山西省康杰中学高二数学上学期期中试题 理

山西省康杰中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理
一、选择题：（本大题共12小题. 每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线30x y a +-=与0126=++y x 的位置关系是
A.相交
B. 平行
C. 重合
D.平行或重合
2．三个平面将空间最多能分成 A. 6部分
B. 7部分
C. 8部分
D. 9部分
3．已知点)1,2,3(-M ，)1,2,3(N ，则直线MN 平行于 A. y 轴
B. z 轴
C. x 轴
D. xoz 坐标平面
4．圆4)2()2(:2
2
1=-++y x C 和圆16)5()2(:2
2
2=-+-y x C 的位置关系是
A. 外离
B. 相交
C. 内切
D. 外切
5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.12
B.18
C.27
D.54
6．光线从点)3,2(-A 射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射， 这时反射光线恰好过点)32,1(C ，则光线BC 所在直线的 倾斜角为
A.
6
π B.
3
π C.
3
2π D.
6
5π 7．在下列关于点P ，直线l 、m 与平面α、β的命题中,正确的是
A. 若m α⊥,l m ⊥，则l ∥α
B. 若αβ⊥，m =⋂βα，l P P ∈∈,α，且l m ⊥，则l β⊥
C. 若l 、m 是异面直线，m
α, m ∥β, l β, l ∥α,则α∥β.
4
1
4 3
正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
第5题图
1 D 1
D. 若αβ⊥，且l β⊥,l m ⊥，则m α⊥
8．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点， 则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为
A.
2
1 B.
2
3 C.
2
2 D.
3
3 9．已知B A ,是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且PB PA =，若直线PA 的方程为
012=+-y x ，则直线PB 的方程是
A.240x y ++=
B. 270x y +-=
C.042=+-y x
D. 072=-+y x
10．如图所示，平面四边形ABCD 中，21====BD CD AD AB ，，CD BD ⊥，将
其沿对角线BD 折成四面体BCD A -，使BCD ABD 平面平面⊥，则下列说法中不正确．．．的是
A. ABD ACD 平面平面⊥
B. CD AB ⊥
C. ACD ABC 平面平面⊥
D. ABC AD 平面⊥
11．若曲线02:2
2
1=-+x y x C 与曲线0)(:2=--m mx y y C 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A ． )3
3
,33(-
B ．]3
3,33[-
C ．)3
3
,0()0,33(Y -
D ． ),3
3
()33,(+∞-
-∞Y 12．四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且
ABCD PA 底面⊥，AB PA 2=，则四棱锥ABCD P -外接球的
C A
A
B
10题图 D
B
C
D C D
P
P
A
B
α
β
l
（第13题图）
表面积为
A. π24
B. π8
C. π6
D. π36
二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13．如图，P 是二面角βα--l 内的一点(,),P P αβ∉∉ PA α⊥于点A ，β⊥PB 于点B ，且0
35=∠APB ，则二面角βα--l 的大小是 .
14．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 必过定点的坐标是 .
15．如果实数y x ,满足1)2()2(2
2=-+-y x ，则2422++y x 的最小值为 .
16．下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是 .（将你认为正确的都填上）
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17．（本题满分10分）圆锥的底面半径为5cm ，高为10cm ，当它的内接圆柱的底面半径r 为何值时？此圆柱两底面积与侧面积之和S 有最大值.
18．（本题满分12分）如图，正方体1111D C B A ABCD -中，
EF 与异面直线D A AC 1,都垂直相交. 求证：1BD EF ∥.
19．（本题满分12分） △ABC 中，已知C (2，5)，A ∠的平分线所在的直线方程是y ＝x ，
BC 边上高线所在的直线方程是y ＝2x －1，试求顶点B 的坐标．
20．（本题满分12分）已知圆C 与x 轴相切，圆心C 在射线)0(03>=-x y x 上，直线
0=-y x 被圆C 截得的弦长为27
16题图
D 1
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
E F
（1）求圆C 标准方程;
(2)若点Q 在直线01:1=++y x l 上，经过点Q 直线2l 与圆C 相切于P 点，求QP 的最 小值.
21．（本题满分12分） 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱
ABC CC 底面⊥1，且侧棱和底面边长均为2，D 是BC 的中点
（1）求证：C C BB D AB 111平面平面⊥； （2）求证:11ADC B A 平面∥； (3)求直线A C 1与平面D AB 1所成角的正弦值.
22．（本题满分12分）已知点A 的坐标为)0,2
3
(，点B 在圆
7:22=+y x O 上运动，以点B 为一端点作线段BM ，使得点A 为线段BM 的中点.
（1）求线段BM 端点M 轨迹C 的方程；
（2）已知直线0=-+m y x 与轨迹C 相交于两点Q P ,，以PQ 为直径的圆经过坐标原点
O ，求实数m 的值.
高二数学（理科）答案
A
B
C
A 1
C 1
B 1
D
18.证明：如图所示，连接BD C B AB ,,11 因为D 1ABC DD 平面⊥，CD C AB A 平面⊂ 所以AC DD ⊥1
又因为AC D ⊥B ，D BD 1=I DD 所以11B BDD 平面⊥AC 所以1BD ⊥AC 同理可证C B 11BD ⊥ 又C C B 1=I AC
所以C AB 11BD 平面⊥ …………………………………………8分. 因为D A 1⊥EF ，又C B D A 11∥ 所以C B 1⊥EF
因为AC ⊥EF ，C C B 1=I AC 所以C AB 1EF 平面⊥
所以1BD EF ∥ ……………………………………………12分 19.解：依条件，由⎩
⎨⎧x y x y ＝1
－ 2 ＝ 解得A (1，1)．
因为A ∠的平分线所在的直线方程是y ＝x ，
所以点C (2，5)关于y ＝x 的对称点C'(5，2)在边AB 所在的直线上．
所以AB 边所在的直线方程为)1(1
51
21---=-x y 整理得
D 1
A
B C
D
A 1
B 1
C 1
E F
(第19题)
034=+-y x …………………………………6分 又BC 边上高线所在的直线方程是12-=x y
所以BC 边所在的直线的斜率为－
2
1． BC 边所在的直线的方程是5)2(2
1+--=x y
整理得0122=-+y x ……………………………………………10分 联立⎩⎨
⎧=-+=+-0
122034y x y x ，解得)25
,7(B ………………………………………12分
20.解：（1）因为圆心C 在射线)0(03>=-x y x 上，
设圆心坐标为 ),3,(a a 且0>a ， 圆心)3,(a a 到直线0=-y x 的距离为a a d 22
2=-=
又圆C 与x 轴相切，所以半径a r 3= 设弦AB 的中点为M ，则7=AM
在AMC Rt ∆中，得222)3()7()2(a a =+
解得1=a ，92
=r
故所求的
圆的方
程
是
9)3()1(22=-+-y x ………………………………6分
（2）如图，在QPC Rt ∆中，9)()()(222-=-=
QC CP QC QP ，
所以，当QC 最小时，QP 有最小值； 所以1l QC ⊥于Q 点时，2
2
52
1
31min =
++=QC 所以2
14
9)225(
2min =
-=
QP ………………………………………..12分 21.（1）证明：因为ABC CC 平面⊥1，又ABC AD 平面
⊂， 所以AD CC ⊥1
因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点， 所以AD BC ⊥，又C CC BC =1
I ， 所以C C BB AD 11平面⊥，
因为D AB AD 1平面⊂， 所以C C BB D AB 111平面平面⊥ ……………4分 （2）证明：如图，连接C A 1交1AC 于点O ，连接OD 由题得四边形11A ACC 为矩形，O 为C A 1的中点，又D 为BC 的中点，
所以OD B A ∥1
因为1ADC OD 平面⊂，11ADC B A 平面⊄
所以11ADC B A 平面∥ ………………………………………8分 (3)解法一、由（1）得D C B D AB 111平面平面⊥
(第20题)
Q
P
2l 1
l O
A
B
C A 1 C 1 B 1
D E
在平面D C B 11内过1C 作D B E C 11⊥于E
连接AE ,则AE C 1∠为直线A C 1与平面D AB 1所成角
在D B C 11∆中，
1111121
21CC C B E C D B ⨯=⨯ 所以5
4
52211111=
⨯=⨯=D B CC C B E C 在CA C Rt 1∆中，,21==CA CC 得221=A C 所以510
2
2154sin 111=
⨯==
∠A C E C AE C ……………………………12分 解法二、在CA C Rt 1∆中，,21==CA CC 得221=A C 因为1111DC B A ADB C V V --=，
设1C 点到平面D AB 1的距离为h
即AD S h S DC B D AB ⨯=⨯∆∆1113
1
31 因为2222
1
11=⨯⨯=∆DC B S ，3=AD ，21535211=⨯⨯=∆D AB S
所以5
5
4=h
设直线D C 1与平面D AB 1所成角为θ
所
以
5102
21554sin 1=⨯==
D C h θ……………………………………………………………
………12分
22.解：(1)设点),(y x M ，),(11y x B ,
由题得⎩⎨
⎧-=-=y y x
x 003
又点B 在圆7:2
2
=+y x O 上运动，即72
020=+y x 所以7)()3(2
2
=-+-y x ，即7)3(2
2
=+-y x
故线段BM 端点M 轨迹C 的方程是7)3(2
2
=+-y x ………………6分
（2）设),(),,(2211y x Q y x P ，则由方程组⎩⎨⎧=+-+=-+02602
2x y x m y x
消去y 得02)3(222
2
=+++-m x m x ，
由韦达定理得 ⎪⎪⎪⎪⎨⎧
>+-+=∆+=
⋅+=+0)2(8)3(42232
222121m m m x x m x x
………………………………………9分 因为以PQ 为直径的圆经过坐标原点O
所以OQ OP ⊥，所以0=⋅→
→OQ OP ，即02121=⋅+⋅y y x x
所以0)(2))((2
212121212121=++-⋅=--+⋅=⋅+⋅m x x m x x x m x m x x y y x x 即0)3(22
2=++-+m m m m
所以0232
=+-m m
解得：1=m 或2=m
经检验，这两个m 值均满足0>∆，所以1=m 或2=m ……………………..12分。