2018年数学选修1-2人教A版课件：3.1.1数系的扩充和复数的相关概念 精品

m2－2m＝0， 解：(1)当
m≠0， 所以当 m＝2 时，复数 z 是实数．
(2)当 m2－2m≠0，且 m≠0， 则 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数．
[迁移探究 1] (改变问法)典例 2 条件不变，当 m 为 何值时 z 为纯虚数？
解：若 z 为纯虚数
则m2＋mm－6＝0，解之得 m＝－3. m2－2m≠0.
________．
x2＋2x＝m，
解析：由已知可得
解得 m＝15.
x＝3，
答案：15
类型 1 复数的基本概念(自主研析)
[典例 1] 给出下列三个命题：①ห้องสมุดไป่ตู้ z∈C，则 z2≥0；
②2i－1 虚部是 2i；③复数 3－4i 的实部与复数 4－3i 的
虚部相等．④若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数．其中真命题
[知识提炼·梳理]
1．复数的概念及代数表示 (1)复数的定义． 把集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a， b∈R)的数叫做复数．其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝－1．
(2)复数的代数形式． 复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，这 一表示形式叫做复数的代数形式，a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部． (3)复数集． 全体复数所构成的集合叫做复数集．记作 C＝{a＋ bi|a，b∈R}．
[变式训练] 给出下面四个命题：
(1)1＋i2＝0；
(2)若 a，b∈R，且 a>b，则 a＋i>b＋i；
(3)若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0；
(4)若复数 z＝3＋bi>0(z∈R)，则 b＝0，其中，正确
命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：对于(1)，因为 i2＝－1，所以 1＋i2＝0，故(1) 正确．
∴当 m＝－3 时，z 是纯虚数．
[迁移探究 2] (变换条件)若将典例 2 中复数表达式 改为“z＝a2－a2－7a＋1 6＋(a2－5a－6)i”，其他条件不变，则 此时结论又如何？
解：(1)若 z 为实数，则
a2－5a－6＝0，
解之得 a＝6.
a2－1≠0.
所以当 a＝6 时，复数 z 为实数．
C．－ 2＋ 2i D. 2＋ 2i
解析：3i－ 2的虚部为 3，－3＋ 2i 的实部为－3，
则所求复数为 3－3i.
答案：A
4．复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i(x∈R)为纯虚数，则 x＝ ________．
解析：z 为纯虚数，则 x－1≠0 且 x2－1＝0，解得 x
＝－1. 答案：－1
5．满足 x2＋2x＋3i＝m＋xi(x，m∈R)的 m 的值为
的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[自主解答]对于①，当 z∈R 时，z2≥0 成立，否则 不成立，如 z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题．
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为 2，不是 2i，所 以②为假命题．
③复数 3－4i 的实部为 3，复数 4－3i 的虚部为－3， 因此③不正确．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则 a＝0，b≠0.所
以 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是 a＝0 的充分不必要条件．
答案：A
3．以 3i－ 2的虚部为实部，以－3＋ 2i 的实部为虚
部的复数是( )
A．3－3i
B．3＋i
(2)若 z 为虚数，则 a 满足 a2－5a－6≠0， a2－1≠0，
a≠－1且a≠6， 解之得
a≠±1. 所以 a≠6 且 a≠±1. 因此当 a≠6 且 a≠±1 时，z 为虚数．
归纳升华 1．解决复数分类问题，首先将复数化为标准形式 z ＝a＋bi(a，b∈R)，以确定复数的实部和虚部． 2．由复数分类，依据虚部和实部满足的条件，由此 列出方程(组)，但必须要全面考虑所有条件，不能遗漏．
类型 3 复数相等的条件及应用 [典例 3] 已知 x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x－ 1)＋(3－y)i＝y－i，求 x、y. 解：因为 y 是纯虚数，可设 y＝bi(b∈R，b≠0)，则 (2x－1)＋3i＋b＝bi－i， 整理得(2x－1＋b)＋3i＝(b－1)i，
由复数相等的充要条件，得
对于④，当 a＝－1 时，(a＋1)i 为实数，④为假命题， 因此四个命题都是假命题． 答案：A
归纳升华 判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反 例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般， 先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要 把复数化为“a＋bi”的形式，更要注意这里 a，b 均为实 数时，才能确定复数的实、虚部．特别注意复数的虚部是 b 而不是 bi.
小，只可判定相等或不相等．
3．复数的分类
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)，当 b＝0 时，z 为实数． (2)当 b≠0 时，z＝a＋bi 为虚数；若 a＝0 时，z 为纯 虚数． (3)集合表示
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．( ) (2)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为零，则 这两个复数相等．( ) (3)若 ab＝0，则 z＝a＋bi 为纯虚数．( )
解析：(1)错，当 b＝0 时，z＝a＋bi 为实数． (2)对，此时，这两个复数的实部和虚部分别相等． (3)错，当 a＝0 且 b≠0 时，z＝a＋bi 为纯虚数，当 b ＝0 时，z＝a＋bi 为实数． 答案：(1)× (2)√ (3)×
2．复数 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是 a＝0 的( )
温馨提示 规定 i2＝－1，不能写成 －1＝i；i 是一 个实部为 0 虚部为 1 的复数．
2．复数相等的充要条件 在复数集 C 中任取两个复数 a＋bi，c＋di(a，b，c， d∈R)，规定 a＋bi 与 c＋di 相等的充要条件是 a＝c 且 b ＝d． 温馨提示 当两个复数不全是实数时，不能比较大
[变式训练] 关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－ 2x2)i 有实根，求实数 a 的值．
解：设方程的实数根为 x＝m，则原方程可变为
3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
由复数相等的定义，
所以3m2－a2m－1＝0，解得 10－m－2m2＝0，
a＝11
或
a＝－751.
1．复数 a＋bi 中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部 和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数， b 连同它的符号叫做复数的虚部．
对于(2)，两个虚数不能比较大小，故(2)错． 对于(3)，当 x＝1，y＝i 时 x2＋y2＝0 成立，故(3)错． 对于(4)知，z＝3＋bi 为实数，则 b＝0，正确． 综上(1)(4)正确，(2)(3)错误． 答案：B
类型 2 复数的分类(互动探究) [典例 2] 当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋ (m2－2m)i.是实数、虚数？
2．利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、 虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
3．两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部， 然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从 而可以确定两个独立参数．两个复数相等，首先要分清 两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条 件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．利用 复数相等条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化 虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求 解，体现了转化化归思想．
2x－1＋b＝0，
解得
b－1＝3，
b＝4，x＝－32，
所以 x＝－32，y＝4i.
归纳升华 1．应用两个复数相等的充要条件时，首先要把“＝” 左右两侧的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后 确定两个独立参数列出方程，化复数问题为实数问题得以 解决． 2．求解复数的有关问题，务必注意字母参数的取值 范围和条件．
第三章 数系的扩充与复数的引入
3．1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的相关 概念
[学习目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程， 体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作 用(重点).2.理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示(难 点).3.理解复数相等的充要条件(重点、难点)．