2018-2019学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共4小题，每小题3分，共计12分，请把答案填涂在答卷纸相应位置上
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x＝0}，则A∩B为（）A．{﹣2}B．{2}C．{0，﹣2}D．{0，2}
2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）
A．y＝|x|B．y＝（）x C．y D．y＝﹣x3
3．函数y＝x+a与y＝1og a x（a＞0，a≠1）的图象只可能是下图中的（）A．B．
C．D．
4．已知函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为f（x）的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（）
A．f（x）＝x+1（x∈R）B．f（x）＝x2（x≥0）
C．f（x）（x≥0）D．f（x）＝3x（x∈R）
二、填空题：本大遇共10小题，每小题3分，共计30分，请把答案填写在答卷纸相应位置上.
5．若幂函数f（x）＝x a（a为常数）的图象过点（，9）则f（5）的值为．6．设a＝（）2，b，c＝（）﹣1，则a，b，c按从小到大排列的顺序是．7．已知集合A＝（﹣∞，2a﹣1），B＝{1，4}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是．8．函数的定义域为．
9．已知函数f（x），
，＜
则f（f（﹣1））的值是．
10．若2a＝5b＝10，则．
11．函数f（x）＝4x﹣2x+1+3的最小值是．
12．已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（1）＝0，则满足f（x﹣2）＜0的实数x的取值范围是．
13．若函数f（x）＝1og a|x+1|（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，0）上有f（x）＞0，则f（x）的单调减区间是．
14．设函数f（x），则使得f（2x+1）＞f（x）成立的实数x的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分58分）
15．计算：（1）
（2）
16．已知全集U＝R．集合A＝（，+∞），B＝{y|y＝2x﹣2，0≤x≤2}
（1）求B∪∁U A；
（2）设实数a＞0，集合C＝{x|a＜x＜3a}，若B∩C＝∅，求a的取值范围．
17．已知函数f（x）＝1g（x﹣1），g（x）＝lg（4﹣x）．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的定义域．
（2）求不等式f（x）＞g（x）成立时，实数x的取值范围．
18．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于原点对称
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的值域．
19．某城市的街道是相互垂直或平行的，如果按照街道垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：
d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．如图，学校在点A（1，7）处，商店在点B（6，7）处，小明家在点C（4，1）处，某日放学后，小明沿道路AB从学校匀速步行到商店．已知小明的速度是每分钟1个单位长度，设步行x（0≤x≤5）分钟时，小明与家的距离为y个单位长度．
（1）求y关于x的解析式；
（2）作出（1）中函数的图象，并求小明离家的距离不大于7个单位长度的总时长．
20．设M为满足下列条件的函数x构成的集合：存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）（1）判断g（x）＝x2是否为M中的元素，并说明理由
（2）设h（x）∈M，求实数a的取值范围；
（3）已知y＝2e x（x＞）的图象与y为图象交于点（t，2e t）．证明：m（x）＝ln （3x﹣1）﹣x2是M中的元素，并求出此时x0的值（用t表示）；
2018-2019学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共4小题，每小题3分，共计12分，请把答案填涂在答卷纸相应位置上
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x＝0}，则A∩B为（）A．{﹣2}B．{2}C．{0，﹣2}D．{0，2}
【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣2，0}，
∴A∩B＝{0，﹣2}．
故选：C．
2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）
A．y＝|x|B．y＝（）x C．y D．y＝﹣x3
【解答】解：对于A：y＝f（x）＝|x|，则f（﹣x）＝|﹣x|＝|x|是偶函数．
对于B：，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数．
对于C：定义为（﹣∞，0）∪（0，+∞），在其定义域内不连续，承载断点，∴在（﹣∞，0）和在（0，+∞）是减函数．
对于D：y＝f（x）＝﹣x3，则f（﹣x）＝x3＝﹣f（x）是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数．
故选：D．
3．函数y＝x+a与y＝1og a x（a＞0，a≠1）的图象只可能是下图中的（）A．B．
C．D．
【解答】解：A．由对数图象知a＞1，此时直线的纵截距a＜0，矛盾，
B．由对数图象知0＜a＜1，此时直线的纵截距0＜a＜1，保持一致，
C．由对数图象知a＞1，此时直线的纵截距0＜a＜1，矛盾，
D．由对数图象知0＜a＜1，此时直线的纵截距a＞1，矛盾，
故选：B．
4．已知函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为f（x）的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（）
A．f（x）＝x+1（x∈R）B．f（x）＝x2（x≥0）
C．f（x）（x≥0）D．f（x）＝3x（x∈R）
【解答】解：若函数f（x）存在“倍增区间”，
则函数f（x）＝2x，在定义域至少存在两个不相等的根．
对于A，由f（x）＝x+1＝2x（x∈R），解得x＝1，不满足条件；
对于B，令f（x）＝x2＝2x，（x≥0），解得x＝0，或x＝2，故存在区间[0，2]满足条件，故函数存在“倍增区间”；
对于C，由f（x）＝x（x＞0），解得x＝1，不满足条件；
对于D，函数y＝3x与y＝2x的图象如图，
由图可知，方程f（x）＝3x＝2x无解，不满足条件．
故选：B．
二、填空题：本大遇共10小题，每小题3分，共计30分，请把答案填写在答卷纸相应位置上.
5．若幂函数f（x）＝x a（a为常数）的图象过点（，9）则f（5）的值为．【解答】解：幂函数f（x）＝x a的图象过点（，9），
则9，解得a＝﹣2，
所以f（x）＝x﹣2，
计算f（5）＝5﹣2．
故答案为：．
6．设a＝（）2，b，c＝（）﹣1，则a，b，c按从小到大排列的顺序是b，c，a．【解答】解：a＝（）2＞1，b＜0，c＝（）﹣1．
则a，b，c按从小到大排列的顺序是：b，c，a．
故答案为：b，c，a．
7．已知集合A＝（﹣∞，2a﹣1），B＝{1，4}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（，+∞）．【解答】解：∵A∩B＝B，
∴B⊆A，且A＝（﹣∞，2a﹣1），B＝{1，4}，
∴2a﹣1＞4，解得＞，
∴a的取值范围是，．
故答案为：，．
8．函数的定义域为{x|x≤0}．
【解答】解：由1﹣2x≥0，
即2x≤1＝20，
解得x≤0，
定义域为{x|x≤0}．
故答案为：{x|x≤0}．
9．已知函数f（x），
，＜
则f（f（﹣1））的值是1．
【解答】解：∵函数f（x），
，＜
，
∴f（﹣1）＝﹣1+4＝3，
f（f（﹣1））＝f（3）＝log33＝1．
故答案为：1．
10．若2a＝5b＝10，则1．【解答】解：因为2a＝5b＝10，
故a＝log210，b＝log510
1
故答案为1．
11．函数f（x）＝4x﹣2x+1+3的最小值是2．
【解答】解：f（x）＝（2x）2﹣2•2x+3＝（2x﹣1）2+2≥2，当2x＝1，即x＝0时取等号，则函数f（x）的最小值为2．
故答案为：2．
12．已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（1）＝0，则满足f（x﹣2）＜0的实数x的取值范围是（1，3）．
【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）＝0，
∴不等式f（x﹣2）＜0等价为f（|x﹣2|）＜f（1），
∵f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，
∴|x﹣2|＜1，
得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，
即实数x的取值范围为（1，3）
故答案为：（1，3）
13．若函数f（x）＝1og a|x+1|（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，0）上有f（x）＞0，则f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）．
【解答】解：根据题意，设t＝|x+1|，则y＝1og a t，
当x∈（﹣1，0）上，有0＜|x+1|＜1，若f（x）＝1og a|x+1|＞0，则有0＜a＜1，
则y＝1og a t在（0，+∞）上减函数，
t＝|x+1|，
，＜
，在（﹣∞，﹣1）上为减函数，在（﹣1，+∞）上为增函数，
则f（x）＝1og a|x+1|在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，+∞）上为减函数，
故f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）；
故答案为：（﹣1，+∞）．
14．设函数f（x），则使得f（2x+1）＞f（x）成立的实数x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．
【解答】解：根据题意，函数f（x），
则f（﹣x）f（x），即函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x），f（x）在[0，+∞）上为增函数，
则f（2x+1）＞f（x）⇒f（|2x+1|）＞f（|x|）⇒|2x+1|＞|x|，
变形可得：3x2+4x+1＞0，
解可得：x＜﹣1或x＞，
即x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）；
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．
三、解答题（共6小题，满分58分）
15．计算：（1）
（2）
【解答】解：（1）原式14﹣1．
（2）原式＝lg5+lg2+23．
16．已知全集U＝R．集合A＝（，+∞），B＝{y|y＝2x﹣2，0≤x≤2}（1）求B∪∁U A；
（2）设实数a＞0，集合C＝{x|a＜x＜3a}，若B∩C＝∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）全集U＝R，集合A＝（，+∞），∴∁U A＝（﹣∞，]；
又B＝{y|y＝2x﹣2，0≤x≤2}＝{y|y≤1}＝[，1]；
∴B∪∁U A＝（﹣∞，1]；
（2）实数a＞0，集合C＝{x|a＜x＜3a}，
若B∩C＝∅，则a≥1或3a，
即a或a≥4；
所以a的取值范围是（﹣∞，]∪[4，+∞）．
17．已知函数f（x）＝1g（x﹣1），g（x）＝lg（4﹣x）．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的定义域．
（2）求不等式f（x）＞g（x）成立时，实数x的取值范围．
【解答】解：（1）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝1g（x﹣1）﹣lg（4﹣x）．
要使函数h（x）有意义，则＞
＞
，
得＞
＜
，得1＜x＜4
即函数的定义域为（1，4）．
（2）由f（x）＞g（x）得lg（x﹣1）＞lg（4﹣x），
得x﹣1＞4﹣x，得2x＞5，得x＞，
∵1＜x＜4，
∴＜x＜4，
即实数x的取值范围是（，4）．
18．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于原点对称
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的值域．
【解答】解：（1）由题意可知f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）0，
∴m＝2，
（2）由（1）可知f（x）2，
∵2x+1＞1，
∴＜＜，
﹣2＜＜2，
故函数的值域为（﹣2，2）．
19．某城市的街道是相互垂直或平行的，如果按照街道垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：
d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．如图，学校在点A（1，7）处，商店在点B（6，7）处，
小明家在点C（4，1）处，某日放学后，小明沿道路AB从学校匀速步行到商店．已知小明的速度是每分钟1个单位长度，设步行x（0≤x≤5）分钟时，小明与家的距离为y个单位长度．
（1）求y关于x的解析式；
（2）作出（1）中函数的图象，并求小明离家的距离不大于7个单位长度的总时长．
【解答】解：（1）x分钟后，小明的坐标为（1+x，7），
y＝|1+x﹣4|+6＝|x﹣3|+6（0≤x≤5）．
（2）作出函数图象如图所示：
令|x﹣3|+6≤7，即|x﹣3|≤1，解得：2≤x≤4．
小明离家的距离不大于7个单位长度的总时长为4﹣2＝2分钟．
20．设M为满足下列条件的函数x构成的集合：存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）（1）判断g（x）＝x2是否为M中的元素，并说明理由
（2）设h（x）∈M，求实数a的取值范围；
（3）已知y＝2e x（x＞）的图象与y为图象交于点（t，2e t）．证明：m（x）＝ln （3x﹣1）﹣x2是M中的元素，并求出此时x0的值（用t表示）；
【解答】解：（1）设g（x）为M中的元素，则存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f
（1）；
即（x+1）2＝x2+1，∴x＝0，
故g（x）＝x2是M中的元素．
（2）设h（x）∈M，则存在实数x，使h（x+1）＝h（x）+h（1）成立；即lg lg lg；
∴；∴（a﹣2）x2+2ax+2a﹣2＝0，
当a＝2时，x；
当a≠2时，则△＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0；
解得a2﹣6a+4≤0，∴3a≤3且a≠2；
∴实数a的取值范围为：[3，3]．
（3）设m（x）＝ln（3x﹣1）﹣x2∈M，则m（x0+1）＝m（x0）+m（1）；
∴ln[3（x0+1）﹣1]﹣（x0+1）2＝ln（3x0﹣1）﹣x02+ln2﹣1；
∴ln2x0；
∴；∴2；
由于y＝2e x（x＞）的图象与y为图象交于点（t，2e t），
所以2e t；
令t＝2x0，则2；
即存在x0，使得则m（x0+1）＝m（x0）+m（1）；
故m（x）＝ln（3x﹣1）﹣x2是M中的元素，此时x0．。