【华东师大版】初三数学上期末一模试题附答案(1)

一、选择题
1．从﹣2，0，1，2，3中任取一个数作为a，既要使关于x一元二次方程ax2+（2a﹣4）
x+a﹣8＝0有实数解，又要使关于x的分式方程
2
11
x a a
x x
+
+
--
＝3有正数解，则符合条件的
概率是（）
A．1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
2．某班四个小组进行辩论比赛，赛前三位同学预测比赛结果如下：
甲说：“第二组得第一，第四组得第三”；
乙说：“第一组得第四，第三组得第二”；
丙说：“第三组得第三，第四组得第一”；
赛后得知，三人各猜对一半，则冠军是（）
A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组
3．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．若3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（）
A．2
3
B．
5
8
C．
3
8
D．
1
6
4．在70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），则“9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为（）
A．3
7
B．
3
14
C．
3
26
D．
1
12
5．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，∠POB＝40°，则∠CBD的度数是
（）
A．50°B．45°C．35°D．40°
6．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到
12
AC BD cm
==，C，D两点之间的距离为3cm，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）
A ．212cm π
B ．224cm π
C ．236cm π
D ．248cm π 7．如图，半径为1cm 的P 在边长为9πcm ，12πcm ，15πcm 的三角形外沿三遍滚动（没有滑动）一周，则圆P 所扫过的面积为（ ）cm 2
A ．73π
B ．75π
C ．76π
D ．77π
8．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（ ）
A ．2
B ．1213
C ．4
D ．5
9．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（ ）
A ．内部
B ．外部
C ．边上
D ．以上都有可能 10．如图，△ABC 的顶点在网格中，现将△ABC 绕格点O 顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形形成轴对称图形时，符合条件的α角的度有（ ）
A ．1个
B ．3个
C ．6个
D ．8个
11．如图所示，一段抛物线：()233044
y x x x =-+≤≤记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180°得到3C ，交x 轴于3A ；⋅⋅⋅如此进行下去，直至得到506C ，则抛物线506C 的顶点坐标是（ ）
A ．()2020,3
B ．()2020,3-
C ．()2022,3
D ．()2022,3- 12．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
二、填空题
13．小明走进迷宫，迷宫中的每一个门都相同，第一道关口有四个门，只有第三个门有开关，第二道关口有两个门，只有第一个门有开关，他一次就能走出迷宫的概率是________．
14．有如图四张卡片，除卡片上的图案不同其余完全相同，现把这些卡片有图案的一面朝下搅匀，随机抽出一张，上面的图案能够围成一个正方体的概率是________．
15．在一个不透明的盒子中，装有红、黄、绿三种只有颜色不同、其余均相同的小球各2个，从中任取一个球，取出的球为红色的概率为_____．
16．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE 平分∠DBC 交CD 于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针
旋转90°得到△DCF ，延长BE 交DF 于G ，则BF 的长为_____．
17．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE ，过点 B 作 BG ⊥AE 于点 G ， 连接 CG 并延长交 AD 于点 F ，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．
18．如图，AB 是O 的直径，O 交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则
下列结论正确的有______（填序号） ①AD BC ⊥；②EDA B ∠=∠；③12OA AC =
；④DE 是O 的切线．
19．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为_____m ．
20．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______．
三、解答题
21．一个不透明的袋中装有2个红球、3个黑球和5个白球，它们除颜色外其余都相
同．小明和小红玩摸球游戏，规定每人摸球后再将摸到的球放回去为一次游戏．若小明摸到红球，则小明得10分；若小红摸到黑球，则小红得10分，这个游戏对双方公平吗？为什么？若不公平，怎样修改游戏规则，才能保证游戏公平？
22．A ，B 两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A 盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B 盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从A 盒里班抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是_______；
（2）从A 盒，B 盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，1），点P （t ，0）为x 轴上一动点(不与原点重合)．以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，以AB 为直角边在AB 的右上方作等腰直角三角形ABC ，且∠BAC =90°，直线BC 于⊙P 的另一个公共点为F ，连接PF ．
（1）当t = 2时，点C 的坐标为（ ， ）；
（2）当t >0时，过点C 作x 轴的垂线l ．
①判断当点P 运动时，直线l 的位置是否发生变化？请说明理由；
②试说明点F 到直线l 的距离始终等于OP 的长；
（3）请直接写出t 为何值时，CF =2BF ．
24．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，将△DCB 绕点C 顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A 重合，得到△ACE ，若AB ＝3，BC ＝4，求BD 的长？
25．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．
①求S 关于t 的函数表达式；
②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．
26．我们知道20x ≥，2()0a b ±≥，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如，探究多项式2245x x +-的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式()2
225x x =+- ()222
22115x x =++-- 222(1)15x ⎡⎤=+--⎣⎦
22(1)25x =+--
22(1)7x =+-
因为()210x +≥，所以()221707x +-≥-，即()22177x +-≥-
所以()2
217x +-的最小值是7-，即224 5x x +-的最小值是7-．
请根据上面的探究思路，解答下列问题：
（1）多项式()2531x -+的最小值是_________；
（2）求多项式24163x x -+的最小值（写过程）．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
先利用判别式的意义得到a≠0且△＝（2a ﹣4）2﹣4a （a ﹣8）>0，再解把分式方程化为整式方程得到x ＝34
a +，利用分式方程有正数解可得到关于a 的不等式组，则可求得a 的取
值范围，则可求得满足条件的整数a 的个数．
【详解】
解：∵方程ax 2+（2a ﹣4）x+a ﹣8＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且△＝（2a ﹣4）2﹣4a （a ﹣8）>0，
解得：a >﹣1且a≠0， 分式方程2311x a a x x
++=--， 去分母得x+a ﹣2a ＝﹣3（x ﹣1），
解得x ＝
34
a +， ∵分式方程2311x a a x x
++=--有正数解， ∴34a +>0且34
a +≠1， 解得a >﹣3且a≠1，
∴a 的范围为﹣1<a 且a≠0，a≠1， ∴从﹣2，0，1，2，3中任取一个数作为a ，符合条件的整数a 的值是2，3，即符合条件的a 只有2个， 故符合条件的概率是
25． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查概率，掌握一元二次方程根的判别式，分式方程的解法是解题的关键． 2．B
解析：B
【解析】
试题分析：因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．
假设甲说的“第二组得第一”是正确的，那么丙说的“第四组得第一”是错误的，
“第三组得第三”就是正确的，那么乙说的“第三组得第二”是错误的，
“第一组得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．
故猜测是正确的．
故选B ．
考点：推理与论证
点评：此类问题是初中数学的难点，解题关键往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾．
3．C
解析：C
【分析】
根据题意列举出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．【详解】
根据题意画图如下：
共8种情况，三只雏鸟中恰有两只雄鸟有3种情况，所以概率为3
8
．故选C．
【点睛】
此题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到三只雏鸟中恰有两只雄鸟的情况数是解决本题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
两辆阅兵车的车牌号共含14位数字或字母，其中数字9出现了3次，根据概率公式即可求解.
【详解】
解：两辆阅兵车的车牌号共含14位数字或字母，其中数字9出现了3次，所以“9”这个数
字在这两辆车牌号中出现的概率为
3 14
.
故选B.
【点睛】
本题考查了概率的计算，掌握概率计算公式是解题关键.
5．D
解析：D
【分析】
根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP//BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【详解】
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP//BC，
∴∠CBD＝∠POB＝40°，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
首先证明△OCD 是等边三角形，求出OC=OD=CO=3cm ，再根据S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD ，求解即可．
【详解】
解：如图，连结CD ．
∵OC=OD ，∠O=60°，
∴△OCD 是等边三角形，
∴OC=OD=CO=3cm ，
∴OA=OC+AC=15cm ，
∴OB=OA=15cm ，
∴S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD =226015603360360
ππ⋅⋅⋅⋅-=236cm π． 故选C ．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质与判定等知识．扇形的面积=2
360n r π︒
． 7．A
解析：A
【分析】
圆在三角形的三个角的顶点处旋转的路线是弧，通过观察可以发现圆转动时在三个角上共转动了圆心角360°，所以在三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形是以三角形边长为长，圆的直径为宽的矩形，然就分别计算，最后求和．
【详解】
解：根据运动特点可知三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形矩形 ∴圆P 所扫过的面积=π+（9π+12π+15π）×2
=73π
故选：A
【点睛】
解答本题的关键是，找出圆滚动一周的图形，并将图形进行分割，拼组，化难为易，列式解答即可．
8．A
解析：A
【分析】
易证∠APB＝90°，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为
O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP的长的最小值时的位置，OP′＝OA＝1
2
AB＝3，
OD＝5，DP′＝OD−OP′＝2，即可得出结果．
【详解】
解：∵BN⊥AM，
∴∠APB＝90°，
∵AB＝6为定长，
则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，
取AB的中点为O，
连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：
∵AB＝6，AD＝4，
∴OP′＝OA＝1
2
AB＝3，
OD22
AD+OA22
4+3＝5，
∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，
∴DP的长的最小值为2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、轨迹等知识；判断出P点的运动轨迹，找出DP长的最小值时的位置是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，
∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是2，与AB的值相等，从而
可以得出点A 在△D′E′B 的边上．
【详解】
∵AC=BD=10， 又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴BE=5，AB=BC=52，
由三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，设△D′E′B 与直线AB 交于G ， 可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，
∴△GE′B 是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，
∴BG=52，
∴BG=AB ，
∴点A 在△D′E′B 的边上，
故选C.
10．B
解析：B
【分析】
画出图形，利用图象法解决问题即可．
【详解】
观察图象可知，满足条件的α的值为90°或180°或270°，
故选B ．
【点睛】
本题考查了旋转变换，轴对称的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．D
解析：D
【分析】
解方程2334
x x -+＝0得A 1（4，0），再利用旋转的性质得A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），依此规律得到A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），且抛物线C 506的开口向上，利
用交点式，设抛物线C 506的解析式为y ＝
34
（x−2020）（x−2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可．
【详解】 当y ＝0时，2334
x x -
+＝0，解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A 1（4，0）， ∵将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2，将C 2绕A 2旋转180得到C 3，
∴A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），
∴A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），即A 505（2020，0），A 506（2024，0）， ∵抛物线C 506的开口向上，
∴抛物线C 506的解析式为y ＝
34
（x−2020）（x−2024）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2022， 当x ＝2022时，y ＝
34
（2022−2020）（2022−2024）＝−3， ∴抛物线C 506的顶点坐标是（2022，−3）．
故选：D ．
【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的几何变换和二次函数的性质．
12．B
解析：B
【分析】
设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为 b ，利用图1得到一个 a 与 b 关系式，再利用图2得到一个 a 与 b 关系式，即可求出 a 和 b ，然后再求图3阴影面积即可.
【详解】
图1中重叠部分的为正方形且其面积为4，∴重叠部分的边长为2，
设大正方形边长为a ，小正方形的边长为b ，∴a -b +2=b ，
如图2，阴影部分面积=a 2-2b 2+(b -2
a b -)2=44，解得：b =6，∴a =10， 如图3，两个小正方形重叠部分的面积=()2b b a ⨯-=12．
故答案为：B ．
【点睛】
此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键.
二、填空题
13．【分析】根据题意列举出所有情况让小明一次就能走出迷宫的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】设第一道关口的四个门分别为第二道关口的两个门分别为列表得：由表格得共有8种等可能的结果而一次能走出迷宫的 解析：18
【分析】
根据题意，列举出所有情况，让小明一次就能走出迷宫的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
设第一道关口的四个门分别为1234,,,A A A A ,第二道关口的两个门分别为12,B B ，列表得：
由表格得,共有8种等可能的结果,而一次能走出迷宫的只有1种,所以P(一次就能走出迷宫)=18
， 故答案为：
18． 【点睛】
本题考查了概率公式的应用，解题的关键是理解题意．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．【分析】能围成正方体的有3种再根据概率公式进行计算即可得出答案
【详解】解：依题意得：能围成正方体的有3种故上面的图案能够围成一个正方体的概率是：故答案为：【点睛】此题主要考查了概率公式和正方体展开图
解析：34
【分析】
能围成正方体的有3种，再根据概率公式进行计算,即可得出答案．
【详解】
解：依题意得：能围成正方体的有3种，
故上面的图案能够围成一个正方体的概率是：
34 故答案为：
34 【点睛】
此题主要考查了概率公式和正方体展开图，,关键是掌握随机事件A 的概率的计算公式． 15．【分析】直接利用概率公式求解【详解】摸出的一个球是红球的概率＝＝
故答案为：【点睛】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
解析：1 3
【分析】
直接利用概率公式求解．【详解】
摸出的一个球是红球的概率＝
2
23
＝
1
3
．
故答案为：1
3
．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．2【分析】过点E作EM⊥BD于点M则△DEM为等腰直角三角形根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长【详解】过点E作EM⊥BD于点M如图所
解析：
【分析】
过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．【详解】
过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∴EM
，
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM＝EC，
设EM＝EC＝x，
∵CD＝2，
∴DE＝2﹣x，
∴x＝
2
（2﹣x），
解得x＝﹣2，
∴EM＝
﹣2，
由旋转的性质可知：CF＝CE＝2，
∴BF＝BC+CF＝
﹣2＝．
故答案为：22．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出线段CF的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合角平分线以及等腰直角三角形的性质求出线段的长度是关键．
17．8【分析】以AB为直径作圆O则∠AGB=90º当CF与圆O相切时AF最大AF=2由切线长定理的AF=FGBC=CG过F作FH⊥BC与H则四边形ABHF为矩形AB=FHAF=BH=2设正方形的边长为x
解析：8．
【分析】
以AB为直径作圆O，则∠AGB=90º，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，在Rt△FHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可．
【详解】
以AB为直径作圆O，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90º，
当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，
由切线长定理的AF=FG，BC=CG，
过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，
设正方形的边长为x，
则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，
在Rt△FHC中，由勾股定理得，
x2+(x-2)2=(x+2)2，
整理得：x2-8x=0，
解得x=8，x=0（舍去），
故答案为：8．
【点睛】
本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是解题关键．
18．①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°可得①进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB 连接OD 然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解【详解】解：∵是的直径∴∠ADB=90°∴AD ⊥BC 故①
解析：①②③④
【分析】
根据题意易得∠ADB=90°，可得①，进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB ，连接OD ，然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解．
【详解】
解：∵AB 是O 的直径， ∴∠ADB=90°，
∴AD ⊥BC ，故①正确；
∵点D 是BC 的中点，
∴AC=AB ，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠B=∠C ，∠CAD=∠BAD ，
∵DE ⊥AC ，∠CDA=90°，
∴∠EDA+∠EAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴EDA C ∠=∠，
∴EDA B ∠=∠，故②正确； ∵12OA AB =
， ∴12
OA AC =，故③正确； 连接OD ，如图所示：
∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠ADO=∠EAD，
∴∠ADO+∠EDA=90°，
∴ED是⊙O的切线，故④正确；
∴正确的有①②③④；
故答案为①②③④．
【点睛】
本题主要考查切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
19．【分析】以喷水池中心A为原点竖直安装的水管AB所在直线为y轴与水管垂直的AD所在直线为x轴建立直角坐标系设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3）将（30）代入求得a值则x＝0时得的y值
解析：9 4
【分析】
以喷水池中心A为原点，竖直安装的水管AB所在直线为y轴，与水管垂直的AD所在直线为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
【详解】
以喷水池中心A为原点，竖直安装的水管AB所在直线为y轴，与水管垂直的AD所在直线为x轴建立直角坐标系，
由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，
所以设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0），得：0=a（3-1）2+3，
解得：a＝
3
4 -．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝
3
4
-（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x ＝0，则y ＝94． 即水管AB 的长为
94m ， 故答案为：94
．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
20．-1或【分析】先根据题意列出关于x 的方程整理为一般式再利用因式分解法求解即可【详解】解：根据题意得：3x2-6=x-2整理得：3x2-x-4=0∴（x+1）（3x-4）=0∴x+1=0或3x-4=0
解析：-1或
43 【分析】
先根据题意列出关于x 的方程，整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：根据题意，得：3x 2-6=x-2，
整理，得：3x 2-x-4=0，
∴（x+1）（3x-4）=0，
∴x+1=0或3x-4=0，
解得1241,,3=-=
x x ∴当x=-1或43
时，二次式3x 2-6的值与x-2的值相等， 故答案为：-1或
43 【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
三、解答题
21．不公平，理由见解析，把3个黑球改为放2个黑球，这样才能保证游戏公平
【分析】
利用概率公式分别求出小明和小红获胜的概率，进而得出这个游戏对双方不公平，把3个黑球改为放2个黑球，这样摸到的红球和黑球的概率相等，这样才能保证游戏公平．
【详解】
解：不公平．
∵不透明的袋中装有有2个红球、3个黑球和5个白球，小明摸到红球，得10分，若小红摸到黑球，则小红得10分，
∴小明摸到红球的概率为：2
10＝
1
5
，小红摸到黑球的概率为：
3
10
，
∴这个游戏对双方不公平；
把3个黑球改为放2个黑球，这样才能保证游戏公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（1）2
3
（2）
1
3
【分析】
（1）根据简单的概率公式进行计算即可；
（2）用列表法列出所有等可能的情况，即可得出概率．【详解】
解：（1）A盒里有三张卡片上，有两张是奇数，
∴抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是2
3
，
故答案为：2
3
；
（2）根据题意可列表格如下：
(2,6),(3,5),(3,6)，
P ∴（两张卡片数字之和大于7）3193
=
=． 【点睛】 本题考查了概率的计算和用列表法或树状图法求概率，掌握计算方法是解题关键．
23．（1）1，3+2）①不变，理由见解析；②见解析；（3）43±
【分析】
（1）过C 作y 轴的垂线交y 轴与D 点，先根据题意求得PA 、OB 的长，然后再证明△ACD ≌△AOB ，最后根据图形即可解答；
（2）①过点C 作CH ⊥y 轴，垂足为点H ，先证明△HAC ≌△OBA ，进一步得到C 点的横坐标恒为1，即可说明；
②过F 作FM ⊥l 交l 与M,过点F 作FN ⊥x 轴，垂足为点N ，即∠APF =90°，再说明∠APF 、=90°，再证得△AOP ≌△PBF ，最后根据图形运用线段的和差即可解答；
（3）分t ＞0和t ＜0两种情况分别求解即可
【详解】
解：（1）如图：过C 作y 轴的垂线交y 轴与D 点
∵t=2，P （2,0），A （0,1）
∴
=
∴
∵∠BAC=90°，∠CDA=90°，
∴∠DAC+∠OAB=90°, ∠DAC+∠DCA=90°,
∴∠OAB=∠DCA
在△ACD 和△AOB 中
∠OAB=∠DCA ，∠CDA=∠AOB=90°，AC=AB
∴△ACD ≌△AOB （AAS ）
∴
∴C （1，3+）；
（2）①不变、理由如下：
过点C 作CH ⊥y 轴，垂足为点H ，易证△HAC ≌△OBA ，得HC =OA =1，
∴点C 的横坐标是定值为1，
∴直线l 是过点（1，0）且垂直于x 轴的直线，直线l 的位置不发生变化；
②如图：过F 作FM ⊥l 交l 与M,过点F 作FN ⊥x 轴，垂足为点N ，即∠APF =90°， ∵△ACB 为等腰直角三角形，∠CAB=90°
∴∠ABC=45°
∴∠APF=2∠ABC=90°
同理（1）可得△AOP ≌△PBF ，
∴PN =OA ，OP=FN
∴ON=OP+PN=OP+OA
∵直线l 为l=1
∴FM=OP ；
（3）∵CF=2BF
∴当t ＞0，如图，22311MF OP BQ OB OQ t t ===-++- ∴3t=22212t t ++-，即：()3340t t -=，解得t=
43 或t=0（舍去） 同理可得t ＜0时，可得t=-
43． 综上，当t=43
±时，CF=2BF ．
【点睛】
本题属于几何综合题，主要考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
24．5
【分析】
连接BE ，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE ，BD=AE ，再判断△BCE 为等边三角形得到BE=BC=4，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE 即可．
【详解】
解：连接BE ，如图，
∵△DCB 绕点C 顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A 重合，得到△ACE ， ∴∠BCE=60°，CB=CE ，BD=AE ，
∴△BCE 为等边三角形，
∴BE=BC=4，∠CBE=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=90°，
在Rt △ABE 中，AE=223+4=5，
∴BD=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23
922S t t =-+；②最大值928
，此时P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；
（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由
PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；
②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．
【详解】
解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，
得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩
， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；
（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，
当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，
∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，
∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，
∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形
=
22111(233)(3)(23)33222
t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -
+(t ＞0)； ②由S=23922t t -
+= 23327()228t --+，且32-＜0，得： 当t= 32时，S 有最大值，最大值为278
， ∵OB=3，OC=3，
∴
=
∵当t=32时，223t t -++=23315()23224
-+⨯+= ∴点P 到直线BC
2728⨯
=，此时，点P 的坐标为（32，154）． 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．
26．（1）1；（2）13-．
【分析】
（1）根据偶次方的非负性得到2(3)0x -，得到答案；
（2）根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】
解：（1）∵2(3)0x -≥，
∴25(3)11x -+≥，
∴多项式25(3)1x -+的最小值是1．
故答案为：1；
（2）24163x x -+
(
)2443x x =-+ ()
22244223x x =-+-+ 24(2)43x ⎡⎤=--+⎣⎦
24(2)163x =--+
24(2)13x =--
∵2
x-≥，
(2)0
∴2
x--≥-，
4(2)1313
∴多项式2
-．
4163
-+的最小值为13
x x
【点睛】
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．。