2018学年第一学期建兰八年级期中考试试卷及详解

2018学年第一学期阶段性质量检测
上城区建兰惠兴期中考试联考试卷
考生须知：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分。

满分120分，考试时间100分钟。

2.答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、学号、姓名、试场号、座位号。

3.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

数学试题卷
一．仔细选一选（每题3分，共30分）
1．剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）
A．B．C．D
2．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（）
A．B．C．D．
3.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）
A．12 B．16 B．16或20 D．20
4．一元一次不等式2x+1≥3的解在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
5．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点
6. 下列命题：①若0=ab ,则P （b a ,）在坐标原点；②在平面直角坐标系中，
若()2-1-，A ，且AB 平行于x 轴，AB =5,则B 点的坐标（4，-2）；③在直角坐
标系中，点P (1,2)关于原点对称的点的坐标（-1，-2）；④若关于x 的一元一
次不等式组⎩⎨⎧->->-2
210x x a x 无解，则a 的取值范围是1>a ，其中真命题的个数
为（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，P 点是BD
的中点，若AD=8，则CP 的长为（ ）
A ．3
B ．3.5
C ．4
D ．4.5
8．如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一
个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n 个等腰直角三角形的面积为（ ）
A ．2n ﹣3
B ．2n ﹣2
C ．2n ﹣1
D ．2n
9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD 是∠BAC 的平分线．若
P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是（ ）
A ．56
B ．2
C ．512
D ．5
10．如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，点D 是△ABC 内一点，若AC=AD ，∠
CAD=30°，连接BD ，则∠ADB 的度数为（ ）
A ．120°
B ．135°
C ．150°
D ．165°
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．三角形的两边长分别为5和8，下列长度：①14；②10；③3；④2.其中，
可以作为第三边的长是 。

12．△ABC 中∠A =24°，且∠C=46°，与∠B 相邻的外角的度数是 ．
13．将点P （﹣2，y ）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，然后把点关
于x 轴对称得到点Q （x ，﹣1），则x +y= ．
14．如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，点D 为BC 上一点，BD ：CD=2：3，
AD 、BE 交于点O ，若S △AOE ﹣S △BOD =1，则△ABC 的面积为 ．
15．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该
不等式组的关联方程．若方程9﹣x=2x ，3+x=2（x +）都是关于x 的不等式组的关联方程，试求出m 的取值范围 ．
16．已知△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交直线AC 于点
E ，若∠EBC=42°， 则∠BAC 的度数为 ．
三．解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步
骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17.解下列不等式（组）.
（1）27614
53-+≥-x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+312
2423x x x x ）（并写出不等式组的整数解
18.如图，已知，在ABC ∆中，求作BED ∆，使点D 落在AC 上，点E 落在BC 上，
且BC BE ABC CBD 2
1,21=∠=∠（不写做法，保留作图痕迹）
19．如图，在平面直角坐标系中，A （﹣1，5），B （﹣1，0），C （﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC 关于直线m （直线m 上各点的横坐标都为﹣2）对称的
图形△A 1B 1C 1；
（2）线段BC 上有一点P （﹣，），直接写出点P 关于直线m 对称的点的坐
标；
（3）线段BC 上有一点M （b a ,），点M 关于直线m 对称的点N （d c ,），请直
接写出c a ,的关系： ；d b ,的关系： .
20.已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG ⊥CE于G，CG=EG.
（1）求证：CD=AE．
（2）若2
AD，求AB D
BD
=CD
,=
∆的面积.
21.杭州某游乐园门票价格为每人100元，20元以上（含20人）的团体票8折优
惠.
（1）建兰中学初二年级一等奖学金获得者共有18人，学校奖励他们去游玩，你认为学校买18张门票，还是多买2张（买20张）购团体票更合算？
（2）如果获胜的学生不足20人，那么人数达到多少人时购买团体票比普通票更合算？
22．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股
分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图②，在直角△ABC中，AC=BC，点M、N在斜边AB上，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点（提示：把△ACM绕点C逆时针旋转90°）．
（3）在（2）的条件下，若∠BCN=15°，BN=1，求AN的长．
23．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD=BC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AG=3,CG=1，求证：E点为BC中点；（3）当E点在射线CB上，连接BF与直线AC交于G点，若BC=4,BE=3，
则=（直接写出结果）.
2018学年第一学期阶段性质量检测卷
一．仔细选一选（每题3分，共30分）
1．剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、是轴对称图形，故正确．
故选：D．
2．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，
所以画法正确的是B选项．
故选：B．
3.一个等腰三角形两边长分别为4，8，则它的周长为（）
A．12 B．16 B．16或20 D．20
【解答】解：①当4是等腰三角形的腰时，4+4=8，不符合三角形的三边关系；
②当8是等腰三角形的腰时，8﹣8＜4＜8+8，符合三角形三边关系，所以此等腰
三角形的周长=8+8+4=20．
故选D
4．一元一次不等式2x+1≥3的解在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
【解答】解：2x +1≥3，2x ≥2，x ≥1，
故选：A ．
5．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，
网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点
【解答】解：当以点B 为原点时，
A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），
则点A 和点C 关于y 轴对称，
符合条件，
故选：B ．
6.下列命题：①若0=ab ,则P （b a ,）在坐标原点；②在平面直角坐标系中，若()2-1-，A ，且AB 平行于x 轴，AB =5,则B 点的坐标（4，-2）；③在直角坐标系中，点P (1,2)关于原点对称的点的坐标（-1，-2）；④若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧->->-2
210x x a x 无解，则a 的取值范围是1>a ，其中真命题的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解答】解：选B
7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，P 点是BD
的中点，若AD=8，则CP 的长为（ ）
A ．3
B ．3.5
C ．4
D ．4.5
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBA=30°，
∴BD=AD，
∵AD=6，
∴BD=6，
∵P点是BD的中点，
∴CP=BD=4，
故选：C．
8．如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n个等腰直角三角形的面积为（）
A．2n﹣3B．2n﹣2C．2n﹣1D．2n
【解答】解：第①个直角三角形的边长为1=（）0，
第②个直角三角形的边长为=（）1，
第③个直角三角形的边长为2=（）2，
第④个直角三角形的边长为2=（）3，
…
第n个直角三角形的边长为（）n﹣1，
面积为：×（）n﹣1×（）n﹣1=2n﹣2．
故选：B．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）
A ．56
B ．2
C ．512
D ．5
【解答】解：如图，过点C 作CM ⊥AB 交AB 于点M ，交AD 于点P ，过点P
作PQ ⊥AC 于点Q ，
∵AD 是∠BAC 的平分线．
∴PQ=PM ，这时PC +PQ 有最小值，即CM 的长度，
∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，
∴AB==2243+=5．
∵S △ABC =AB•CM=AC•BC ，
∴CM==
543⨯=5
12， 即PC +PQ 的最小值为512． 故选：C ．
10．如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，点D 是△ABC 内一点，若AC=AD ，∠
CAD=30°，连接BD ，则∠ADB 的度数为（ ）
A ．120°
B ．135°
C ．150°
D ．165°
【解答】解：∵AC=BC ，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AC=AD，
∴AD=BC，
∵∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∠DAB=45°﹣30°=15°，
∴∠DCB=90°﹣75°=15°，
∴∠EAD=∠DCB，
在AB上取一点E，使AE=CD，连接DE，
在△CDB和△AED中，
∵，
∴△CDB≌△AED（SAS），
∴∠ADE=∠CBD，ED=BD，
∴∠DEB=∠DBE，
设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，
∵∠ABC=45°，
∴x+15+x=45，
x=15°，
∴∠DCB=∠DBC=15°，
∴∠BDC=180°﹣15°﹣15°=150°，
∴∠ADB=360°﹣75°﹣150°=135°；
故选：B．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．三角形的两边长分别为5和8，下列长度：①14；②10；③3；④2.其中，可以作为第三边的长是②.
12．△ABC中∠A=24°，且∠C=46°，与∠B相邻的外角的度数是70°．
13．将点P （﹣2，y ）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，然后把点关
于x 轴对称得到点Q （x ，﹣1），则x +y= 1 ．
【解答】解：∵点P （﹣2，y ）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位后得
到点Q （x ，﹣1），
∴﹣2﹣2=x ，y ﹣4=1，
解得x=﹣4，y=5，
所以，x +y=﹣4+5=1．
故答案为：1．
14．如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，点D 为BC 上一点，BD ：CD=2：3，
AD 、BE 交于点O ，若S △AOE ﹣S △BOD =1，则△ABC 的面积为 10 ．
【解答】解：∵点E 为AC 的中点，
∴S △ABE =S △ABC ．
∵BD ：CD=2：3，
∴S △ABD =S △ABC ，
∵S △AOE ﹣S △BOD =1，
∴S △ABE =S △ABC ﹣S △ABC =1，解得S △ABC =10．
故答案为：10．
15．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该
不等式组的关联方程．若方程9﹣x=2x ，3+x=2（x +）都是关于x 的不等式组的关联方程，试求出m 的取值范围．
【解答】解：解方程9﹣x=2x 得x=3，
解方程3+x=2（x +）得x=2，
解不等式组得m ＜x ≤m +2，
∵方程9﹣x=2x，3+x=2（x +）都是关于x 的不等式组的关联方程，∴1≤m＜2．
16．已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，若∠EBC=42°，则∠BAC的度数为32°或152°或88°．
【解答】解：如图1，∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∵DE垂直且平分AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A
，
∴∠EBC+
∠ACB=∠AEB，
42°+（180°﹣∠A）=180°﹣2∠A，
解得∠BAC=32°．
如图2，同理可得∠BAC=152°，
如图3，同理可得∠BAC=88°，
综上所述∠BAC=32°或152°或88°，
故答案为：32°或152°或88°．
三．解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17.解下列不等式（组）.
（1）
2
7
6
1
4
5
3
-
+
≥
-
x
x
（2）
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-
≥
+
>
+
3
1
2
2
4
2
3
x
x
x
x）
（
并写出不等式组的整数解【解答】(1)5
-(2)-2、-1、0、1、2、3
18.略
19．如图，在平面直角坐标系中，A （﹣1，5），B （﹣1，0），C （﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC 关于直线m （直线m 上各点的横坐标都为﹣2）对称的
图形△A 1B 1C 1；
（2）线段BC 上有一点P （﹣，），直接写出点P 关于直线m 对称的点的坐
标；
（3）线段BC 上有一点M （b a ,），点M 关于直线m 对称的点N （d c ,），请直
接写出c a ,的关系： ；d b ,的关系： .
【解答】解：（1）如图所示，
（2）线段BC 上有一点P （﹣，），点P 关于直线m 对称的点的坐标是（﹣，
），
（3）线段BC 上有一点M （a ，b ），点M 关于直线m 对称的点的坐标是（﹣4
﹣a ，b ）．c a ,的关系： 22
-=+c a ；d b ,的关系： d b = .
20．已知，如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，
DG ⊥CE 于G ，CG=EG ，
（1）求证：CD=AE ．
（2）若2,==CD BD AD ,求AB D ∆的面积
【解答】证明：∵DG ⊥CE ，CG=EG ，
∴DE=DC ，
∵AD ⊥BC ，E 是AB 的中点，
∴DE=AB=AE ，
∴CD=AE ．
（2）∵CD=AE=2
∴AB=4
即AD=BD=22
∴4=∆ABD S
21.某杭州乐园门票价格为每人100元，20元以上（含20人）的团体票8折优惠
（1）建兰中学初二年级一等奖学金获得者共有18人，学校奖励他们去游玩，你认为学校买18张门票，还是多买2张（买20张）购团体票更合算？
（2）如果获胜的学生不足20人，那么人数达到多少人时购买团体票比普通票更合算？
（1）（元）
（元）16008.010020180010018=⨯⨯=⨯ 购团体票更加划算
（2）设人数为x 人（0<x<20）
100x > 20⨯100⨯0.8
X >16
人数达到17人时购买团体票比普通票更划算
22．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图②，在直角△ABC中，AC=BC，点M、N在斜边AB上，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点（提示：把△ACM绕点C逆时针旋转90°）．
（3）在（2）的条件下，若∠BCN=15°，BN=1，求AN的长．
【解答】（1）解：①当MN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN===；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN===，
综上所述：BN=或；
（2）①证明：连接M′N，
∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，
∴∠BCN+∠ACM=45°，
∵∠BCM'=∠A CM，
∴∠N CM'=∠BCM′+∠BCN=∠ACM+∠BCN=45°=∠MCN，
在△MCN和△M′CN中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=CN CN NCM MCN CM CM ''
，
∴△MCN ≌△M'CM （SAS ），
∴MN'=MN ，
∵∠CAN′=∠CAB=45°，
∴∠MAN′=90，BM ′2+BN 2=M′N 2，即AM 2+BN 2=MN 2，
∴点M 、N 是线段AB 的勾股分割点；
（3）如图，．△ACM 绕点C 旋转90°至CBM ’,连接M ’
N
∵∠BCN=15°
∴∠ACM=30°
∵∠CAM=45°
∴∠CMN=∠CM ’N=∠CAM+∠ACM=75°
∴∠CNM ’=180°-∠CM ’N-∠NCM ’=60°
∵∠CNB=∠MCN+∠ACM+∠CAM=120°
∴∠M ’NB=∠CNB-∠CNM ’=60°
∵BN=1．
∴BM ’=AM=
又MN=M ’N=2
∴AN=AM +MN=2+． 23．如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC ，E 点为射线CB 上一动点，连
接AE ，作AF ⊥AE 且AF=AE ．
（1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：EC +CD=DF ；
（2）如图2，连接BF 交AC 于G 点，若=3，求证：E 点为BC 中点；
（3）当E 点在射线CB 上，连接BF 与直线AC 交于G 点，若=，则=
或（直接写出结果）
【解答】证明：（1）如图1，∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠F=90°，∴∠CAE=∠F，
在△ADF和△ECA中，
，
∴△ADF≌△ECA（AAS），
∴AD=CD，FD=AC，
∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；
证明：（2）如图2，过F点作FD⊥AC交AC于D点，
∵△ADF≌△ECA，
∴FD=AC=BC，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴GD=CG，
∵=3，
∴=2，
∴=，
∵AD=CE，AC=BC
∴=，
∴E点为BC中点；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，如图3，∵=，BC=AC，CE=CB+BE，
∴=，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE，
∴=，
∴=，
∴==，
∴=．
同理，当点E在线段BC上时，=．
故答案为：或．。