2019年高考数学一轮复习课时分层训练74不等式的证明理北师大版

课时分层训练(七十四) 不等式证明
1．设a ，b 是非负实数，求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．
[证明] 因为a 2＋b 2－ab (a ＋b )
＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab )
＝a a (a －b )＋b b (b －a )
＝(a －b )(a a －b b )
＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 12－b 12⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫a 32－b 32. 因为a ≥0，b ≥0，所以不管a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12) (a 32－b 32)≥0，
所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．
2．设不等式|2x －1|<1解集为M .
(1)求集合M ；
(2)假设a ，b ∈M ，试比拟ab ＋1与a ＋b 大小.
【导学号：79140400】
[解] (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，
解得0<xM ＝{x |0<x <1}．
(2)由(1)与a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1，
所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.
故ab ＋1>a ＋b .
3．(2021·石家庄模拟)函数f (x )＝|x |＋|x －1|.
(1)假设f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 最大值M ；
(2)在(1)成立条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ，证明：a ＋b ≥2ab .
[解] (1)∵f (x )＝|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，
当且仅当0≤x ≤1时取等号，
∴f (x )＝|x |＋|x －1|最小值为1.
要使f (x )≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤1，
∴0≤m ≤2，那么m 最大值M ＝2.
(2)证明：由(1)知，a 2＋b 2＝2，
由a 2＋b 2≥2ab ，知ab ≤1.①
又a ＋b ≥2ab ，那么(a ＋b )ab ≥2ab . 由①知，ab ≤1.
故a ＋b ≥2ab .
4．a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2最小值．
[解] 由柯西不等式得
(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，
∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2.
∵2a ＋2b ＋c ＝8，
∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2
≥499，
当且仅当a －12＝b ＋22
＝c －3时等号成立， ∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2
最小值是499. 5．函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0解集为[－1,1]．
(1)求k 值；
(2)假设a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc
＝1. 求证：a ＋2b ＋3c ≥9.
[解] (1)因为f (x )＝k －|x －3|，
所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，
由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ]．
因为f (x ＋3)≥0解集为[－1,1]．
因此k ＝1.
(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c
＝1，因为a ，b ，c 为正实数． 所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2b ＋2b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3c ＋3c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2b 3c ＋3c 2b ≥3＋2a 2b ·2b a ＋2a 3c ·3c a ＋22b 3c ·3c 2b
＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立．
因此a ＋2b ＋3c ≥9.
6．(2021·福州质检)函数f (x )＝|x ＋1|.
(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1解集M ；
(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b ).
【导学号：79140401】
[解] (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1；
②当－1＜x ＜－12
时，原不等式可化为x ＋1＜－2x －2，解得x ＜－1，此时原不等式无解；
③当x ≥－12
时，原不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．
(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，
所以，要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，
即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，
即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0. 因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，
所以原不等式成立．。