2015高考数学一轮课件：第 3篇 第3节 三角函数的图象与性质

2π
π
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1．下列说法正确的是( ) A．函数y＝cos x在第一象限内是减函数 B．函数y＝tan x在定义域内是增函数 C．函数y＝sin xcos x是R上的奇函数 D．所有周期函数都有最小正周期
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解析：角α＝3π，β＝136π都是第一象限角， 且α＜β， 但cos α＝12＜ 23＝cos β，故选项A错； α＝3π，β＝54π，α＜β，但tan α＞tan β，故选项B错； 常数函数f(x)＝c是周期为任意非零实数的周期函数， 它没有最小正周期，故选项D错；
三角函数的单调性
[例2] 已知f(x)＝sin x＋sin 2π－x ，x∈[0，π]，求f(x) 的单调递增区间．
[思维导引] 先将函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再 求函数的单调区间．
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[解] f(x)＝sin x＋sin2π－x ＝sin x＋cos x ＝ 2sinx＋4π. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤2π＋2kπ，k∈Z， 得－34π＋2kπ≤x≤π4＋2kπ，k∈Z， 又x∈[0，π]， ∴f(x)的单调递增区间为0，π4.
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[解析] (1)要使函数有意义，必须有sin x－cos x≥0， 即sin x≥cos x，同一坐标系中作出y＝sin x，y＝cos x， x∈[0,2π]的图象如图所示．
结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义 域为x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
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设f(x)＝sin x·cos x， 因为f(－x)＝sin(－x)·cos(－x) ＝－sin xcos x ＝－f(x)， 所以f(x)＝sin x·cos x是R上的奇函数． 故选C. 答案：C
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∴当sin x＝14时，ymin＝78， 当sin x＝－12或sin x＝1时，ymax＝2.
[答案] (1)x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z 7
(2)8 2
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函数 y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域 值域
R _[_－___1_,_1_]___
R _[_－___1_,_1__]_
xx≠π2＋kπ，k∈Z R
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函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
π 2
＋
2kπ≤ωx＋φ≤32π＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．
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② 若 A ＞ 0 ， ω<0 ， 则 利 用 诱 导 公 式 先 将 ω 的 符 号 化 为 正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求 解．
[解析] (1)∵周期为π， ∴ω＝2，排除选项D. 图象关于x＝3π对称， 即函数在x＝3π处取得最值，排除选项C. 又x∈－6π，π3， 2x－6π∈－π2，2π， 则函数y＝sin2x－6π在－π6，3π上为增函数． 故选A.
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单
在2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z)上单调递增；在
在[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)上单调递增
在kπ－π2， kπ＋π2
调
性
2kπ＋π2，2kπ＋32π(k
在[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上单调递减
(k∈Z)上 单调递增
∈Z)上单调递减；
最
x＝2_k_π_＋__π2_(_k_∈__Z_)_时， ymax＝1；
[例 3] (1)(2014 安徽安庆模拟)同时具有性质“周期为
π，图象关于直线 x＝π3对称，在－6π，π3上是增函数”的函数
是( )
A．y＝sin2x－π6
B．y＝cos2x＋π3
C．y＝cos2x－π6
D．y＝sin2x＋6π
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x※cos
x＝sin cos
xsin xsin
x≤cos x＞cos
x， x，
由y＝sin x与y＝cos x的图象知
函数值域为－1，
2 2.
答案：(1)(2kπ＋π3，2kπ＋23π)(k∈Z)
(2)[－1， 22]
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x＝_2_k_π_(k_∈__Z_)__时， ymax＝1；
值 x＝2kπ－π2(k∈Z)时，
x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，ymin＝－1
ymin＝－1
无最值
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函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
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解析：(1)由题意得sin x≥ 23，
由y＝sin
x的图象可知，使sin
x≥
3 2
成立的x的取值区
间为2kπ＋π3，2kπ＋23π(k∈Z)．
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(2)f(x)＝sin
的图象的对称轴是x－
π 4
＝kπ＋
π 2
(k∈Z)，即x＝kπ＋34π(k∈Z)，
令k＝－1，则x＝－π4.故选C.
答案：C
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3．(2013年高考天津卷)函数f(x)＝sin2x－
π 4
在区间0，
π 2
上的最小值为( )
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(2)∵x∈π6，76π，
∴sin x∈－12，1. 又y＝3－sin x－2cos2x
＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝2sin
x－142＋78.
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4．函数y＝－tan2x＋π6＋2的定义域是________． 解析：由2x＋6π≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π6＋12kπ，k∈Z. 答案：{xx≠12kπ＋π6，k∈Z}
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即时突破1 (1)函数y＝
sin
x－
3 2
的定义域为
________．
(2)(2014浙江杭州模拟)定义运算a※b为a※b＝
aa≤b， ba＞b.
如1※2＝1，则函数f(x)＝sin
x※cos
x的值域为
________．
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2．(2012年高考福建卷)函数f(x)＝sin x－4π 的图象的一条
对称轴是( )
A．x＝π4
B．x＝2π
C．x＝－4π
D．x＝－π2
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解析：∵f(x)＝sin
x－π4
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单 的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求 解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的 题目：
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①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx ＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
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形如y＝Asin (ωx＋φ)的函数的单调区间的
求法
(1)代换法
①若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作是一个整体，由－ π2 ＋
2kπ≤ωx＋φ≤
π 2
＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由
奇偶性
___奇__函__数__
__偶__函__数___
_奇__函__数__
对称性 周期
对称中心 (k_π_，__0)_(_k∈__Z__) _
对称中心kπ＋π2，0 (k∈Z)
对称中心k2π，0(k∈Z)
对称轴l： _x_＝__k_π_＋__π2_(k_∈__Z__)
对称轴l： x＝kπ(k∈Z)
2π
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第3节 三角函数的图象与性质
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正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
A．－1
B．－
2 2
2 C. 2
D．0
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解析：由x∈0，2π得2x－4π∈－π4，34π，
所以sin2x－4π∈－ 22，1.
即函数f(x)在0，π2上的最小值为－
2 2.
故选B.
答案：B
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(2)(2013年高考山东卷)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x
轴向左平移
π 8
个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一
个可能取值为( )
3π A. 4
B．π4
C．0
D．－4π
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考点突破
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三角函数的定义域和值域
[例1] (1)函数y＝ sin x－cos x的定义域为________． (2)当x∈ π6，76π 时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值 是________，最大值是________．
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(2)由函数横向平移规律“左加右减”
则y＝sin(2x＋φ)向左平移8π个单位得
y＝sin2x＋4π＋φ.
由y＝sin
(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调 区间．
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即时突破2 已知函数f(x)＝2sinx＋π3，设a＝f7π，b＝f6π，
c＝f3π，则a，b，c的大小关系是(
)
A．a＜c＜b
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
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解析：f(x)＝2sinx＋π3 a＝fπ7＝2sin 1201π， b＝fπ6＝2sin π2， c＝f3π＝2sin 23π＝2sin π3，
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②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝ t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可 先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
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∵y＝sin x在0，2π上单调递增， 且0<3π＜1201π＜2π， ∴sin π3＜sin 1201π＜sin 2π， 即c＜a＜b. 故选B.
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三角函数的奇偶性、周期性及对称性