高考数学解析分类汇编(4)---计数原理 理

2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理
一、选择题
1 ．（2012年高考（天津理））在2
5
1(2)x x
-
的二项展开式中,x 的系数为 （ ） A ．10 B ．10- C ．40 D ．40-
2 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙
两地参加社会实践活动,
每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种
3 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为
偶数,则不同的取法共有 （ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种
4 ．（2012年高考（重庆理））8
的展开式中常数项为
（ ）
A ．
16
35
B ．
8
35 C ．
4
35 D ．105
5 ．（2012年高考（四川理））方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c
互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （ ）
A ．60条
B ．62条
C ．71条
D ．80条 6 ．（2012年高考（四川理））7
(1)x +的展开式中2
x 的系数是
（ ）
A ．42
B ．35
C ．28
D ．21
7 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所
有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种
8 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片
各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．484
9 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不
同的坐法种数为 （ ）
A ．3×3!
B ．3×(3!)3
C ．(3!)4
D ．9!
10．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =
（ ） A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 11．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ． 24种 D ．36种
12．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复
数字的三位数,其中奇数的个数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6
13．（2012年高考（安徽理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同
学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 （ ） A ．1或3 B ．1或4 C ．2或3 D ．2或4 14．（2012年高考（安徽理））2
521
(2)(1)x x
+-的展开式的常数项是 （ ）
A ．3-
B ．2-
C ．2
D ．3
二、填空题
15．（2012年高考（浙江理））若将函数()5f x x =表示为
()()()()2
5
0125111f x a a x a x a x =+++++
++
其中0a ,1a ,2a ,,5a 为实数,则3a =______________.
16．（2012年高考（重庆理））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门
文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答). 17．（2012年高考（上海理））在6
)2(x
x -
的二项展开式中,常数项等于 _________ . 18．（2012年高考（上海春））若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则
012345a a a a a a +++++=___.
19．（2012年高考（陕西理））5
()a x +展开式中2
x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.
20．（2012年高考（湖南理））(
6
的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)
21．（2012年高考（广东理））(二项式定理)6
21x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用
数字作答)
22．（2012年高考（福建理））4
()a x +的展开式中3
x 的系数等于8,则实数a =_________. 23．（2012年高考（大纲理））若1
()n
x x
+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,
则该展开式中
2
1
x 的系数为___________.
2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理参考答案
一、选择题 1. 【答案】D
【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数.
【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r r
C x -,∴103=1r -,即=3r ,∴x 的
系数为40-.
2. 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种
3. 【答案】D
【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为
偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:22
54
60C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种. 4. 【答案】B
【解析】841881
()2r r
r r r r r T C C x --+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的
常数项为4
4
581
35()2
8
T C ==
. 【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 5. [答案]B
[解析]方程22
ay b x c =+变形得222
b
c y b a x -=
,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:
(1)若b=-3,
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧-==-==-===-=2
,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13
,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; (2)若b=3,
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧-==-==-===-=2
,1,0,233,1,0,2,23
,2,0,2c ,13
,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;
同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. 综上,共有23+23+16=62种
[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 6. [答案]D
[解析]二项式7
)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2
273x C T 、=
21C x 2
72=∴的系数为
[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.
7. 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,
共有12428C A =种情形;当比分为3:2时,共有22
5220C A =种情形;总共有
282030++=种,选D.
8. 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有
64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有
4727219214464=+++,故选C.
9. 【答案】C
【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭
共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同的坐法种数为4(3!),答案为C
【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题. 10.考点分析:本题考察二项展开式的系数.
解析:由于51=52-1,152...5252)152(12011
20122011120122012020122012+-+-=-C C C ,
又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D. 11.答案A
【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.
【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=. 12. 【答案】B
【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B. 【考点定位】 本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解. 13. 【解析】选D 2
61315132C -=-=
①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人 14. 【解析】选D
第一个因式取2
x ,第二个因式取
21x
得:14
51(1)5C ⨯-= 第一个因式取2,第二个因式取5(1)-得:5
2(1)2⨯-=- 展开式的常数项是
5(2)3+-=
二、填空题
15. 【答案】10
【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.
即:5455433155
44310
100
a C a a a C a C a a =⎧⎪
+=⇒=⎨⎪++=⎩. 法二:对等式:()()()()2
5
50125111f x x a a x a x a x ==+++++
++两边连续对x 求导三次
得:2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++,再运用赋值法,令1x =-得:3606a =,即310a =. 16. 【答案】
5
3 【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英
语三门文化课相邻有3
344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113
34322236
623
5
A A C A C C A p A +==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的
原理及其实际意义.
17. [解析] 展开式通项r
r r r r r r r r r x
C x x C T 2666612)1(2)1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3, 故常数项为160233
6-=⨯-C .
18. 1
19.解析:5()a x +展开式中第k 项为555k k k k T C a x -=,令2k =,2x 的系数为23510C a =,解
得1a =. 20. 【答案】-160
【
解
析
】
(
-
)
6
的展开式项公式
是
663166C (C 2(1)r
r r r r
r r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为333
46C 2(1)160T =-=-.
【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.
21.解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式通项为()621231661k
k k k k
k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以6
21x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中3x 的系数为3
620C =.
22. 【答案】2
【解析】r 414,3r r T C a x r -+==∵∴时,343
48,=2C a a -=∴
【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力. 23.答案56
【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数.
【解析】根据已知条件可知26
268n n C C n =⇔=+=,
所以81
()x x
+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔=
所以所求系数为5
856C =.。