2013高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列 30

卷30一、填空题： 1. 已知）（），（），（），（13,75,31,-b D C B a A 是菱形ABCD 的四个顶点，则=+b a __________ 2.若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102202534x y x y x ，则POQ ∠cos 的最小值为__________4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________5. 过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB = ，AE y AC =，0xy ≠，则11x y+的值为___________ 6.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个 函数：()1sin cos ,f x x x =+()2f x x =+，()3sin f x x =则_______为“同形”函数7.椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的为ba则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时 分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）；乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定||1)()),(()(),()(11x n xx f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有__________个9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值 为 10.{}n a 是等差数列，满足10041006OC a OA a OB =+ ，而AB AC λ=，则数列{}n a 前2009项之和2009S 为 .11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=。

”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列，12. Rt △ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB,则))((∙∙的最大值为_________.13.设A=),,(321a a a ，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321b b b ，记A☉B=max {}332211,,b a b a b a ，若A=)1,1,1(+-x x ，B=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121x x l，且A☉B=1-x ，则x 的取值范围为 。

14.设A 为锐角三角形的内角，a 是大于0的正常数，函数AaA y cos 1cos 1-+=的最小值是9，则a =___ _ 二、解答题15.已知32()31f x ax x x =+-+，a R ∈．（1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；（2）如果对x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围．16.在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6，D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。

⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围17.已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．18.已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时, 直线与圆O 恒相交；并求直线被圆O 所截得的弦长的取值范围.19. 某公司有价值a 万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价。

假设售价y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与x a -和x 的乘积成正比； ②时2ax =2a y =； ③.)(20t x a x≤-≤其中为常数，且]1,0[∈t 。

（1）设)(x f y =，试求出)(x f 的表达式，并求出)(x f y =的定义域；（2）求出售价y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.20.已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-= （1）当1=a 时，求)(x f 的极小值；（2）若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，求a 的取值范围（3）设]1,1[|,)(|)(-∈=x x f x g ，求)(x g 的最大值)(a F 的解析式。

附加题试卷一、选做题：每小题10分，共20分． 1．（矩阵与变换）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．2.（坐标系与参数方程）求直线415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t）被曲线)4πρθ=+所截的弦长.二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠= ，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. （I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --余弦值的大小.4．某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ) 记“函数13)(2+-=x x x f ξ在区间[4,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率．参考答案：1. 6或142. 123.224. 50x y +-=5. 36. ()()12,f x f x7. 238. 39.32 10. 20092 11. 它的前n 项乘积为n T ，若m n T T =，则1m n T += 12. 27213. [1，1+2] 14. 415．解：（1）当3a =-时，32()331f x x x x =-+-+，∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤，∴()f x 在R 上是减函数.（2）∵x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，即x R ∀∈不等式23614ax x x +-≤恒成立， ∴x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立. 当0a =时，x R ∀∈ 210x -≤不恒成立； 当0a <时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立，即4120a ∆=+≤，∴13a ≤-.当0a >时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤不恒成立. 综上，a 的取值范围是1(]3-∞-，. 16．解：(1) 58222bcb c a -=-⇒542222=-+bc a c b ⇒54cos =A ⇒53sin =A(2) 65321sin 21=⋅==∆bc A bc S ABC ，=∴bc 20由542222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4，c=5或b=5,c= 4(3)设D 到三边的距离分别为x 、y 、z ，则6)543(21=++=∆z y x S ABC)2(51512y x z y x d ++=++= 又x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+，，，001243y x y x画出不等式表示的平面区域得：4512<<d17. (Ⅰ)证明：连结BD ，则BD //11B D ， …………1分 ∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ， ∴CE BD ⊥．又C = AC CE ，∴BD ⊥面ACE ．………4分 ∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥，∴11B D AE ⊥． …………………………………………5分 （Ⅱ）证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE1B F ，∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ． ………7分 ∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ， 又//BC AD ，∴//EF AD ．∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AF CF C = ，1B E ED E = ，∴平面//ACF 面1B DE ． …………………………………9分 又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE ． ………………10分 （Ⅲ）122ABD S AB AD ∆=⋅=． ……………………………12分 112333A BDEE ABD ABD ABD V V S CE S CE --∆∆==⋅=⋅=． ……………………………15分18.解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得F （3,0） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212516x y += （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+, 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r =<=. 所以直线与圆O 恒相交又直线被圆O截得的弦长为L ===由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则L ∈, 即直线被圆O截得的弦长的取值范围是L ∈ 19. 解：（1）设,2,)(2a y ax x x a k y ==-=时当可得x x a y k )(4,4-=∴= ∴定义域为]212,0[tat+，为常数，]1,0[∈t （2）22)2(4)(4a ax x x a y +--=-=当2max ,2,121,2212a y a x t a t at ==≤≤≥+时即时 当]212,0[)(4,210,2212tat x x a y t a t at +-=≤≤<+在时即时上为增函数 22max )21(8,212t at y t at x +=+=∴时当112t ≤≤从而当时，投入2ax =时，售价y 最大为2a 万元；当210<≤t 时，投入t atx 212+=时，售价y 最大为22)21(8t at +万元.20.解：（1）11,0)(,33)(,1'2'=-==-==x x x f x x f a 或得令时当当)1,1(-∈x 时，),1[]1,(,0)('+∞--∞∈< x x f 当时，0)('>x f ， 上单调递增在上单调递减在),1[],1,(,)1,1()(+∞--∞-∴x f )(x f ∴的极小值是(1)2f =-（2）a a x x f 333)(2'-≥-= ，∴要使直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，当且仅当a 31-<-时成立，31<∴a （3）因上的故只要求在上是偶函数在]1,0[,]1,1[|3||)|)(3--==ax x fx x g 最大值 ①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)('x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在 .31)1()(a f a F -==②当0>a 时，),)((333)(2'a x a x a x x f -+=-=（ⅰ）当1,1≥≥a a 即13)1()(,]1,0[)(),(|)(|)(-=-=--==a f a F x f x f x f x g 此时上单调递增在（ⅱ）当10,10<<<<a a 即时，,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增；1°当131,031)1(<≤≤-=a a f 即时， ,]1,[,],0[)(),(|)(|)(上单调递减在上单调递增在a a x f x f x f x g --== a a a f a F 2)()(=-=； 2°当310,031)1(<<>-=a a f 即 （ⅰ）当a f a F a a f a f 31)1()(,410,31)1()(-==≤<-=≤-时即 （ⅱ）当aa a f a F a a f a f 2)()(,3141,31)1()(=-=<<-=>-时即综上 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F1．解：（Ⅰ）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=． 2．（坐标系与参数方程）求直线415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t）被曲线)4πρθ=+所截的弦长，将方程415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，)4πρθ=+分别化为普通方程：3410x y ++=，220,x y x y +-+= (5))17.105d ==11圆心C （，－＝，弦长＝22(10分)二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．3. 解：（I ）如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t = ，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅= ，知1AC CB ⊥，又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ； （II ）由1AC ⋅ 2130BA t =-+=，得t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB = ，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则)n =所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==. （III ）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB = ，所以1020m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()m = ， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅，根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --4． 解：（1）分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览丁景点”为事件1234,,,A A A A ,由已知1234,,,A A A A 相互独立，且1234()()()()0.6.P A P A P A P A ====客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，4;相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为4，3，2，1,0.所以ξ的可能取值为0，2,42224(0)(0.6)(10.6)0.3456.P C ξ==-=11333144(2)(0.6)(10.6)(0.6)(10.6)0.4992.P C C ξ==-+-=44(4)(0.6)(10.6)0.1552.P ξ==+-=所以ξ的分布列为00.345220.499240.1552 1.6192.E =⨯+⨯+⨯=………………(5分)（2）因为,491)23()(22ξξ-+-=x x f 所以函数13)(2+-=x x x f ξ在区间),23[+∞ξ上单调递增．要使)(x f 在[4,)+∞上单调递增，当且仅当34,2ξ≤即8.3ξ≤从而8()()(0)(2)0.8448.3P A P P P ξξξ=≤==+==…………………(10分)。