椭圆的参数方程教学课件

思考：
椭圆的参数方程中参的数意义与圆的参数方 程xyrrcsions(为参数)中参数的意义类似吗？
由图可以看出， 是参 点 M所 数对应的圆的
径OA(或OB)的旋转(称 角为M 点的离心)， 角不
是OM的旋转角，是 参半 数O 径M的旋转角。
椭圆参数方程的推导
从几何变换的角度看，
方程为 ____________________?
解：方程 x2 y2 4xcos 2ysin 3cos2 0 可以化为 (x2cos)2 (ysin)2 1 所以圆心的参数方程xy 为2sicnos(为参数)
化为普通方程x是 2 y2 1 4
3、求(定 2a,0点 )和椭 xy圆 abscions(为参)上 数各
x 100t
1、y

h
1 2
(t为参数，表示时) 间 gt2
2、设经过时t， 间动点的位置是 M(x, y), 则 x23t, y14t, 于是点M的轨迹的参数方程为

x 23t (以时间t为参数) y 14t
4、解:(1)2xy70,直线；
（2）y 2x2, x[1,1],以(1,2),(1,2) 为端点的一段抛物线；
M

o
B
x
A
1、当参数 变化时，动 P(3点 cos,2sin)所
确定的曲线必( 过B )
A、点 (2,3),
B、点 (3,0)
C、点 (1,3),
D、点 (0,)
2
它的焦距是多少？
25
2、已知圆的方程为 x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0, (为参数)，那么圆心的轨迹的普 通
并求出最小距 . 离
解：因为椭圆的参数方
程为

x y

3 2
cos s in

(为参数
)
所以可设点 M (3 cos ,2 sin )
由点到直线的距离公式 ，得到点 M到直线的距离
3 cos 4 sin 10
d 5
5(cos 3 sin 4 ) 10

5
5
5

1 5
5 cos(
0 ) 10
其中0满足cos0

3 5
,
sin
0

4 5
由三角函数性质知，当－0＝0时，d取最小值 5
此时3cos

3cos0

9 5
,2sin

2s)时，点M与直线 55
x 2y 10 0的距离取最小值 5。
思考： 与简单的线性规划问进题行类比，你能在实数
x, y满足x2 y2 1的前提下，求出z x 2y的 25 16
最大值和最小值吗？此由可以提出哪些类似的 问题？
设M(5cos,4sin)是椭圆上的一点，则
z 5cos 8sin 89cos( 0) cos( 0)[1,1]
的一个参数方程为xy
acos(为参数) bsin
这是中心在原点 O，焦点在x轴上的椭圆
的参数方程。
思考： 类比圆的参数方程中数参的意义
椭圆的参数方程中参数的意义
是什么？
y
A
M
B

o
x
设以ox为始边，OA为终边的角，点M的坐标
是(x, y)，那么点A的横坐标为x,点B的纵坐标为
y，由点A, B均在角的终边上，由三角函的数
定义有
x OAcos acos
y OBsin bsin
当半径OA绕点O旋转一周时，就得点 到M了 的轨迹，它的参数是 方程
x y
acos(为参数) bsin
这是中心在原O点 ，焦点在 x轴上的椭圆。
在椭圆的参数方 通程 常中 规， 定参 的数 范围是 [0,2)
通过伸缩变换

x




y


1 a 1 b
x, 则椭圆的方程
y;
x2 a2

y2 b2
1可以变成
x 2＋ y 2 1 .利用圆的参数方程

x y

cos sin

(
为参数
) 可以得到椭圆的参数
方程为
x a cos

y

b
sin

y
点连线的中点 。轨迹方程
解：设定点与椭圆上的点连线的中点为M (x, y)
则x y

2a
b sin 2
a cos
2

;
,
(为参数)
上述的方程消去参数，得 (x a)2 a2

y2 b2
1
4
4
例1、在椭圆x2 y2 1上求一点M， 94
使点M到直线x2y100的距离最小
cos( ) [1,1]
x 2 y [ 22 , 22 ]
4、P是椭圆 xy42c3ossin(为参数 )上一点，且
在第一象限O， P(O为原点 )的倾斜角为，则
3
点P的坐标为( B )
A 、 (2,3),
B 、 (45,41)5 55
C 、 (23, 3), D 、 (4,3)
5
5
小节： 椭圆的参数方程的形式 椭圆参数方程中参数的意义
z[ 89, 89]
练习、 P(x,设 y)是椭2x圆 23y212上的 一个动点 x2， y的求 取值范围。
解：椭圆的方程可化为 它的一个参数方程为
x 2 y 2 1, 64
x y

2
6 cos
sin

( 为参数，0



2
)
x 2 y 6 cos 4 sin 22 cos( )
解： OP 的倾斜角为
3

k OP
tan
3

3
又 k OP

y x

2 3 sin 4 cos

3 sin 2 cos
又 sin 2 cos 2 1, 且点 P 在第一象限
cos 5 , sin 2 5 从而有
5
5
x 4 cos 4 5 , y 2 3 sin 4 15
（3）x2 y2 4,双曲线；
5、(1)x t 2 3t 1,(t为参数) y t 1;
(2)
x y

a a
c os4 sin 4

(为参数)
二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程
由例4我们得到了椭圆ax22

y2 b2
1(a b 0)