初一上册第二章-有理数及其计算

有理数及其运算
§2.1有理数
【教学目标】
1．有理数的概念和意义。

2．把给出的有理数按要求分类。

3．说出数0在有理数分类中的作用。

【教学重难点】
重点：有理数包括哪些数。

难点：有理数的分类。

【教学过程】
最近我遇到了一个麻烦事儿，有个同学问我有理数是啥子，我想了半天，不知道怎么回答，这就把我难到了的嘛，哎，你们知道吗？
有理数的概念：整数可以看作分母为1的分数。

正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

那那些数是有理数呢？ 有理数的分类：
1） 按正数、负数与0的关系分类：
2） 按整数、分数的关系分类：
例题：把下列各数分别填入下列括号里： 5，-
2
1
，-0.3,0.21,-3.14,28,-100,131,-87,0,-8,102.
正整数集合{ }
负分数集合{ } 正有理数集合{ } 负整数集合{ }
找练习题做
【探究提高】
例：某大米加工厂加工了10批大米，没批质量统计如下（单位：吨）：198,201,199,204,196,197,200,201,198,203.请问：这10批大米总共多少吨？平均每批大米多少吨？
观察这10个数据最接近的数是200，重新统计为-2，+1，-1，+4，-4，-3,0，+1，-2，+3.
【课后练习】
1整数和分数统称为_______________；整数包括___________________、_________________和零，分数包括________________和__________________。

2把下列各数填入相应集合的持号内：
－3，4，－0.5，0，8.6，－7
整数集合{}
Λ
Λ，分数集合{}
Λ
Λ
正有理数集合{}
Λ
Λ，负分数集合{}
Λ
Λ
3选择题：－100不是（）
A．有理数；B．自然数；C．整数；D．负有理数。

4 如果正午记作0时，上午8时记作-4时，那么午后3时可用正数记作_________。

5 如果水位下降3m记作-3m，那么水位上升4m记作___________。

6 如果用+0.02g表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02g，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02g记作（）
A.+0.02g
B.-0.02g
C.0g
D.0.04g
§2.2数轴
【教学目标】
1．知道什么是数轴，如何画数轴。

2．使学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的数，知道有理数都可以用数轴上的点表示。

【教学重难点】
重点：学习数轴，用数轴上的点表示有理数。

难点：利用数轴学习有理数的大小性质，并能利用性质比较数的大小。

【教学过程】
今天要学习数轴，那同志们先思考一下，什么是数轴？
1、观察一下这三个温度计，你能读出他们的度数吗？你能观察出
它们的共同特征吗？（原点、方向、单位长度）
2、我们观察这三个温度计，思考一下数轴的概念（规定了原点、
正方向和单位长度的直线叫做数轴。

）
好。

我们知道了数轴的定义，那这个定义蕴涵了什么含义呢？
（1）原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

原定的选定，单位长度大小的确定，都是根据需要规定的，规定取向右为正方向，单位长度大小的确定，课根据各题的实际需要，灵活选取，有时可以每隔两个或多个长度单位取一个点；
（2）正数所对应的点总是在原点的右边，负数所对应的点总是在原点的左边。

例如：直尺、温度计。

好。

我们都理解了理论上的数轴，那实际上的数轴应该是怎么样的呢？
画：(要求步骤):正确画一条数轴的步骤课概括为：一画、二取、三定、四标。

1、画直线：就是先画一条直线，一般画出水平的直线。

2、取原点：通常原点选在所画直线中间，若问题中的负数的个数较多是，原点选在靠右些；正数的个数较多时，
原点选在靠左些。

3、定正方向和单位长度：规定取原点向右的方向为正方向，并选取适当的长度为单位长度。

4、标数：在数轴上依次标出所要表示的各个数。

练习：例1.给出的四个数轴画法正确的是（）
例2.自己画一个数轴。

理解数轴与有理数间的关系：
1.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数，如数轴上表示π的点表示的就不
是有理数。

2.正数可用原点右边的点表示，反过来，原点右边的点都表示正数；负数可用原点左边的点表示，反过来，原点
左边的点都表示负数；零用原点表示，反过来，原点表示零。

例题：在数轴上，原点及原点右边的点表示（）
A.正数
B.整数
C.非负数
D.一切有理数
【探究提高】
比较大小：例题：试比较-0.3，3
1
- ，0.003，-33%的大小。

答案：3
1
-
＜-33%＜-0.3＜0.003
【课后练习】
1．下列结论正确的有（ ）个：
① 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 ② 最小的整数是0 ③ 正数，负数和零统称有理数 ④ 数轴上的点都表示有理数
A.0
B.1
C.2
D.3 2．在数轴上，A 点和B 点所表示的数分别为－2和1，若使A 点表示的数是B 点表示的数的3倍，应把A 点 （ ） A.向左移动5个单位 B.向右移动5个单位
C.向右移动4个单位
D.向左移动1个单位或向右移动5个单位
3． 在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3， 0， －314， 112， －3，－1.25 并把它们用“＜”连接起来。

应用与提高
4．小明的家（记为A ）与他上学的学校（记为B ），书店（记为C ）依次座落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条街向东走40米，接着又向西走了70米到达D 处，试用数轴表示上述A 、、B 、C 、D 的位置。

5在数轴上，老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来。

中考链接
6．如图，数轴上的点A 所表示的数是a ，则A 点到原点的距离是 。

7．在数轴上，离原点距离等于3的数是 。

8．点A 为数轴上表示－2的动点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B 时，点B 所表示的实数是 （ ）
A.1
B.－６ Ｃ.２或－６ Ｄ.不同于以上答案
9. 超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处.小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置，以及小明最后的位置.
分析 书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置.
解 根据题意可以画出如图10所示，小明位于超市西边10米处.
玩具店
书店-30500
-20-10
§2.3绝对值
【教学目标】
1．了解相反数的概念，运用相反数的性质比较大小和求值。

2．了解绝对值的概念，会求有理数的绝对值；
3．会利用绝对值比较两个负数的大小；
4．在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的思维能力．
【教学重难点】
绝对值概念既是本节的教学重点又是教学难点。

关于绝对值的概念，需要明确的是无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a取任意有理数，都有绝对值。

【教学过程】
（一）相反数的概念：
还记得上节课的温度计吗？你们有没有发现什么特殊的数字？比如2；-2和10；-10？你们有木有觉得它们长得有点像？
它们有什么特征？1°这两个数只有符号不同；2°它们是一组数字，两个。

引出相反数的概念：只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数。

0的相反数是0。

一般地，任意的一个有理数a，它的相反数是-a。

a本身既可以是正数，也可以是负数，还可以是零。

（百度百科）
（二）相反数的意义：
1.几何意义：在数轴上，位于原点两旁且到原点距离相等的两个点所表示的两个数，就叫做互为相反数。

2.代数意义：只有符号不同的两个数，我们就说其中一个数是另一个数的相反数。

（三）相反数的表示：
通常在一个数前面添加“―”，就表示原数的相反数。

如―4，+5.5的相反数分别是―（―4）=4，
―（+5.5）=―5.5。

例题：你们自己表示几个数：2，-7.8，0.
（四）相反数的性质：（重难点，考点）
（1）若a、b互为相反数，则a+b=0；反之若a+b=0，则a、b互为相反数。

（2）若a、b互为相反数，则a、b在数轴上对应的点到原点的距离相等。

（3）互为相反数的两个数的差是其中一个数的2倍。

（4）互为相反数的两个数的积小于或等于0。

（5）互为相反数的两个数（0除外）的商等于-1.
（6）互为相反数的两个数，同时乘或除以一个数（0除外）仍为相反数。

（7）零的相反数仍是零。

操练操练：
1、下列说法中正确的是（）
A.符号相反的两个数叫做相反数
B.正数的相反数大于它本身
C.互为相反数的两个数一定一个是正数，一个数负数
D.负数的相反数大于它本身
2、数轴上表示互为相反数的两个点的距离是5.6，则这两个数是。

3、有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，―a，1的大小关系正确的是（）
A. ―a ＜a ＜1
B.a ＜―a ＜1
C.1＜―a ＜a
D.a ＜1＜―a 4、若2x+1是-9的相反数，求x 的值。

做了那么多准备工作，就是为了今天的主要目的——绝对值。

还是温度计的例子，我们观察2和-2从几何意义上讲，是不是表示它们到原点的距离都相等，都为2？ （一）绝对值的概念：
温度计我们看作是一个数轴，那么从数轴的角度去理解（几何定义）：从数轴上看，表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

例题：分别写出以下各数的绝对值：+2，-3,0.（在数轴上表示出来）
从例题中得出：正数的绝对值是它本身，如2；负数的绝对值是它的相反数，如-3；零的绝对值是零．
有了几何定义，是不是还应该有代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．（直观） （二）绝对值的表示：
我们用这个符号|a|来表示绝对值，它的意义就是表示a 的点与原点的距离。

（三）绝对值的性质：
1、非负性：对于任意有理数a ，总有|a|≥0.为什么呢？同学们解释一下、
2、两个相反数的绝对值相等．比如：2和-2.
例题：在数|-2|，|-（-2）|，|-（+2）|，|-[-（-2）]|，-|-2|，-|-（+2）|中，正数有（ ） A.2个 B.3个 C .4个 D.5个 （四）利用绝对值比较大小：
1°借助数轴比较：在数轴上表示的数右边的总比左边的大。

例题：比较下列各数的大小：-1.5，-0.5，-3.5，-5. 2°借助特殊值比较：
3°借助绝对值比较： 例题：比较54和6
7
的大小。

两个正数的绝对值大的就大，两个负数的绝对值大的反而小。

4°先化简，后比较。

如：两个同分异母的分数。

【探究提高】
已知a ＜0，b 大于0，|a|大于|b|，试用“＜”将a 、b 、-a 、-b 连接起来。

【课后练习】
1、如果|a|=3，则a 的值是 。

2、若|m －1|=m －1,则m _______1.若|m －1|>m －1,则m _______1.若|x |=|－4|,则x =_______. 若|－x |=| |,则x =_______.
3、若|x －2|+|y +3|+|z －5|=0计算:（1）x ,y ,z 的值.（2）求|x |+|y |+|z |的值.
4、若2<a <4,化简|2－a |+|a －4|.
5、下列结论正确的是（ ）
A.若|x |=|y |，则x =－y
B.若x =－y ，则|x |=|y |
C.若|a |＜|b |，则a ＜b
D.若a ＜b ，则|a |＜|b | 6、任何一个有理数的绝对值一定（ ）
A.大于0
B.小于0
C.不大于0
D.不小于0 7、若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
§2.4有理数的加法
【教学目标】
1．使学生掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算；
2．培养学生观察、比较、归纳及运算能力。

【教学重难点】
1．重点：有理数加法运算律。

2．难点：灵活运用运算律使运算简便．简单吧？
【教学过程】
例题：5+3=？ （-5）+（-3）=？ （-5）+（+3）=？ +5+（-5）=？ 0+（-6）=？ 第一题是不是就是我们小学学的数的加法？ 第二题等于多少呢？怎么计算的？ 那第三题呢？
第四个是不是我们前面学的相反数？ 第五题就不用说了吧？
观察这几道题我们能总结出什么？是不是有理数的加法法则？
1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

如：（-5）+（-3）=-8
2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

如：（-5）+（+3）= ―（5-3）= ―2
3. 互为相反数的两个数相加得零。

如：+5+（-5）=0
4. 一个数同0相加，仍得这个数。

如：0+（-6）=-6
自己再消化一下，来练习几个吧： 1.计算： （1）⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
3121；
（2）（—2.2）+3.8； （3）314+（—5
6
1
）；
（4）（—5
6
1
）+0； （5）（+251）+（—2.2）；
（6）（—
15
2
）+（+0.8）； （7）（—6）+8+（—4）+12；
（8）3
173312741
++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ （9）0.36+(—7.4)+0.3+(—0.6)+0.64； （10）9+（—7）+10+（—3）+（—9）；
同学们观察一下，练习题1.10有没有什么简便方法计算？
交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变． 用代数式表示上面一段话：
a+b=b+a ．
运算律式子中的字母a ，b 表示任意的一个有理数，可以是正数，也可以是负数或者零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．
结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
用代数式表示上面一段话：
(a+b)+c=a+(b+c)．
这里a，b，c表示任意三个有理数．
根据加法交换律和结合律可以推出：三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加．
例1 计算16+(-25)+24+(-32)．
引导学生发现，在本例中，把正数与负数分别结合在一起再相加，计算就比较简便．
解：16+(-25)+24+(-32)
=16+24+(-25)+(-32) (加法交换律)
=[16+24]+[(-25)+(-32)] (加法结合律)
=40+(-57) (同号相加法则)
=-17．(异号相加法则)
本例先由学生在笔记本上解答，然后教师根据学生解答情况指定几名学生板演，并引导学生发现，简化加法运算一般是三种方法：首先消去互为相反数的两数(其和为0)，同号结合或凑整数．
在运用运算律解题是，要注意题目的以下特征和结合方式：（小窍门）
①同号的先相加；
②互为相反数的先相加；
③同分母（或易通分）的分数先相加；
④正数、分数分别相加；
⑤带分数拆开相加。

练兵：
3.用简便方法计算下列各题：
（1）
)
12
7
(
)
6
5
(
)
4
11
(
)
3
10
(-
+
+
-
+
（2）
75
.9
)
2
19
(
)
2
9
(
)5.0
(+
-
+
+
-
（3）
)
5
39
(
)
5
18
(
)
2
3
(
)
5
2
(
)
2
1
(+
+
+
+
-
+
-
（4）)4.2
(
)6.0
(
)2.1
(
)8
(-
+
-
+
-
+
-
（5）
)
3
7
(
75
.0
)
2
7
(
)
4
3
(
)
3
4
(
)5.3
(-
+
+
+
+
-
+
-
+
-
【探究提高】
观察图寻找规律，在“？”处填上的数字是（）前面三个数相加得下一个数。

A.128
B.136
C.162
D.188
【课后练习】
1．计算：(要求注理由)
(1)(-8)+10+2+(-1)；(2)5+(-6)+3+9+(-4)+(-7)；
(3)(-0.8)+1.2+(-0.7)+(-2.1)+0.8+3.5；
26 48 814 88 4 ？
2 2
2．计算(要求注理由)：
(1)(-17)+59+(-37)；
(2)(-18.65)+(-6.15)+18.15+6.15；
3．当a=-11，b=8，c=-14时，求下列代数式的值：
(1)a+b；(2)a+c；
(3)a+a+a；(4)a+b+c．
利用有理数的加法解下列各题(第4～8题)：
4．飞机的飞行高度是1000米，上升300米，又下降500米，这时飞行高度是多少？
5．存折中有450元，取出80元，又存入150元以后，存折中还有多少钱？
6．一天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是多少？
7．小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈余为正)：
128.3元，-25.6元，-15元，27元，-7元，36.5元，98元
一周总的盈亏情况如何？
8．8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：
1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-
2.5
8筐白菜的重量是多少？
§2.5有理数的减法
【教学目标】
1.理解有理数的减法法则，并能熟练运用法则进行有理数的减法运算和解决生活实际问题。

2.由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达能力；通过减法到加法的转化，让学生初步体会转化、化归的数学思想。

【教学重难点】
教学重点：有理数的减法法则的理解和应用,
教学难点：法则中减法到加法的转变过程，在实际情境中体会减法运算的意义并利用有理数的减法法则解决实际问题。

【教学过程】
前面一节课我们学了有理数的加法，ok，这节课我们应该学习什么了？——有理数的减法
还是以例题形式开始，计算：
6-3=？3-6=？9-（-5）=？-3-5=？-4-（-5）=？
我们学了有理数的加法，那有理数的减法是不是我们只要把它变成有理数的加法就可以了，也就简单了。

3-6=3＋（-6）=-3 （-5）-（-6）=（-5）＋6=1
归纳：
1.运算符号由“-”变为“＋”，
2.减数变为它的相反数，
3.在转化成加法运算时，被减数不变。

总结：有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。

如果用字母a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a–b = a +（―b）。

例题：(1) (―32)―(+5)；(2)7.3―(―6.8)；(3)(―2)―(―25)；(4)12―21 .
解：
减号变加号减号变加号
(1)(―32) ―(+5)=(―32)+(―5)=―37。

(2)7.3―(―6.8)=7.3 + 6.8 =14.1。

减数变相反数 减数变相反数
(注意：两处必须同时改变符号.)
(3)(―2)―(―25)=(―2)+25=23。

(4)12―21 = 12+(―21)= ―9。

【探究提高】
计算：（-16）-（-21）-24-（-18）+1
【课后练习】
1.计算：
（1）（-32）-（+21）-（-6
5
）-（-31）；
（2）（-831）-（+12）-（-702
1
）-（-831）；
（3）（-122
1
）-[-（+6.5）-(-6.3)-651];
（4）(-17)-(-8)-(-9)-(+6)-(-14); （5）(-4
21)-{35
2
-[(-0.13)-(0.33)]}; （6）5-{-4-[3-7-(4-5)-6]}.
（7）()()()()71012-+++-+- （8）1121153
483737
---+ (9) ()()12.37.2 2.315.2-+--- (10)121112
242123727⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-++---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2.选择题
（1）.如果a<0，那么a 和它的相反数的差的绝对值等于（ ）. A ．a; B ．0; C ．-a; D ．-2a. （2）.若两个有理数的差是正数，那么（ ）
A ．被减数是正数，减数是负数；
B ．被减数和减数都是正数；
C ．被减数大于减数；
D ．被减数和减数不能同为负数. （3）.下列等式成立的是（ ）.
A ．0=-+a a
B ．-a-a=0
C ．0=--a a
D ．-a-a =0
（4）.如果的关系是则n m n m ,,0=-( )
A. 互为相反数；
B. m=±n,且n≥0;
C. 相等且都不小于0；
D. m 是n 的绝对值.
(5).已知a,b 是两个有理数，那么a-b 与a 比较，必定是( ) A.a-b>a; B.a-b<a; C.a-b>-a; D.大小关系取决于b. 3.已知a=-341,b=-841,c=-22
1
,求下列各式的值： （1）a-b-c
（2）b-(a-c) （3）c b a --
（4）b c a --
4．a,b 是两个任意有理数，试比较：
（1）a+b 与a-b 的大小； （2）b a -与a-b 的大小.
§2.6有理数的加减混合运算
【教学目标】
1、灵活运用有理数运算法则进行加减混合运算.
2、熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.
3、能根据具体问题，适当运用运算律简化运算.
【教学重难点】
重点：准确迅速地进行有理数的加减混合运算． 难点：减法直接转化为加法及混合运算的准确性．
【教学过程】
我们前面学习了有理数的加减法，也学了把有理数的减法转化成加法，同学们还有没有问题？ 例题：一架飞机进行特技表演，雷达记录起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起飞点高多少千米？
提出问题：（1）让学生独立思考理解高度变化的意义；（2）小组探究此时飞机与起飞点的高度，得出以下两
种计算方法：
（1）4.5+(－3.2)+1.1+(－1.4) （2）4.5－3.2+1.1－1.4
=1.3+1.1+(－1.4) =1.3＋1.1－1.4
高度变化 记作 上升4.5千米 +4.5千米 下降3.2千米 －3.2千米 上升1.1千米 +1.1千米 下降1.4千米
－1.4千米
=2.4+(－1.4) =2.4－1.4 =1（千米） =1（千米）
比较以上两种算法，你发现了什么？ 设计意图 ：通过这道题让同学们知道
（1)加减混合运算可以统一成加法运算
（2)加法运算可以写成省略括号及前面加号的形式
⑴ ()85.30-- ⑵ (－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 ) ⑶ －3－4＋19－11＋2 ⑷ ()[]()5.13.42.56.34.1---+-- ⑸ ()212115.2212
--+--- ⑹ 8＋（－1
4
）－5－（－0.25）
【探究提高】
计算：1-2-3+4+5-6-7+8+…+2001-2002-2003+2004+2005-2006-2007+2008+2009-2010-2011+2012+2013
【课后练习】
)
43
5()41()813()25.0(-+-+-++.
)
702.11()6
5
14()537()6155()5213(---++++-+|)
4
3
||315(||)312(213|-------)532()]57()323(6.8[324-+-++-+)]}3
2
3212(5[412{)213(312+-+--+-
§2.7有理数的乘法
【教学目标】
1、能够识记有理数乘法法则。

2、理解有理数乘法法则，两个有理数相乘，积的符号和绝对值如何确定。

3、能正确运用有理数乘法法则进行乘法运算。

【教学重难点】
重点：有理数乘法法则的运用。

难点：经历法则的探索过程，加深对法则的理解。

【教学过程】
计算：
我们以蜗牛爬行距离为例，为区分方向，我们规定：向左为负，向右为正，为区分时间，我们规定：现在前为负，后为正。

如图，一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置恰在l上的点O。

1．正数与正数相乘
问题一：如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？
讲解：3分后蜗牛应在l上点O右边6cm处，这可表示为
(+2)×(+3)=+6
答：结果向东运动了6米．
2．负数与正数相乘
问题二：如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？
讲解：3分后蜗牛应在l上点O右边6cm处，这可表示为
(－2)×(+3)=(－6)
3．正数与负数相乘
问题三：如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？
讲解：3分后蜗牛应为l上点O左边6cm处，这可以表示为
(+2)×(－3)=－6
4．负数与负数相乘
问题四：如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？
讲解： 3分前蜗牛应为l 上点O 右边6cm 处，这可以表示为 (－2)×(－3)=+6 5．零与任何数相乘或任何数与零相乘
问题五：原地不动或运动了零次，结果是什么？ 答：结果都是仍在原处，即结果都是零，若用式子表达： 0×3=0；0×(－3)=0；2×0=0；(－2)×0=0． 综合上述五个问题得出： (1)(+2)×(+3)=+6； (2)(－2)×(+3)=－6； (3)(+2)×(－3)=－6； (4)(－2)×(－3)=+6． (5)任何数与零相乘都得零．
归纳总结：
有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何与0相乘，积仍的0.
练习： （1）)1()2.8(-⨯- （2）)80()25.2(+⨯- （3）
（4）
0312)5.2(⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯- （5）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-712)5.1( （6）⎪
⎭⎫
⎝⎛+⨯-2817)308( （1）)71()5()7()2(-⨯+⨯-⨯- （2）)
1.051
21103()1000(-+-⨯- （3）)74(6)74(41.2)74()59.3(-⨯+-⨯--⨯ （4）)
11(1413
19-⨯
（5）13810.43
4⎛
⎫⎛⎫--⨯-
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
(6)
)2()382()6()382()2()382(-⨯-+-⨯-+-⨯-
仔细观察：我们是不是可以发现一些规律。

在算术乘法中适用的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在有理数范围内依然成立。

（1） 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即ab=ba . （2） 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即（ab ）c =a （bc ）. （3） 乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘等于把这个数分别于这两个数相乘，再把积相加，即
a （b+c ）=ab+ac .
这里就牵涉到一个问题，多个有理数相乘的符号确定：
（1） 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个
时，积为正。

（2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，积就为0.反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0.
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛
-72213
课堂练习：
⑴ )5(252449
-⨯ ⑵12
5)5.2()2.7()8(⨯-⨯-⨯- ⑵ 6.190)1.8(8.7-⨯⨯-⨯- ⑷)25
1
(4)5(25.0-⨯⨯-⨯--
⑸)32()109(45)2(-⨯-⨯⨯- ⑹(-6)×5×7
2
)67(⨯-
⑺（-4）×7×（-1）×（-0.25） ⑻4
1
)23(158)245(⨯-⨯⨯-
⑼)8141121()8(+-⨯- ⑽)48()61
43361121(-⨯-+--。

⑾)543()411(-⨯- ⑿34.07
5
)13(317234.03213⨯--⨯+⨯-⨯-
【探究提高】
1、1993×19951995―1995×19931992
解：原式=1993×（1995×10000+1995）―1995×（1993×10000+1992） =1993×1995×（10000+1）-1995×（1993×10000+1992） =1995×[1993×10000+1993―（1993×10000+1992）] =1995×1
2、若a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是1，求m cd b a 2009)(-+的值。

【课后练习】
1．五个数相乘，积为负数，则其中正因数的个数为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．0，2或4 2．x 和5x 的大小关系是（ ）
A ．x<5x
B ．x>5x
C ．x=5x
D ．以上三个结论均有可能 3．如果x 2y 250+++=，那么(－x)·y=( ) A ．100 B ．－100 C ．50 D ．－50 4．两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数是( ) A ．都是正有理数 B ．都是负有理数
C ．绝对值大的那个有理数是正数，另一个有理数是负数
D ．绝对值大的那个有理数是负数，另一个有理数是正数
5．a 、b 互为相反数且都不为0，则(a+b 一1)×a 1b ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值为( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2 6．－
27的倒数与绝对值等于221
的数的积为( ) A ．
13 B ．－13 C ．±13 D ．±4147
7．已知a·b·c>0，ac<0，a>c ，则下列结论正确的是( ) A ．a<0，b<0，c>0 B ．a>0，b>0，c<0
C ．a>0，b<0，c<0
D ．a<0，b>0，c>0 图1-30 8．如图1-30，a 、b 、c 是数轴上的点，则下列结论错误的是( ) A ．ac+b<0 B ．a+b+c<0 C ．abc<0 D ．ab+c>0 9．如果三个数的积为正数，和也为正数，那么这三个数不可能是( ) A ．三个都为正数 B ．三个数都是负数 C ．一个是正数，两个是负数 D ．不能确定 简答题
1.若a 、b 为有理数，请根据下列条件解答问题： (1)若ab>0，a+b>0，则a 、b 的符号怎样?
(2)若ab>0，a+b<0，则a 、b 的符号怎样? (3)ab<0，a+b>0，a b >，则a 、b 的符号怎样?
2.若a 1,a b 0=+=，求－ab －2的值。

3.若a 5=，b 的绝对值等于－1
2
的倒数的相反数，求ab 的值．
4．煤矿井下A 点的海拔高度为－174．8m ，已知从A 到B 的水平距离为120m ，每经过水平距离l0m 上升0．4m ，
已知B 点在A 点的上方．(1)求B 的海拔高度；(2)若C 点海拔高度为－68．8m ，每垂直升高l0m 用30s ，求从A 到C 所用的时间。

§2.8有理数的除法
【教学目标】
(1)、理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算.
(2)、会求有理数的倒数.
(3)、学生学会观察、分析、归纳及概括方法.
【教学重难点】
重点：有理数的除法法则
难点：理解商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系
【教学过程】
回忆：有理数的乘法的法则是什么？
（两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0）。

那么，同学们联想一下，有理数的除法的法则又是什么？2*3=6,6÷2=3
(1)、两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．［0不能作除数］
说明：除法法则与乘法法则相近，只是“乘”“除”二字不同，很容易记的．
如：(－6)÷(－2)＝＋(6÷2)＝3
(－6)÷2＝－(6÷2)＝－3
6÷(－2)＝－(6÷2)＝－3
(2)、0除以任何非0的数都得0．
如：0÷3＝0，0÷(－6)＝0
(3)、除以一个数等于乘以这个数的倒数．（很重要）这表明除法可以转化为乘法。

如：如：6÷21＝6×2＝12
31÷(－3)＝31×(－31)＝－9
1 如何求一个数的倒数，你们知道吧？
互为倒数的两个数乘积为1，所以知道其中一个数，求它的倒数就用1除以这个数即可． 如：求32的倒数，1÷32＝2
3 所以23是3
2的倒数． (4)、几个非0的有理数相除，商的符号怎样确定?
几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．
如：(－12)÷(－2)÷(－3)——三个负数：负
＝－(12÷2÷3)＝－2
(－12)÷2÷(－3)——两个负数：正
＝＋(12÷2÷3)＝2
练习：（1）（-27）÷9； （2）-0.125÷83； （3）（-0.91）÷（-0.13）；
（4）0÷（-35
1719）； （5）（-23）÷（-3）×13； （6）1.25÷（-0.5）÷（-212
）；
【探究提高】
1．若ab ≠0，则b
b a a +可能的取值是_______． 点拨：由ab ≠0可知a 与b 都不是0，都可做除数．由于此题有绝对值，所以应考虑清楚分子与分母的关系：是相等还是互为相反数？将所有的情况一一列出来，找出所有的可能的取值．
解：ab ≠0，因为|a |＝a (a ＞0)，|a |＝－a (a ＜)0
|b |＝b (b ＞0)，|b |＝－b (b ＜)0 所以：|a |＝a ，|b |＝b 时，b
b a a +＝2． |a |＝a ，|b |＝－b 时，b b a a +＝0． |a |＝－a ，|b |＝b 时，b
b a a +＝0 |a |＝－a ，|b |＝－b 时，
b b a a +＝－2． 答：可能的取值有2，0，－2三种结果．
【课后练习】
（1）（-81）÷（+314）×（-49）÷（-1113）； （2）（-45）÷[（-13）÷（-25
）]；
（3）（
13-56+79）÷（-118）； （4）-32324÷（-112）．
1、已知│3-y│+│x+y│=0，求
x y xy +的值．
2、若定义一种新的运算为a*b=
1ab ab -，计算[（3*2）]* 16．
3、若│a+1│+│b+2│=0，求：
（1）a+b-ab ； （2）
b a +a b ．
4．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且a≠0，那么3a+3b+
b a
-cd 的值是多少？
§2.9有理数的乘方
【教学目标】
1、理解有理数乘方的意义，正确理解乘方、幂、指数、底数等概念，会进行有理数的乘方运算。

2、通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透由一般到特殊、转化的数学思想。

学会数学的转化思想，培养学生灵活处理现实问题的能力。

【教学重难点】
重点：正确理解乘方的意义，弄清底数、指数、幂等概念，掌握乘方运算的符号法则；
难点：正确理解相关概念并合理运算。

【教学过程】
首先，我们先玩一个游戏。

折纸游戏：将一张纸对折，记下每次的层数。

设问：你知道对折100次、1000次后有多少层吗？（引入课题）
互动合作
活动一：观察刚才记下的数据，小组讨论，找出规律。

给出乘方的意义及相关概念。

一般地，n 个相同的因数a 相乘，即a ·a ·a ……·a =n a ，记作n a ，读作a 的n 次方。

意义：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

幂 指数
a n
n 个a
底数
乘方具有的双重意义：
（1） 乘方是一种运算，是求几个相同因数的积的运算。

（2） 幂是乘方的结果。

我们把概念，意义这些文字类的东西学习了后，就该怎么办了？计算了撒。

要计算乘方，那么首先应该干什么？确定乘方的符号。

比如23=？；（－3）2=？；2
3- =？ 得出有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

乘方运算时，先确定符号，再算绝对值。

（注意括号内外）
练习题：
（1）、（－13
1）2= ， （2）、105= ， （3）、－0.13= ， （4）、1n = （n 为正奇数）
（5）、－24+（－2）4= ， （6）、（－2.5⨯4）3 ，
(7)、（－3）2+（－32）= ， （8）、（－1）2004= 。

（9）、324= （10）、（3
2）4 【探究提高】
1、 试比较（2013）
2014和（2014）2013的大小
为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较n
1n +和（n+1）n 的大小（n 为正整数），然后我们分析n=1，n=2，n=3这些简单情形入手，发现规律n 1n +＜（n+1）n （0＜n≤2，n 为正整数） n 1n +＞（n+1）n （n ＞2，n 为正整数）
2、 求1+2+22+23+ … +20082的值。

令S=1+2+22+23+ … +20082，因此2S-S=S=20092-1
【课后练习】
(1)下列计算正确的是( )
A..-52×(-25
1)=-1 B.25×(-0.5)5=-1 C.-24×(-3)2=144 D.(53)2÷(1÷295)=5
23 (2)如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数( ).
A..一定是正数;
B.是正数或负数;
C.一定是负数;
D.可以是任意有理数.
(3)下列结论正确的是( )
A..若a 2=b 2，则a=b;
B.若a>b ，则a 2>b 2;
C.若a ，b 不全为零，则a 2+b 2>0;
D.若a≠b ，则 a 2≠b 2.。