空间向量运算的坐标公式解读

三、向量的直角坐标运算.
设
a ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 )
则
a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ); a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a ( x1, y1, z1 )( R);
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基
向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基
底，常用 i , j , k 来表示. z 空间直角坐标系：在空间选定一点
O和一个单位正交基底 i、j、k
。以点O为
k i O
原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数 轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这 样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz
PQ __________ ______
y
C
E， F 分别是 BB1 ， 如图， 棱长为 1 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
D1 B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，因为正方体的棱长为 1， 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ， 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 EF ( , , )， 所以 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.
练习2 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 取D点为原点 建立空间直角坐标系， N、M、P、Q分别是AC、DD1、 CC1、A1B1的中点， 写出下列向量的坐标.
D1 z C1 B1 M D A N B Q P
AM __________ ____
A1
NB1 ______________
求P点的坐标。
课堂小结： 空间向量的坐标运算公式、 模长公式、夹角公式及其应用。 注：空间向量的坐标运算公式、模长公式、 夹角公式的形式与平面向量中相关内容一致， 因此可类比记忆；
例2 在正方体 ABCD—A1B1 C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、 CD 的中点 ， 求证： D1F 平面ADE
D1
Z
C1 B1
A1
E D F A X B C Y
练习1 如图建立直角坐标系,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 求正方体各顶点的坐标
D1 z
A1 B1
C1
D
y
C B
x A
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 ;
例 1、 （1）求向量 a ( x, y, z ) 的模 | a
|
（2）求两个非零向量 a ( x1 , y1 , z1 ) ，
b ( x2 , y2 , z2 ) 的夹角的余弦值
（3） 、 已 知 向 量 a (2, 3,5) ， b (3, 1, z) ， 且
有序实数组(
在 空间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
a =( a 1 , a2, a3)
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点A, 对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组 z x,y,z，使 OA=xi+yj+zk a
k
i O j
A(x,y,z) y
x
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
练习 3、已知 a
( x, 2, 2) ，b (2, 3,5) ，且 a 与 b
的夹角为钝角，求
x 的取值范围；
练习 4、已知 a (sin a,cos a, tan a) ，
b (cos a,sin a,cot a) 且 a b ，则且 角a＝
例2：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB
空间向量运算的坐标公式
空间向量的基本定理：
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组x、y、z， 使得：
a , b , c 如果三个向量 不共面，那么对空间
p xa yb zc
基底 a, b, c 叫做空间的一个______
空间任意三个不共面向量都 点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两 个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面,yOz平 面,xOz平面.
二、向量的直角坐标
给定一个空间坐标系和向 量 z
a
A(a1,a2, a3 ) y
a
,且设i、j、k为坐标向量， k i x O j
由空间向量基本定理，存在唯一的
a1, a 2, a 3)使 a= a1i+ a 2j+ a3k 有序数组( a1, a2, a 3)叫做 a
a b
，求 Z 的值。
练习 1.知 a (2, 3,5) ， b (3,1, 4) ，求 a b ，
a b ， | a | ， 8a ， a b ，
练习 2、已知 a (cos a,1,sin a) ， b (sin a,1,cos a) ， 则向量 a
b 与 a b 的夹角为
所以 DA1 (1, 0 , 1) 1 1 1 所以 EF DA1 ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1
练习：已知A、B 、C三点的坐标分别为 （2，-1，2）、（4，5，-1）、（-2，2，3）
若
AP 1 ( AB AC ) 2