05高一数学期中试卷

2022学年第一学期
杭州二中高一年级期中考试数学试卷
命题：叶加群 〔2022/11〕
一．选择题 〔本大题共12小题, 每题3分, 共36分. 在每题给出的四个选项中, 有且只有一项为哪一项符合题目要求的.请将答案填写在答题卷中. 〕
1. 集合{}2,1,0=A ，{}5,4,0=B ，{}5,4,3,2,1,0,1,2,3---=U ，那么()U A B ＝〔 〕
(A){}1,2(B)A (C){0} (D){4,5}
2. 集合{}{}
4),(,2),(=-==+=y x y x N y x y x M ，那么集合N M 为( ) (A)1,3-==y x (B))1,3(- (C) {}1,3- (D) {})1,3(-
3. 集合{}{}
B B A mx x B A ==+=-= 若,01,2,1，那么实数m 的取值满足集合( )
(A){}2,1-(B)⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-21,1 (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-
1,0,21 (D) ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-21,1
4. 函数)1( )1(2
≤-=x x y 的反函数是〔 〕 (A))0( 1≥+=x x y (B) )0( 1≥-=x x y (C))1( 1≤+
=x x y (D) )1( 1≤-=x x y
5. 集合{1,0,1}A =-，集合{|,,,0}a b ab
B y y a b R ab a b ab
==
++∈≠且，那么,A B 的关系为 〔 〕 (A)A B ⊆(B) A B ⊇(C)A B = (D){1}A B =-
6. 假设21:>+x p 和04
31
:
2>-+x x q ，那么p ⌝是q ⌝〔 〕条件.
(A)充分不必要 (B) 必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要 7. 函数26x x y --=
的单调增区间是 〔 〕
(A) 1(,]2-∞-
(B) 1[,)2
-+∞
(C) 1[3,]2
--
(D) 1[,2]2
-
8. 函数b x y +=
2
1
的图像与函数5-=ax y 的图像关于x y =对称,那么b a +的值为( )
(A)
49 (B) 49- (C) 2
9
- (D) 29 9. 假设函数21(1)2
x f x x -+=
+，那么1
(0)f -的值为〔 〕 (A)
32 (B) 12 (C) 12-(D)52
10. 设二次函数2
()(0)f x x x a a =++>，假设()0f m <，那么有〔 〕 (A) (1)0f m +>(B) (1)0f m +<(C) (1)0f m +≥ (D) (1)f m +的符号不定
11. 假设函数()f x 的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，那么(2)f x +的定义域和值域分别是〔 〕 (A) [0,1],[1,2]，(B) [2,3],[3,4](C) [2,1],[1,2]--(D) [1,2],[3,4]-
12. 函数x x y 22
+=在闭区间],[b a 上的值域为]3,1[-,那么满足题意的有序实数对),(b a 在
坐标平面内所对应点组成图形为( )
共
2|x )y f 15. 方程012
=-++m mx x 有一正根和一负根，且负根的绝对值大，那么实数m 的取值范围
是______________________
16. 以下四个命题〔1〕“假设0=xy ，那么00==y x 且〞的逆否命题；〔2〕“正方形是菱形〞
的否命题；〔3〕“假设b a bc ac >>则,2
2
〞的逆命题；〔4〕“假设2>m ，那么不等式
022>+-m x x 的解集为R 〞,其中真命题为_____________________ .
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杭州二中高一年级期中考试数学答题卷
.
(A)
(B) (C) (D)
13.. 14.. 15.. 16..
三．解答题：本大题共5小题，48分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 〔本小题总分值8分〕假设函数()y f x =是一次函数，且有[()]43f f x x =-，求函数()y f x =的解析式. 18. 〔本小题总分值8分〕
集合{}{}
.,0))(1(,0)1)(2(的范围求且a B A a x ax x B x x x A ⊆>+-=≤++= 19. 〔本小题总分值10分〕 设P : 函数(21)y a x b =++在实数集上是减函数；Q : 不等式|1|||x x a -->恒成立.如果P 和Q 有且仅有一个正确, 求a 的取值范围. 20. (本小题总分值10分)
如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒
，AC BC ==一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB 平行移动到位置Ⅱ停止，假设移动的距离为x ，正方形和ABC ∆的公共局部的面积为()f x ，试求出()f x 的解析式，并求出最大值.
21. (本小题总分值12分)函数)(x f 对于任意,m n R ∈，
都有()()()1f m n f m f n +=+-，并且当0x >时
()1f x >.
（1） 求证：函数)(x f 在R 上为增函数； （2） 假设(3)4f =，解不等式2
(5)2f a a +-<. 附加题：〔此题共5分，计入卷面总分，但总分值不超过100分〕
设函数2
()()f x ax bx c a b c =++>>满足(1)0,()f g x ax b ==+．
设,A B 是()f x 与()g x 的图象的两个交点，1AA 垂直x 轴于点1A ，1BB 垂直x 轴于点1B ，求线段11||A B 长的取值范围．
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A
B
. 13.(2,4)
(4,)+∞. 14.(1,2)-.
15.{}
10<<m m . 16.〔4〕.
三．解答题：本大题共5小题，48分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值8分〕假设函数()y f x =是一次函数，且有[()]43f f x x =-，求函数
()y f x =的解析式.
解：∵函数()y f x =是一次函数，∴设()(0)f x ax b a =+≠，
那么2
[()]()f f x a ax b b a x ab b =++=++，
∵[()]43f f x x =-，∴243
a a
b b ⎧=⎨+=-⎩，解得22
13a a b b ==-⎧⎧⎨⎨
=-=⎩⎩或， ∴()21()23f x x f x x =-=-+或 18.〔本小题总分值8分〕
集合{}{}
.,0))(1(,0)1)(2(的范围求且a B A a x ax x B x x x A ⊆>+-=≤++= 解: {}
12-≤≤-=x x A
〔1〕0=a 时,{}
0<=x x B 满足B A ⊆;
〔2〕0>a 时,⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-<>=a x a x x B 或1∵B A ⊆∴⎩⎨
⎧>->-01a a 10<<⇒a 〔3〕0<a 时,⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-<<=a x a x B 1∵B A ⊆∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<->--<0
121
a a a 021<<-⇒a
综合:〔1〕〔2〕〔3〕可知: a 的取值范围是:⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<<-
121a a 19.〔本小题总分值10分〕 设P : 函数(21)y a x b =++在实数集上是减函数；Q : 不等式
|1|||x x a -->恒成立.如果P 和Q 有且仅有一个正确, 求a 的取值范围.
解: P: 函数(21)y a x b =++在实数集上是减函数12
a ⇔<-
Q: 不等式|1|||x x a -->恒成立()|1|||f x x x ⇔=--的最小值a >
而1, 1()|1|||12,011, 0x f x x x x x x -≥⎧⎪
=--=-<<⎨⎪≤⎩
, 故min ()1f x =-, ∴1a <-
(1)假设P 正确Q 不正确, 那么111221a a a ⎧
<-
⎪⇒-≤<-⎨⎪≥-⎩
; (2)假设P 不正确Q 正确, 那么
121
a a a ⎧
≥-⎪
⇒∈∅⎨
⎪<-⎩所以a 的取值范围为1[1,)2-- 20.(本小题总分值10分)
如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒
，AC BC ==一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB 平行移动到位置Ⅱ停止，假设移动的距离为x ，正方形和ABC ∆的公共局部的面积为()f x ，试求出()f x 的解析式，并求出最大值.
解：由题意⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧------=2
222
)]4(2[2
1)4(21)2(21421)(x x x x x f ]6,4(]4,2(]2,0[∈∈∈x x x
当4x =时，)(x f 的最大值为3.
21. (本小题总分值12分)函数)(x f 对于任意,m n R ∈，都有()()()1f m n f m f n +=+-，并且当0x >时()1f x >.
（3） 求证：函数)(x f 在R 上为增函数； （4） 假设(3)4f =，解不等式2
(5)2f a a +-<.
〔1〕证明：设12,x x R ∈，且12x x <，那么210x x ->，那么21()1f x x ->
A
B
∵函数)(x f 对于任意,m n R ∈，都有()()()1f m n f m f n +=+-成立
∴令0m n ==，有(00)(0)(0)1f f f +=+-，即(0)1f =，再令,m x n x ==-，那么有
()()()1f x x f x f x -=+--，即(0)()()1f f x f x =+--，∴()2()f x f x -=-，
∴11()2()f x f x -=-
而212121()()()1()2()11f x x f x f x f x f x -=+--=+-->，即21()()0f x f x ->，即
21()()f x f x >，∴函数)(x f 在R 上为增函数；
(2)∵(3)(12)(1)(2)1(1)(1)(1)23(1)24f f f f f f f f =+=+-=++-=-= ∴(1)2f =.∴2
(5)2f a a +-<，即为2
(5)(1)f a a f +-<，由〔1〕知，函数)(x f 在
R 上为增函数，251a a +-<，即260a a +-<，∴32a -<<
∴不等式2
(5)2f a a +-<的解集是{|32}a a -<< 附加题：〔此题共5分，计入卷面总分，但总分值不超过100分〕
设函数2()()f x ax bx c a b c =++>>满足(1)0,()f g x ax b ==+．
设,A B 是()f x 与()g x 的图象的两个交点，1AA 垂直x 轴且交于点1A ，1BB 垂直x 轴且交于点
1B ，求线段11||A B 长的取值范围．
解：1112||||||A B x x a =-=，而0,a b c c a b ++=⇒-=+，故
11||A B ==令b t a =， 而20c a b b a ab a a =--<⇒-<<⇒>，
11
,1,2,,122b b b a b a b t a a a ⎛⎫>∴<-<∴>-⇒=∈- ⎪⎝⎭，故113||,2A B ⎛∈ ⎝．。