
3()2()
1( dt di L
Ri iR u u u u L c L r 3、消除中间变量
将〔3〕分别代入〔1〕那么得
)4( dt
di L
iR u r +=
由〔2〕得)5( R
i u c
=
将〔5〕代入〔4〕得dt
d R L u u u c
c r += 4、系统的微分方程的标准化
u u u r c c
dt
d R L =+ 即为所求的微分方程 §2—2 非线性方程的线性化
控制系统的实际组成元件，几乎程度不同地都具有非线性特性。

求出的系统微分方程常常是非线性方程。

由于非线性微分方程的求解很困难，如果能把非线性方程转化为线性方程，将为系统的分析和计算提供很大的方便。

由于许多实际控制系统的输入量和输出量是围绕平衡工作状态进展小范围变化的，故可采用泰勒级数展开法，略去二次以上的高次项，进展小偏差线性化处理，所得到的线性微分方程称为系统的线性化数学模型。

也就是说，如果实际上的x 只是在某平衡工作点x 0附近小范围变化，那么在x 0附近以直线代替曲线就较为合理。

设元件的输入量)(t x 和输出量)(t y 的非线性函数为：)(x f y =
在工作点〔平衡点〕),(00y x 的邻域内，对非线性函数可表示为泰勒级数：即
++++-+=--)()(0)(!10)(!21)()()(02202000x x x
x d x x x x d x x x n
n n d f n d f x dx df f y 略高阶无穷小〔因为变量x 偏离工作点x 0的范围较小，所以增量)(0x x -的高次项可以忽略不计，故可以近似得到
)()
()()()(000000x x y x x x x dx
df x dx df f y -+=-+
= 即 )(00x y x k y -=- 式中dx
df k x )
(0=
，)(00x y f = 上式表示了单变量系统在工作点处小偏差线性化的根本方程。

系统的输入、输出只是在工作点附近的微小变化，至使)(0x x -很小，其高次项可忽略。

这个假设是符合自动控制系统的。

因为对于闭环系统而言，只要有偏差，就产生控制作用，以抑制偏差，所以各变量只能在平衡点做微小运动。

例：工业中常用孔板和差压变压器测量流体的流量。

通过孔板的流量Q 与孔板前后的差压P 的平方根成正比，即P k Q =〔k 为常数〕
设系统在流量值Q 0附近作微小变化，将流量方程线性化。

解：首先对方程两边求导
P
k
dp dQ 2=
那么根据小偏差线性化的根本方程，那么
)(2)(00000
p p p dp dQ Q p k
p p
Q -=-=
-
即流量方程线性化方程为
p k Q p ∆=
∆0
2
§2—3 传递函数
微分方程是从时间域中描述系统的动态方程的数学模型，在给定输入量和初始条件时，就可求得系统输出响应的解。

这种方法虽然比拟直观准确，但用于分析设计高阶系统时，就显得繁琐。

因为高阶系统的求解比拟困难，而且看不出系统的构造，参数对系统输出解的影响。

如果输出响应不合要求就不知如何去改变系统的构造参数，而且如果每次改变构造参数，就得重新编写微分方程。

线性定常系统微分方程经过拉氏变换，就可得到系统在复频域中的数学模型，称为传递函数。

传递函数不仅可以表示系统的动态特性，而且可以用来研究系统的构造和参数对
性能的影响，从而使分析和设计大为简化，在经典控制理论中，广泛应用的频率法和根轨迹法都是建立在传递函数这一数学模型根底之上的。

因此，传递函数是经典控制理论中最根本，也最重要的数学模型。

一、传递函数的定义
定义：零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。

即 输入量的拉氏变换式
输出量的拉氏变换式
传递函数=
)s (G
在古典控制理论中，主要讲单输入单输出线性定常系统，设微分方程为：
)t (r )t (r )t (r )t (c t )t (dc )t (c )t (c b t
b t b a a t a t a m 11
10n 1-n 1110+++=++++---- m m m m n n n n d d d d d d d d d 式中：)(t c 为输出量，)(t r 为输入量，b b b a a a m 10n 10,,,, 及均为由系统构造参数决定的常数。

在初始条件为零时，对方程两边进展拉氏变换，得象方程：
)()()()(b b b a a a a m 110n 1-n 110s R s C s s s s s m m n n +++=++++-- 那么系统传递函数
a a a a
b b b b n
1-n 110m
1-m 110)()()(+++++++++==--s s s R s C s G s s s s n n m m 分子为象方程的输入端算子多项式；
分母为象方程的输出端算子多项式〔亦即微分方程的特征式〕。

二、关于传递函数的几点说明
1、传递函数是经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。

2、传递函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的构造和参数，并与微分方程中各项系数相对应，所以传递函数也是系统的动态数学模型。

3、传递函数只说明一个特定的输入、输出关系，即单输入、单输出的关系。

4、传递函数是在零初始条件下建立的，因此它只是系统的零状态模型，而不能完全反映零输入响应的动态特性。

此即传递函数作为系统动态数学模型的局限性。

5、因为实际的物理系统总含有惯性元件，并受到能源功率的限制，所以，实际系统传递函数中分母多项式的阶数n 总是大于或等于分子多项式的阶数m ，即m n ≥；通常将
R L
R L
分母多项式的阶数为n 的系统称为n 阶系统。

三、传递函数的求法
1、根据系统的微分方程求传递函数
〔1〕确定系统或元件的输入变量和输出变量； 〔2〕根据物理定律，列写出微分方程或微分方程组；
〔3〕在零初始条件下求各微分方程的拉氏变换式〔象函数〕，将它们转换为s 域的代数方程组；
〔4〕消去中间变量后，根据定义求出传递函数。

例：求下列图所示RLC 网络的传递函数。

解：根据基尔霍夫电压定律，可以列出
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=dt d C
i dt di L iR u u u c
c i
在零初始条件下将以上两式进展拉氏变换后得
⎩
⎨
⎧=++=)2()()()
1()()()()( s Cs s I s s LsI s RI s U U U c c i 消去中间变量)(s I 那么得
)()1()(2
s RCs LC s U s U c i ++=
根据传递函数的定义可得
1
1)()()(2
++==
RCs LC s s s G s U U i c 2、用复阻抗的概念求电路的传递函数
由电路理论可知，电阻R 的复阻抗仍为R ，电容C 的复阻抗为sC
1
〔容抗〕；电感L 的复阻抗为sL 〔感抗〕。

阻抗的串联、并联计算方法完全可以用于复阻抗网络等效复阻抗的计算。

[思考]分压公式
例：求下列图所示无源电路的传递函数
)()
(s U s U i c 。

解：利用分压公式，可直接写出RLC 串联电路的输出电压
与输入电压之间的关系。

)(11)(s sC
R Ls sC s U U i c +
+=)(1
1
2
s RCs LC U s i ++=
那么传递函数为1
1
)()()(2
++==RCs LC s s s G s U U i c
例：设无源网络如下图。

初始条件为零，试求网络传递函数)()(1
2s s U U ，并说明该网络是否等效于RC 和RL 两个网络的串联。

2
解：利用基尔霍夫电压定律、电流定律及欧姆定律得
)1()
()()(3111 s s s U R I U +=
)2()(1
)(2
3 s cS s I U =
)3()()(2
33 R U I Ls s s +=
)4()()(232 R I U s s =
)5()
()()(321 s s s I I I +=
消去中间变量可得
)()(222
121211s R R R LS CS R R LCS R s U U ++++=
那么网络的传递函数为
2
1212
12
)(R R LS CS R R LCS R R s G ++++=
如果将网络分割开来，那么RC 网络的传递函数为
1111)()(11
13+=
+=
Cs sC
sC
s s R R U U RL 网络的传递函数
sL
s s R R U U +=2232)()( 再将RC 与RL 两个网络串联起来，那么整个网络的传递函数将成为：
R R R s R R R R R U U U U U U s L C CL Cs Ls s s s s s s 2
212
12
122133212)(11)()()()()()(+++=+•+=•= 2
1212
12
R R LS CS R R LCS R R ++++≠
结果与原网络的传递函数不同，其原因是确定RC 网络传递函数时，没有考虑到RL 网络的负载效应。

另一种方法：利用复阻抗的方法
先求)
(||1)(||1)()
(21213R LS CS R R LS CS s U s U +++=
再求
2
2
32)()(R LS R s U s U +=
）（）（212223213||1||1)()()()(R LS CS
R R LS CS R LS R s U s U s U s U +++⨯
+=⨯ 2
1212
12
R R LS CS R R LCS R R ++++=
例：求下列图所示电路的传递函数。

L
R2
+
-
-
u c
解：〔先画出其S 域模型。

〕
设R 1，R 2，
sC
1
这三个复阻抗串并联后的等效电阻为Z 1，且
)1(1
)(1)
1
()1//(211
212
121211 +++=+++=+
=Cs Cs sC
sC sC
R R R R R R R R R R R Z
那么上面电路可等效为
Ls
-
+
-
根据分压定理那么
)2()
()(11
1 s Ls s U Z Z U r
+=
由于)1//(21sC R R +
那么)1(2sC
R +两端电压仍为U 1，那么再根据分压定理有 )3()(11
)(11)(12
12
s Cs s sC
sC
s U R U R U c +=
+=
将〔1〕、〔2〕代入〔3〕式那么
)()()()1(11)(1
212
21212s s L C LC Cs Cs s U R R R s R R R R R U r c +++++•+=
R R R s R R R U U s L C LC s s r c 1
212
211
)()()()(++++=
即传递函数为
R R R s R R R U U s L C LC s s s G r c 1
212
211
)()()()()(++++==
例、求取下列图所示无源电路的传递函数
)()
(s U s U i o 。

解：用电路中阻抗的概念求取传递函数，通过拉氏变换电容的阻抗形式为
CS
1
， 那么 CS
R R CS R s U s U i 1||
1||)()(2120+=
=CS R R R R R 21212++
o
例、求如下图电路的传递函数
)()
(s U s U r C 。

解：利用负阻抗的方法来求传递函数
先求）（）
（S
C R S C R S C R S C s U s U r 221122111||11||
1)()(+++=
再求
S
C 1
R S
C 1
)S (U )s (U 2221C +=
那么 )S
C 1R (||S C 1R )
S
C 1R (||S C 1S C 1R S C 1)s (U )s (U )s (U )s (U )s (U )s (U 22112212221C r 1r C +++⨯
+=⨯= 1
)(1
2221112
2211++++=
S C R C R C R S C R C R 例：求如下图电路的传递函数。

解：利用负阻抗的方法求传递函数
2
1212
211122
122
)1
(1
1
||)()(R R CS R R R CS R R CS R CS R R R CS
R R R s U s U r C +++=
++
=+=
例：求如下图电路的传递函数。

解：利用负阻抗的方法求传递函数
11
11||1
)()(2
122112
2121221122121221122+++++++=+++=S C R C R C R S C C R R S C R C R S C C R R S C R S C R S
C R s U s U r C ）（）（ 例：求如下图二阶网络的传递函数。

解：利用负阻抗的方法求传递函数
2
121212
22122212)
()
1(1
)()1(1
)(1||)(1||)()()(R R S L C R R LCS R R LS CS
R LS CS R LS R CS R LS CS
R LS CS R LS R CS R LS s U s U i c +++++=
+++++++=
+++= §2—4 动态构造图和典型环节 一、动态构造图
控制系统的动态构造图简称为构造图，又称为传递函数的方框图或框图，它是传递函数的一种图形描述方式，它可以形象地描述自动控制系统各单元之间和各作用量之间的相互联系，具有简明直观、运算方便的优点，所以框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。

〔一〕动态构造图组成
动态构造图是由局部传递函数〔各个环节的函数功能〕和一些反映信号流向的根本符号组成的，即由信号线、传递方框、综合点、引出点组成。

1、信号线
c
表示信号输入、输出通道，箭头代表信号传递方向。

→ 2、传递方框
方框两侧应为输入信号线和输出信号线方框内写入该输入、输出之间的传递函数
)(s G 。

3、综合点
亦称加减点，表示几个信号相加减，叉圈符号的输出量为各输入量的代数和。

因此在信号输入处要注明它们的极性。

4、引出点
表示同一个信号传输到几个地方。

〔二〕典型自动控制系统统的动态构造图
前向通路图 典型自动控制系统的动态结构图
通路：前向通路、反应回路〔局部反应、主反应回路〕； 综合点：A 、B 两点； 引出点：C 、D 两点；
传递方框：)(1s G 、)(2s G 、)(3s G 、)(1s H 、)(2s H 均为系统中一个相对独立的功能单元的传递函数。

〔三〕建立控制系统动态构造图的步骤如下：
1、考虑负载效应，建立控制系统各元部件的微分方程；
2、对各元部件的微分方程进展拉氏变换，写出其传递函数，并画出相应的环节单元和综合点单元；
3、从与系统输入量有关的综合点开场，依据信号流向，把各元部件的构造图连接起来，置系统的输出量于右端，便得到系统的构造图。

例：试建立下列图所示二级RC 网络的动态构造图。

解：〔1〕建立系统各元部件的微分方程
)1(1
11 u i R u r +=
)2(1
1
21 dt
d u C i i =-
)3(221 u i R u c
+=
)4(2
2 dt
d u C i c =
〔2〕对微分方程〔1〕-〔4〕两边分别进展拉氏变换
)5()()()(111 s s s U I R U r += )6()()()(1121 s s s s U C I I =- )7()()()(221 s s s U I R U c += )8()
()(222 s s s U C I =
将〔5〕式转化：)9()]
()([1
)(11
1 s s s U U R I r -=
将〔6〕式转化：)10()]
()([1
)(2111 s s s
s I I C U -=
将〔7〕式转化：)11()]
()([1
)(12
2 s s s U U R I c -=
将〔8〕式转化：)12()(1
)(22
2 s s
s I C U =
绘制动态构造图
1C
此题我们可以用复阻抗的概念直接来绘制。

列写出象方程组：
)()()(111s s s U I R U r +=)]()([1
)(11
1s s s U U R I r -=
⇒ )()()(1121s s s s U C I I =-)]()([1
)(2111s s s
s I I C U -=⇒
)()()(221s s s U I R U c +=)]()([1
)(12
2s s s U U R I c -=
⇒
)(1
)(
222s s
s I C U =
根据上面绘制动态构造图的方法同样可以绘制出上面的动态构造图。

二、典型环节
从上面例子可以看出，任何一个复杂的系统，总可以看成由一些典型环节组合而成。

掌握这些典型环节的特点，可以更方便地分析较复杂系统内部各单元之间的联系。

1、比例环节〔放大环节〕 微分方程：)()(t kr t c = 传递函数：k s R s C s G ==
)
()
()( 构造图：
比例环节能立即成比例地响应输入量的变化。

比例环节是自动控制系统中遇到最多的一种，例如电子放大器、杠杆机构、电位器等等。

2、微分环节 微分方程：dt
t dr t c )
()(τ=τ为微分时间常数 传递函数：s s R s C s G τ==
)
()
()( 构造图：
实例：电感的电压与电流之间的关系。

3、积分环节 微分方程：dt t r T t c t
⎰=
)(1)( T 为积分时间常数 传递函数：Ts
s R s C s G 1
)()()(=
=
构造图：
实例：电容的电压与电流之间的关系。

4、惯性环节〔一阶环节〕 微分方程：)()()
(t r t c dt
t dc T
=+ T 为惯性时间常数 传递函数：11
)()()(+==
Ts s R s C s G
构造图：
当输入量发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化，这就反映了该环节具有惯性。

通常一个储能元件〔L 、C 〕和一个耗能元件R 的组合，就能构成一个惯性环节。

5、振荡环节〔二阶环节〕 微分方程：)()()
(2)
(2
2
2t r t c dt
t dc T d t c t d T
=++ζ
传递函数：ωωωζζn
s n
Ts s R s C s G n s s T 222
222121)()()(++=++== 式中 T
n 1
=ω 〔振荡角频率〕 ζ：阻尼比
构造图：
假设包含着两种不同形式的储能单元，这两种单元的能量又能相互交换，在能量的储存和交换的过程中，就可能出现振荡而构成振荡环节。

Ｌ、Ｃ是两种不同的储能元件，电感储存的磁能和电容储存的电能相互交换，有可能形成振荡过程。

§２—５ 构造图的等效变换
在自动控制系统中，所建立的动态构造图，可能含有多个反应回路，甚至出现穿插连接的情况，对于这种错综复杂的构造图，为了便于求得系统的传递函数，就可利用一些根本规那么对系统的构造图进展变换。

由构造图求总传递函数的思路：在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原构造进展逐步的归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方块。

一、构造图的等效变换法那么
任何复杂系统的构造图，都无例外地是由串联、并联和反应三种根本构造交织而成。

等效原那么：变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变。

１、串联构造的等效变换
从下列图可以看出，ｎ个方块首尾相连，前一个方块的输出为相邻的后一个方块的输入，这种构造称为串联。

将ｎ个串联的方块等效变换为一个方块，那么总传递函数等于各个传递函数之积。

即)()()()()()()
(211
s s s s s G s R s C G G G G n n i i ===∏= 分析：假设系统是由三个环节串联而成，其动态构造图为
)()()()
()
()()()()()()()(1231122s s s s R s s s s s C s R s C s G G G G C C C C ===
2、并联构造的等效变换
n 个方块的输入一样，而总输出为各方框输出之代数和，这种构造称为并联。

将n 个并联的方块等效变换为一个方块，那么总传递函数等于各传递函数之和〔代数和〕即
∑=±==n i i s s G s R s C G
1
)()()()
( 分析：假设系统是由三个环节并联
)()()()()()()()()()(321321s s R s s R s s R s s s s C G G G C C C +-=+-= )()]()()([321s R s s s G G G +-= 那么)()()()
()
()(321s s s s R s C s G G G G +-==
3、反应构造的等效变换
反应构造的一般形式：
总传递函数:
)
()(1)
()()(s H s G s G s R s C =
注：分子为反应构造的前向通道传递函数)(s G 。

分母为1加〔或减〕前向通道与反应通道传递函数之积)()(s H s G 。

正反应取减号，负反应取正号。

分析：⎪⎩
⎪
⎨⎧⇒==±=)
3()()()()2()
()()()
1()()()( s G s E s C s C s H s B s B s R s E )
()(1)
()()(s H s G s G s R s C =
反应构造〔或称闭环〕的传递函数常用符号)(s φ表示，即
)
()(1)
()()()(s H s G s G s R s C s =
=
φ 当1)(=s H 时，称为单位反应，那么闭环传递函数为)
(1)
()()()(s G s G s R s C s ==φ。

例：某网络的动态构造图如下，求总传递函数。

解：〔1〕利用并联等效
〔2〕利用串联等效 〔3〕利用单位负反应等效 那么：R R R R R R R u u s C s C s s r c 2
121221)()(+++=
例：
解：先将内环简化变成下列图所示，〔利用负反应等效〕
所以闭环传递函数为：〔利用负反应等效〕
1
22
1122
1111)()
()(H G G G H G G G s R s C S G +++=
=
2
1122
11G G H G G G ++=
二、综合点与引出点的等效挪动
穿插连接时，无法直接利用反应法那么，串、并联法那么进展化简。

对这类构造设法将某些综合点或引出点的位置，在保证总传递函数不变的条件下作适当的挪动，消除回路间的穿插关系之后才能进一步变换。

1、综合点的移动 〔1〕综合点前移
将)(s G 方框后的综合点前移到)(s G 的输入端，而仍要保持信号R 、C 、Q 的关系不变，那么在被挪动的通道上必须串以
)
(1
s G 方框。

分析：挪动前：)()
(1
)
()()()()()()(s G s G s Q s G s R s Q s G s R s C ±=±=
)(])
(1
)
()([s G s G s Q s R ±= 挪动后：)(])
(1
)
()([)(s G s G s Q s R s C ±= 即挪动前后二者完全等效。

〔2〕综合点后移
将)(s G 方框前的综合点后移到)(s G 的输出端，而仍要保持信号R 、C 、Q 的关系不变，那么在被挪动的通道上必须串以)(
s G 方框。

〔3〕相邻综合点之间的移动
相邻综合点前后挪动的等效变换
由于总输出是三个信号的代数和，故更换综合点的位置不会影响总的输出、输入关系。

相邻综合点之间可以换位，多个相邻综合点亦可随意换位。

注：三输入综合点也可分解成两个二输入的综合点。

2、引出点的等效挪动 〔1〕引出点后移
将)(s G 输入端的引出点移至输出端，而仍要保持信号总的关系不变，那么在被挪动的通道上必须串以
)
(1
s G 方框。

〔2〕引出点前移
将)(s G 输出端的引出点移至输入端，而仍要保持信号总的关系不变，那么在被挪
动的通道上必须串以)(s G 方框。

〔3〕相邻引出点之间的移动
假设干引出点相邻，说明是同一个信号传递至许多地方。

引出点之间可以相互交换位置。

例：利用构造图变换的方法求传递函数
分析：图示系统中具有引出点、综合点穿插的多回路构造。

为了从内向外逐步化简，首先要消除穿插连接。

消除穿插连接的方法有很多种，这里将综合点B 前移，引出点D 后移，在利用相邻综合点、引出点的移动进展等效变换。

解：〔1〕将综合点B 前移
〔2〕相邻综合点A ，B '互换，引出点D 右移。

〔3〕相邻引出点互换，串联等效变换
〔4〕单位反应等效
〔5〕串联等效变换
〔6〕利用反应等效可得系统的传递函数为
G G G G G G G G G G G G G G s 4
3214332214
3211)(++++=
φ
注：利用构造图变换法那么求传递函数
大环套小环的构造：利用串联、并联、反应等效变换法那么；
环路与环路的穿插构造：利用综合点、引出点的移动，将穿插局部分开或形成大环套小环的形式，再利用串联、并联、反应等效变换法那么求出系统的传递函数。

等效变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变。

三、用梅逊公式求传递函数
应用梅逊公式可不经任何变换，一步写出系统总传递函数。

梅逊公式： ∆
=∑∆=n
K K
K P s G 1
)(
式中：)(s G 为传递函数
△称主特征式，且L L L L L L f e d c b a ∑∑∑-+-=∆1 其中：∑L a ——各回路的回路传递函数之和；
L L c b ∑——两两互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和；
L L L f e d ∑——所有三个互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和；
前向通道：由输入端单向传递至输出端的信号通道；
n 是前向通道数。

一个前向通道，自身不能有重复的路径，但各前向通道之间允许有一样的局部。

前向通道的传递函数P K ：前向通道所经历的各传递方框传递函数的乘积； 前向通道的余子式∆K ：将△中与第K 条前向通道相接触〔有重合局部〕的回路所在项去掉之后的余子式。

回路传递函数L a ：指反应回路的前向通道和反应通道传递函数的乘积，并包含表示反应极性的正、负号； 例：求传递函数。

解：⑴∆
系统内部有三个反应回路，那么各回路传递函数为：
G G L 211-= G G L 322-= G G L 433-=
那么各回路的传递函数之和
G G G G G G L L L L a a 4332213213
1
---=++=∑=
另外，各回路中只有两个小回路互不接触，即L 1和L 3互不接触，L 2分别与L 1和L 3
接触，故
G G G G L L L L c b 432131==∑
对于L L L f e d ∑即三个互不接触的回路不存在。

故可得
4
32143322131321111G G G G G G G G G G LbLc La L L L L L ++++=+---=+-=∆∑∑
⑵P K 、∆K
该系统只有一个前向通道 ，即输入信号R 只能经过G G G G 4321、、、传递至输出端，因而
G G G G 43211P =
又由于所有四个回路均与前向通道相接触，有重合的局部，故∆中去掉这些回路所在项，得余子式
11=∆ 3、总传递函数为
∆==∆11)s (R )s (C )(P s G G G G G G G G G G G G G G G 4
3214332214
3211++++=
应用梅逊公式，将大大简化构造变换的计算，但应用时应注意：
1、用梅逊公式时回路和前向通路要找足，注意隐回路是否有互不接触回路等不要丢项；
2、它只适用于求取输入节点和输出节点之间的传递函数，对于任意两个混合节点之间的传递函数不能直接应用梅逊公式。

补充： 信号流图
控制系统的信号流图与构造图一样都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。

对于构造比拟复杂的系统，构造图的变换和化简过程往往显得繁琐而费时。

与构造图相比，信号流图符号简单，更便于绘制和应用，而且可以利用梅逊公式直接求出任意两个变量之间的传递函数。

但是，信号流图只适用于线性系统，而构造图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。

一、信号流图的组成
信号流图起源于梅逊利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。

图中节点表示系统中的变量或信号，以小圆圈表示；支
路是连接两个节点的有向线段，支路上的箭头表示信号传递的方向，支路的增益〔相当于动态构造图方框中的传递函数〕标在支路上。

支路相当于乘法器，信号流经支路后，被乘以支路增益而变为另一信号。

支路增益为1时不标出。

节点变量表示所有流向该节点的信号之和。

5
在信号流图中，常使用以下名词术语：
1、源节点〔或输入节点〕 只有输出支路的节点称为源节点，如图中的1x 。

它一般表示系统的输入量。

2、阱节点〔或输出节点〕 只有输入支路的节点称为阱节点，如图中的5x 。

它一般表示系统的输出量。

3、混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，如图中的2x 、3x 、4x 。

它一般表示系统的中间变量。

4、前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时，每一个节点只通过一次的通路，叫前向通路。

前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益，一般用k p 表示。

在图中从源节点到阱节点共有两条前向通路，一条是54321x x x x x →→→→，其前向通路总增益为abc p =1；另一条是5431x x x x →→→，其前向通路总增益为ec p =2。

5、回路 起点和终点在同一节点，而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路，简称回路。

如果从一个节点开场，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回路。

回路中所有支路增益之乘积叫回路增益，用a L 表示。

在图中共有一个回路，起始于节点2x ，经过节点3x 最后回到节点2x 的回路，其回路增益为bcd L -=1；
6、不接触回路 如果一信号流图有多个回路，而回路之间没有公共节点，这种回路叫不接触回路。

二、信号流图的绘制
信号流图可以根据系统的微分方程绘制，也可以根据动态构造图绘制。

构造图中的信号用有向线段表示，它对应于信号流图中的节点。

图〔a 〕中有10个不同的信号，绘制信号流图时，首先从左到右画10个对应的节点，按构造图XX 号的传递关系用支路将它们连接起来，并标出支路的信号传递方向。

构造图方框中的传递函数对应于支路增益，将它们标在对应的支路旁边。

如果方框的输出信号在综合点取负号，在信号流图中对应的增益应增加一个负号。

支路增益为1那么不标出。

根据上述方法，图〔a 〕所示的信号流图为：
R
C
三、利用梅逊公式求传递函数
例：系统的方框图如下图，试画出系统地信号流图并用Mason 公式求其传递函数。

解：根据系统的动态构造图可得信号流图如下列图所示：
R
C
〔a 〕。