南宁中考数学二次函数综合练习题

南宁中考数学二次函数综合练习题
一、二次函数
1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为
D .
（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，
①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；
②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2
||23y a x a x =-+的图像只有一个
公共点，求t 的取值范围.
【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最
，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332
t ≤<或72t =.
【解析】 【分析】
（1）先利用对称轴公式x=2a
12a
--
=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,
y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩
，此函数是两个二次函数
的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值． 【详解】 解：（1）∵2a
x 12a
-=-
=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+人最大值为4， ∴抛物线过点()1,4. 得a 2a 34-+=， 解得a 1=-.
∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.
C 点坐标为()0,3，顶点
D 的坐标为()1,4.
（2）①∵PC PD CD -≤，
∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.
连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===
∴PC PD -
. 易得直线CD 的方程为y x 3=+. 把()P t,0代入，得t 3=-. ∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.
②2
y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,
y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩
设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段
PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.
（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数
22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-.
∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.
（2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=.
当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数
22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点.
所以当3
t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.
（3）将y 2x 2t =-+带入()2
y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=.
()Δ1642t 3288t =--=-.
令288t 0-=，解得7
t 2
=
. ∴当7
t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.
综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3
t 32≤<或7t 2
=. 【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．
2．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣
1
2
x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=211
184
x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣1
2
）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得
0421
01641a b a b --⎧⎨
+-⎩
＝＝ 解得18
14a b ⎧
⎪⎪⎨
⎪-⎪⎩
＝＝
∴抛物线解析式为：y=1
8x2−
1
4
x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-
1
4
1
22
8
b
a
-
=-
⨯
＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
1
2
∴y=-
1
2
x
则P点坐标为（1，-
1
2
）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-
1
2
a-1）
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D 坐标为（0，-5
2
a−1） ∵N 为DM 中点
∴点M 坐标为（2a ，3
2
a−1） 把M 代入y=18x 2−1
4
x−1，解得 a=4
则N 点坐标为（4，-3）
当△AOC ∽△CNM 时，∠CAO=∠NCM
∴CM ∥AB 则点C 关于直线x=1的对称点C′即为点N 由（2）N （2，-1）
∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
3．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2(0)2
y ax x a =-
≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点
C .
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =
-;抛物线的对称轴为直线x =
;
（Ⅱ）P 点坐标为9
(0,)4
-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为或(-，理由见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.
（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.
（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）
∵2(0) y ax x a
=≠
经过点3)
A-，
∴2
3
2
a
-=⨯-
1
2
a=，
∴
抛物线的解析式为2
1
22
y x x
=-，
∵2
1
22
2
2
b
x
a
=-=-=
⨯
，
∴
抛物线的对称轴为直线x=
（Ⅱ）∵点(0,0)
O
，对称轴为
2
x=，
∴点O关于对称轴的对称点B
点坐标为.
作点B关于轴的对称点1B
，得
1
(
B-，
设直线AB1的解析式为y kx b
=+，
把点3)
A-
，点
1
(
B-
代入得
3
b
b
⎧-=+
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
，
解得
9
4
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴
9
44
y x
=--.
∴
直线9
4
y x
=-与y轴的交点即为P点.
令0
x=得
9
y
4
=-，
∵P点坐标为9
(0,)
4
-.
（Ⅲ）
∵3)
A-，//
AC x轴，
∴AC=3
OC=，
∴113
222
AOC
S OC AC
∆
=⋅=⋅=，
又∵
1
3
AOC AOQ
S S
∆∆
=，
∴3
AOQ AOC
S S
∆∆
==.
设Q
点坐标为2
1
(,)
2
m m，
如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ， ∵93
2
AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=
梯形， ∴()
2113311
3333322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝2133933222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭
， 化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-.
如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93
AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=
梯形， ∴2211331133(3m)3()222222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
393(3)22m m --+-=，
化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-， ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=
.
【点睛】
主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.
4．如图，直线y＝-1
2
x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx
﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．
【答案】(1)y＝1
4
x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣
3
4
(m+3)2+
27
4
；△ADC的面积最大值为
27
4
；此时
D(﹣3，﹣15
4
)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).
【解析】
【分析】
（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐
标为：(m，1
4
m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣
1
2
m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求
出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝3
2
x+9，解方程
组求出函数图像交点坐标.【详解】
解：(1)在y＝﹣1
2
x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，
即点A的坐标为：(﹣6，0)，
将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：
36630
4230a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得：141
a b ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为：y ＝14
x 2
+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1
2
m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.
∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣3
2
m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC
＝12DF•AE+1
2
•DF•OE ＝1
2
DF•OA ＝
12×(﹣14m 2﹣3
2
m)×6 ＝﹣34m 2﹣9
2m ＝﹣34
(m+3)2+274，
∵a ＝﹣
3
4
＜0， ∴抛物线开口向下，
∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274
， 又∵当m ＝﹣3时，14
m 2+m ﹣3＝﹣154，
∴存在点D(﹣3，﹣
15
4)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274
； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝
3
2
x+9，
由2
3
9
2
13
4
y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，
此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件， 综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.
5．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：
（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积是 ；
（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；
（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．
【答案】（1）300，9+93
2
；（233）见解析. 【解析】
分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根
据梯形的面积公式求解.
（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计
算可得
（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 时，＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6
∴sin ∠P=
1
=2
EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD
∴∠PAD=300，
根据勾股定理可得
所以S 四边形PEAD =
12×（+3）×3=92
+； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，
在Rt △ADF 中，由AD=3，得 ； （3）分三种情况讨论：
①当0≤t PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，t ，∴S=
122
；
②＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴-t ，S △ABD ，
∵∠FBK=∠FKB
，∴，KH=KF×sin600,∴S=S △ABD ﹣S △FBK
=292t +
③当PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，
-t+3，OE=BE×tan300∴S=2++
． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.
6．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣
1
k
（x +b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．
（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为：
（直接填空）；
（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2
142
y x x =
-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；
（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．
【答案】（1）1
(6)3
y x =
+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】 【分析】
（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；
（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；
（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣
12
m 2
﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标，
由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为33
8；
（4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1
m
（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式． 【详解】
（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6，
则答案为：y ＝
1
3
（x+6）；
（2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，
点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）， 则直线CD 的表达式为：y ＝
12（x+4）＝1
2
x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12
m 2
﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝
n m
x ， 将直线OP 和CD 表达式联立得1
22
n
y x m
y x ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，2228
38
m m m m +-+-）
则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32
m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣3
2
m+3， 当m ＝﹣
32，y 最大值为33
8
； （4）直线CD 的表达式为：y ＝﹣1
m
（x+3）， 令x ＝0，则y ＝﹣
3
m
，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点C 、D 的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m ），则点H （﹣32，﹣32m
）， 同理可得：点G （﹣32m ，3
2
）， 则GH 2＝（
32+32m ）2+（32﹣32m
）2
2， 解得：m ＝﹣3（正值已舍去），
则点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0）， 则“母线”函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）＝a （x 2﹣2x ﹣3）， 即：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，
故：“母线”函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【点睛】
此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.
7．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；
(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34
m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11
b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161
393a -≤≤- 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；
（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2
y ax bx c =++，可得
22
(1)(1)a m b m c a
am bm c b
⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；
（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得21
4a m m
=
+，把b am =-，
c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.
【详解】
解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )
由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得1
1b c =⎧⎨
=⎩
(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上
22
(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①
②
①－②得，2am b b +=-，∴b am =-
把b am =-代入②，得c am =-
(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=
0a <Q ，221
41,4am am a m m
∴+=∴=
+
把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-
34m Q ≤-，3
14
m ∴-≤≤-
224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大
239
3416
m m ∴-≤+≤-
216113943m m ∴-
≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.
8．综合与探究
如图，抛物线2
6y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物
线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的
3
4
时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)233
642
y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据
S △BCD =
34S △AOC ，得到S △BCD =92
，然后求出BC 的解析式为3
62y x =-+，则可得点G 的坐
标为3(,6)2m m -+，由此可得2
334
DG m m =-+，再根据
S △BCD =S △CDG +S △BDG =1
2
DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边
时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154
和点N 的纵坐标为15
4
-
两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】
(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩
， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的函数表达式为233
642
y x x =-
++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =11
26622
OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =
3
4S △AOC ， ∴S △BCD =39
642
⨯=，
设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，
由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326
k n ⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的函数表达式为3
62
y x =-+， ∴点G 的坐标为3
(,6)2
m m -+， ∴223333
6(6)34224
DG m m m m m =-
++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =
1111
()2222
DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅，
∴S △BCD =22133346242
m m m m -+⨯=-+（）， ∴239
622
m m -
+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,
)4
，∴点N 点纵坐标为±15
4，
当点N 的纵坐标为15
4
时，如点N 2， 此时23315
6424x x -
++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215
(1,
)4
N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为15
4
-时，如点N 3，N 4， 此时23315
6424
x x -
++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-
，415
(114,)4
N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；
以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，
∵115(1,
)4
N -，D(3，154)，
∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，
综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
9．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线22343
23y x x =-
-+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；
（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323
y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；
（3）E（-1，
-
3）、F（0
，
3
）或E（-1
，-
3
），F（-4
，
3
）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可
【详解】
（1）
∵2
y x x
=-+
a=
3
-，则抛物线的“衍生直线”
的解析式为y=；
联立两解析式求交点
2
y=
y x x
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
，解得
x=-2
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x=1
y=0
⎧
⎨
⎩
，
∴A（-2
，B（1,0）；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，
在2
33
y x x
=--+y=0可求得x= -3或x=1，
∴C（-3,0），且A（-2
，
∴
由翻折的性质可知
∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，
∴N在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得
，
∵
OD=
∴
ON=或
ON=，
∴N点的坐标为（0
，），（0
，）；
（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ， ∴∠ ACK=∠ EFH ， 在△ ACK 和△ EFH 中
ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
∴△ ACK ≌△ EFH ， ∴FH=CK=1，HE=AK=23 ∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴ F 点的横坐标为0或-2， ∵点F 在直线AB 上，
∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，23
3
），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43
∴ E （-1，43
）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵ C （-3,0），且A （-2，3 ∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，3）， 设E （-1，t ），F （x ，y ）， 则x-1=2×（-2.5），y+t=23 ∴x= -4，y=23，
323×（-4）23，解得t=43
， ∴E （-1，3-
3
），F （-4，103
3）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43
3
）、（0，
23
3
）或E（-1，
43 -
3），F（-4，
103
3
）
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=1
4
x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=1
4
x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（
28
13
，﹣1）．（3）
定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点
B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-1
2
-
1
2
y
0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关
于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=1
4
，
∴抛物线的解析式为y=1
4
（x-2）2=
1
4
x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
2
1
4
1
1
4
y x
y x x
⎧
⎪⎪
⎨
⎪-+
⎪⎩
＝
＝
，解得：
1
1
1
1
4
x
y
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
＝
＝
，2
2
4
1
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴点A的坐标为（1，1
4
），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．
∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，
1
4
）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：
1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243
k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-
1312x+43， 当y=-1时，有-
1312x+43=-1， 解得：x=2813
， ∴点P 的坐标为（
2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，
∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，
∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．
∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，
∴n=14
m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（
14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12
y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值， ∴000220
001110
222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩
＝＝＝，
∴00
21x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．
11． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，
y =x +2，y =﹣x +4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在
x 轴和y 轴上，抛物线21()4
y x m n =
-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；
（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式； （3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？
【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21(2)34y x =
-+；（3）抛物923-2312距离，其顶点落在OP 上． 【解析】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；
（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；
（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为21()4y x m n =-+，∴21()14
y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21(2)24y m m n m =
-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；
∴D （2，3），∴抛物线解析式为21(2)34
y x =-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：
根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，
∴MN=
3=
23
3
，∴抛物线需要向下平移的距离=
23
3
3
-=
923
3
-
．
②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′=22
43
-=7，∴A′F=4﹣7，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣
7）2+（3﹣c）2=c2，∴c=1647
-
，∴P（4，
1647
-
），∴直线OP解析式为
y=47
-
x，∴N（2，
827
-
），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣
827 -
=127
+
．
综上所述：抛物线向下平移923
3
-
或
127
3
+
距离，其顶点落在OP上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．
12．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A
点的直线y=﹣1
2
x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐
标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=
211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣
12
）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】 分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得
042101641a b a b --⎧⎨+-⎩＝＝
解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
＝＝ ∴抛物线解析式为：y=18x 2−14
x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1
41228
b a -
=-⨯＝1 （2）存在 使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小
∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．
设过点C′、O 直线解析式为：y=kx
∴k=-
12
∴y=-12x
则P点坐标为（1，-1
2
）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-1
2
a-1）
由△EDN∽△OAC ∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-5
2
a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，3
2
a−1）
把M代入y=1
8
x2−
1
4
x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为
负倒数设直线PC的解析式为y=-1
3
x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为
y=-1
3
x+3，再解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
3
p
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣1
3
x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3
x+3，
解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
，解得
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
7
3
20
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
7
3
，
20
9
）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A （﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13， ∴直线
PC 的解析式为y=﹣
13x ﹣13， 解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，则此时P 点坐标为（103，﹣139
）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139
）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物
线()20y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点．
（1）求,A C 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．
【答案】解：（1）点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；；
（2）抛物线的表达式为：234y x x ＝﹣
﹣ ； （3）PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为2，此时点P （2，﹣6）．
【解析】
【分析】。