2020年安徽省合肥市巢湖元山中学高二数学文月考试题含解析

2020年安徽省合肥市巢湖元山中学高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）
（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位
参考答案：
B
=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.
2. 点在曲线上移动，设曲线在点处切线的倾斜角是，则的取值范围是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
3. 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数
是
（）
A 1800
B 3600
C 4320
D 5040
参考答案：
B
略
4. 一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）
A. 真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C. 真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
参考答案：
C
略
5. 已知点P(6, y)在抛物线y2=2p x (p＞0)上，F为抛物线焦点，若|PF|=8, 则点F到抛物线准线的距离等于（）
A. 2
B.1
C. 4
D.8
参考答案：
C
略
6. 已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，?的值为( )
A．2 B．C．D．3
参考答案：
B
【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，
则P到圆心的距离最小即可，
由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，
设∠APB=α，则sin=，=
此时cosα=，?==．
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．
7. 可导函数的导函数为，且满足：①；，记
，，则的大小顺序为（）
A、B、C、D、
参考答案：
C
略
8. 下列说法正确的是（）
A．归纳推理，演绎推理都是合情合理B．合情推理得到的结论一定是正确的
C．归纳推理得到的结论一定是正确的
D．合情推理得到的结论不一定正确
参考答案：
D
【考点】F5：演绎推理的意义．
【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．
【解答】解：合情推理包含归纳推理和类比推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，
故选：D
9. 下列4个命题是真命题的是( )
①“若x2+y2=0，则x、y均为零”的逆命题
②“相似三角形的面积相等”的否命题
③“若A∩B=A，则A?B”的逆否命题
④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题．
A．①②B．②③C．①③D．③④
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．
【分析】①原命题的逆命题为“若x，y均为0，则x2+y2=0”，即可判断出正误；
②原命题的否命题为“不相似三角形的面积不相等”，容易判断出正误；
③利用集合的运算性质及其之间的关系可知是真命题，因此其逆否命题也是真命题；
④不正确，例如：22不那个被3整除，因此其逆否命题也不正确．
【解答】解：①“若x2+y2=0，则x、y均为零”的逆命题为“若x，y均为0，则x2+y2=0”，正确；
②“相似三角形的面积相等”的否命题为“不相似三角形的面积不相等”，不正确；
③“若A∩B=A，则A?B”是真命题，因此其逆否命题也是真命题；
④“末位数字不是零的数可被3整除”不正确，例如：22不能被3整除，因此其逆否命题也不正确．综上可得：只有①③正确．
故选：C ．
【点评】本题考查了四种命题之间的关系及其判定方法，考查了推理能力，属于中档题． 10. 已知圆x 2+y 2+2x ﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）
A ．﹣2
B ．﹣4
C ．﹣6
D ．﹣8
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a 的值． 【解答】解：圆x 2
+y 2
+2x ﹣2y+a=0 即 （x+1）2
+（y ﹣1）2
=2﹣a ，
故弦心距d==． 再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4，
故选：B ．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数在[1,e ]上有两个零点，则a 的取值范围是______________
参考答案：
【分析】
求出函数的导数f ′（x ），x ∈[1，e ]．通过当a ≥﹣1时，当a ≤﹣e 时，当﹣e ＜a ＜﹣1时，判断导函数的符号，得到函数的单调性然后转化求解a 的范围即可．
【详解】∵f ′（x ），x ∈[1，e ]．
当a ≥﹣1时，f ′（x ）≥0，f （x ）在[1，e ]上单调递增，不合题意． 当a ≤﹣e 时，f ′（x ）≤0，f （x ）在[1，e ]上单调递减，也不合题意．
当﹣e ＜a ＜﹣1时，则x ∈[1，﹣a ）时，f ′（x ）＜0，f （x ）[1，﹣a ）上单调递减，
x ∈（﹣a ，e ]时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（﹣a ，e ]上单调递增，又f （1）＝0， 所以f （x ）在x ∈[1，e ]上有两个零点，
只需f （e ）＝1a ≥0即可，解得a ＜﹣1．
综上，a 的取值范围是：[，﹣1）．
故答案为．
【点睛】本题考查函数的导数的应用，导函数的符号以及函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用．
12. 若
，则
．
参考答案：
－1
13. 如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为 ．
参考答案：
【考点】点、线、面间的距离计算． 【专题】压轴题．
【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．观察点的
位置可知：点B 1到平面ABC 1的距离就等于点C 到平面ABC 1的距离，取AB 得中点M ，连接CM ，C 1M ，过点C 作CD⊥C 1M ，垂足为D ，则平面ABC 1⊥平面C 1CM ，所以CD⊥平面C 1AB ，故CD 的长度即为点C 到平面ABC 1的距离，在Rt△C 1CM 中，利用等面积法即可求出CD 的长度．
【解答】解：如图所示，取AB 得中点M ，连接CM ，C 1M ，过点C 作CD⊥C 1M ，垂足为D ∵C 1A=C 1B ，M 为AB 中点， ∴C 1M⊥AB
∵CA=CB，M 为AB 中点， ∴CM⊥AB 又∵C 1M∩CM=M， ∴AB⊥平面C 1CM 又∵AB?平面ABC 1，
∴平面ABC 1⊥平面C 1CM ，平面ABC 1∩平面C 1CM=C 1M ，CD⊥C 1M ， ∴CD⊥平面C 1AB ，
∴CD 的长度即为点C 到平面ABC 1的距离，即点B 1到平面ABC 1的距离 在Rt△C 1CM 中，C 1C=1，CM=，C 1M=
∴CD=，即点B 1到平面ABC 1的距离为
故答案为：
【点评】本小题主要考查棱柱，线面关系、点到平面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．
14. 如果a ＞0，那么a++2
的最小值是 ．
参考答案：
4
【考点】基本不等式．
【专题】转化思想；综合法；不等式． 【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵a＞0， ∴a++2≥2
+2=4，当且仅当a=1时取等号．
∴a++2的最小值是4． 故答案为：4．
【点评】考查了基本不等式的性质，属于基础题．
15. .
参考答案： 略
16. 如果函数是定义在上的奇函数, 则的值
为
参考答案：
-1
17. 已知曲线
在点(1,1)处的切线方程是_____________________
参考答案：
2x-y-1=0 【分析】
求出函数的导数，计算得
，即可求出切线方程．
【详解】由题意，函数
，则
，且
，
故切线方程是：y-1=2（x-1），即y=2x-1， 故答案为：y=2x-1． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义，合理利用导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知△ABC的顶点A固定，其对边BC为定长2a，当BC沿一定直线L移动且点A到直线L的距离为b时，求△ABC的外心M的轨迹方程。

参考答案：
解析：建立如图所示的直角坐标系
设A（0，b）,B(x0-a,0),C(x0+a,0) ,外心M(x,y)-----------（2分）
线段BC的中点P（x0，0），AC的中点Q（，）
,,
,------------------------（6分）
有，
则有:x2 -a2-2by+b2=0 ---------------------------（4分）
19. （本小题满分14分）.
设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
参考答案：
解: (1)解∵F(1,0)，∴直线L的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝1. ∴|AB|＝
＝·
＝·＝8.
(2)证明设直线L的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·是一个定值．
20. 已知圆C：
（1）若不过原点的直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）从圆C外一点向圆引一条切线，切点为为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.
参考答案：
略
21. 给定椭圆C： +=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C 的离心率为，且经过点（0，1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1， =，由此能求出a，b．
（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．设直线l的方程为y=kx+m，由
，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m．
【解答】（本小题满分16分）
解：（1）记椭圆C的半焦距为c．
由题意，得b=1， =，c2=a2+b2，
解得a=2，b=1．…
（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．
显然直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0．…
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
故方程组（*）有且只有一组解．
由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．
从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（ 4m2﹣4）=0．化简，得m2=1+4k2．①…
因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2，
所以圆心到直线l的距离d==．
即=．②…
由①②，解得k2=2，m2=9．
因为m＞0，所以m=3．…
22. 给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程
有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．参考答案：
解：对任意实数都有恒成立
；
关于的方程有实数根；
如果正确，且不正确，有；
如果正确，且不正确，有
． www.k@s@5@
所以实数的取值范围为
略。