辽宁省沈阳市第一二〇中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题(含答案解析)

沈阳市第120中学2022-2023学年度上学期
高二年级第三次质量监测
数学试题
满分：150分
时间：120分钟
命题人：韩春静
潘爽
一、单项选择题：每题只有一个选项是正确的（共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知直线1l
的方程为
()2x 5m y 8
++=，直线
2l 的方程为()3m x 4y 53m ++=-，若12l //l ，则m (
=)
A.1-或7-
B.1
- C.7
- D.3
-【答案】C 【解析】
【分析】根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得m 的值后检验即可得到m 的值．【详解】因为12l l ，故()()2453m m ⨯=++，整理得到2870m m ++=，解得1m =-或7m =-．
当1m =-时，1:240l x y +-=，2:240l x y +-=，两直线重合，舎；当7m =-时，1:40l x y --=，213
:02
l x y -+=，两直线平行，符合；故7m =-，选C ．
【点睛】如果1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，（1）12,l l 平行或重合等价于1221A B A B =；（2）12,l l 垂直等价于12120A A B B +=．
2.已知M 是抛物线22y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=︒，则FM 等于（
）
A.2
B.
3
C. D.4
【答案】A 【解析】
【分析】设()()000,0M x y y >，根据题意列式求解00,x y ，再根据抛物线的定义求FM .
【详解】由题意可得：1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设()()000,0M x y y >
，则200
00
201
2y x y x ⎧=⎪⎪-⎨=⎪-⎪⎩
，解得0032x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
或00163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），
即32M ⎛ ⎝，∴0122FM x =+=.
故选：A.
3.哈三中招聘了8名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（）
A.18种
B.24种
C.36种
D.48种
【答案】C 【解析】
【分析】先将2名语文老师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他3人分成2组，结合每个校区各4人即可得出结果.
【详解】由题意知，先将2名语文老师分到两个校区，有2种方法，第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有1
3C 种分法，然后再分到两个校区，共有12
32C A 种方法，
第三步只需将其他3人分成2组，一组1人另一组2人，
由于每个校区各4人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有1
3C 种方法，根据分布乘法计数原理共有112
3322C C A =36种.故选：C
4.10101被9除的余数为（）
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】C 【解析】
【分析】根据()10
10901912=+，结合二项式定理可得10101被9除的余数与102被9除的余数相同，由此确定结论.
【详解】因为()
10
01019128291910010101010110001992C 99C 992C 992C 992C 992,101=+=+++⋅⋅⋅++所以(
)091
81
2
7
2
9
9
10
10101010100
10
199C 99C 992C 992C 2C
2,
101=+++⋅⋅⋅++因为(
)0918127299
1010101099C 99C 992C 992C 2
+++⋅⋅⋅+为9的整数倍，
所以10101被9除的余数与102被9除的余数相同，又51052210242=⨯=，1024被9除的余数为7，故10101被9除的余数为7，故选：C .
5.托马斯·贝叶斯(ThomasBayes )在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：
()()()()()()()
c c
P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⋅=
⋅+⋅，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中
()()()()
c c P B A P A P B A P A ⋅+⋅称为B 的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种
疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，
99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经
计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（）
A.0.1%
B.8%
C.9%
D.99%
【答案】C 【解析】
【分析】记一个人得病为事件A ，检测结果为阳性为事件B ，由已知条件求出()P A ，()
P B A ，
()()()()
c c P B A P A P B A P A ⋅+⋅，结合题中的信息，求出()P A B ，即可得到答案.
【详解】记一个人得病为事件A ，检测结果为阳性为事件B ，则()0.1%P A =，(
)
99%P B A =，()()(
)()0.01098c
c
P B A P A P B A
P A ⋅+⋅=，
所以()
()()()()()()
99%0.1%
9%0.01098
c c
P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⋅⨯=
=
≈⋅+⋅，
所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%，故选：C.
6.已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线212y x =的焦点重合，过点F 的直线交E 于A 、
B 两点，若
AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（
）
A.221
4536x y += B.2213627x y +=C.2212718
x y += D.221189
x y +=【答案】D 【解析】
【分析】利用点差法可求得222a b =，再由3c =可得出2a 、2b 的值，即可得出椭圆的标准方程.【详解】解：设()11,A x y 、()22,B x y ，若AB x ⊥轴，则A 、B 关于x 轴对称，不合乎题意，
将A 、B 的坐标代入椭圆方程得22
1122222222
11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222
1212
22
0x x y y a b --+=，可得
121212
22
120x x y y y y a x x b
+-++⋅=-，因为线段AB 的中点坐标为()
1,1-，所以，122x x +=，122y y +=-，因为抛物线212y x =的焦点为()3,0，所以()3,0F ，又直线AB 过点()3,0F ，因此1212101132AB y y k x x ---===--，所以，22212
02a b
-+⨯=，
整理得222a b =
，又3c ==
218a =，2
9b =，
因此，椭圆E 的方程为22
1189
x y +=，
故选：D.
7.在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆C ：()()()2
2
1
204
x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（
）
A.22⎣⎦
B.5,42⎡⎢⎣⎦
C.2⎛ ⎝⎦
D.,22⎢⎣⎦
【答案】D 【解析】
【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.
【详解】设点(,)P x y ，由2PA PB ==，整理得：22(3)4x y -+=，即点P 的轨迹是以点0(3,0)C 为圆心，2为半径的圆，而圆C 的圆心(2,)C m ，半径为1
2，依题意，圆0C 与圆C 有公共点，即有0112222CC -
≤≤+，即2925144
m ≤+≤，而0m >，解得
22
m ≤≤
，
所以实数m 的取值范围是,2
2⎤
⎢⎥⎣⎦.故选：D
8.有很多立体图形都体现了数学的对称美，
其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，
半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与直线
AF
所成角的余弦值的取值范围为（）
A.12,32⎡⎢⎣⎦
B.13,32⎡⎢⎣⎦
C.1222⎡⎢⎣⎦
D.13,22⎡⎢⎣⎦
【答案】C 【解析】
【分析】将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设
()[],,0,0,1BE BC λλλλ==-∈
，利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦值的取值范
围.
【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.
2.
所以()()2,1,0,2,2,1A F ，()()()()()1,0,2,0,1,2,1,2,2,0,1,1,1,1,0B C D AF BC ==-
.设()[],,0,0,1BE BC λλλλ==-∈ ，则()()1,,2,,2,0E DE λλλλ-=--
.
所以
cos ,AF DE AF DE AF DE
⋅==
=-
.令12t λ=-11,2⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
，则cos ,AF DE = ，
因为2
1221,12t t ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
，所以1cos ,2
2AF DE ⎡⎤∈-
-⎢⎥⎣⎦ .故直线DE 与直线AF
所成角的余弦值的取值范围为1222⎡⎢⎣⎦
.
故选：C
二、多项选择题：每题有多个选项是正确的（共4小题，每小题5分，共20分）
9.从5名候选人中选派出3人参加A ，B ，C 活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A 活动，则（
）
A.有36种不同的选派方案
B.有48种不同的选派方案
C.若甲参加活动，则有24种不同的选派方案
D.若甲不参加活动，则有24种不同的选派方案【答案】BCD 【解析】
【分析】根据给定条件，利用排列问题及分类加法计数原理计算，再判断各选项作答.
【详解】若甲参加活动，则选B ，C 之一给甲，余下两项活动选派给另4人中两人，有12
24A A 24=种，C 正
确；
若甲不参加活动，则除甲外的4人中选派3人参加活动，有3
4A 24=种，D 正确；由分类加法计数原理知，不同的选派方案有1
2
3
244A A A 48+=种，B 正确；A 不正确.故选：BCD
10.对于曲线22
:
127x y C k k
+=--，下面说法正确的是（）
A.若3k =，曲线C 的长轴长为4
B.若曲线C 是椭圆，则k 的取值范围是27
k <<C.若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是7k >D.若曲线C
是椭圆且离心率为2
，则k 的值为113或
163【答案】ACD 【解析】
【分析】根据双曲线、椭圆的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】曲线22
:
127x y C k k
+=--，A 选项，3k =，2
2
14
y x +=，则2,24a a ==，A 选项正确.
B 选项，若曲线
C 是椭圆，则2070
27k k k k
->⎧⎪
->⎨⎪
-≠-⎩，解得27k <<且9
2
k ≠
，所以B 选项错误.C 选项，若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则20
70k k ->⎧⎨-<⎩
，
解得7k >，C 选项正确.
D 选项，曲线C 是椭圆且离心率为2，22122c
b a a ====，由B 选项的分析可知27k <<且92
k ≠，当922k <<时，椭圆焦点在y 轴上，
2172k k -=-，解得11
3
k =；当972k <<时，椭圆焦点在x 轴上，71
22k k -=-，解得163
k =，
所以k 的值为113或16
3
，D 选项正确.
故选：ACD 11.已知()
2023
22023012202312x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（
）
A.展开式中所有项的二项式系数和为20232
B.展开式中系数最大项为第1350项
C.2023135202331
2
a a a a -+++⋅⋅⋅+=
D.
1232023232023
12222a a a a +++⋅⋅⋅+=-【答案】AD 【解析】
【分析】根据题目要求结合二项式定理的各项性质即可得到结果【详解】易知()
2023
12x -的展开式中所有项的二项式系数和为20232，故A 正确；
由二项式通项，知()()120232023C 22C k
k
k k k k T x x +=-=-，所以第1350项的系数为()1349
134920232C 0-<，所以第
1350项不是系数最大项，故B 错误；
当1x =时，有01220231a a a a +++⋅⋅⋅+=-①，当=1x -时，有20230123202220233a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②，
①－②，可得2023
1352023132
a a a a ++++⋅⋅⋅+=-
，故C 错误；当0x =时，有01a =，当12
x =时，1232023
0232023
02222a a a a a ++++⋅⋅⋅+=所以
12320230232023
12222a a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-，故D 正确．故选：AD
12.对于任意非零向量()111,,a x y z =
，()222,,b x y z = ，以下说法错误的有（
）
A.已知向量()1,1,a x = ，()3,,9b x =- ，若3
10
x <，则,a b 为钝角
B.若//a b
，则
111
222
x y z x y z ==C.若空间四个点13,,,,44
P A B C PC PA PB =+
，则,,A B C 三点共线
D.若直线l 的方向向量为()1,0,3e =
，平面α的法向量为22,0,3n -⎪=⎛
⎫
⎝⎭
，则直线//l α【答案】ABD 【解析】
【分析】利用特例判断A 、B ，根据空间向量线性运算法求出34
AC AB =
，即可判断C ，根据空间向量数
量积的坐标运算判断D ；
【详解】解：对于A ：当3x =-时，()1,1,3a =- ，()3,3,9b =-- ，即3a b =-
，可得a 、b 共线反向，
故A 错误；
对于B ：当()1,0,0a = 、()2,0,0b = 时，//a b 成立，而
111222
x y z x y z ==不成立，故B 错误；对于C ：根据题意可得()
34PC PA PB PA -=- ，即有34AC AB =
，则A 、B 、C 三点共线，故C 正确；对于D ：()21200303
e n ⋅=⨯-+⨯+⨯= ，e n ∴⊥
，所以l α⊂或//l α，故D 错误；
故选：ABD.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.随机变量X 等可能取值为1,2,3,,n ，如果1
(4)2
P X <=，那么n =___．【答案】6【解析】
【详解】因为随机变量X 等可能取值，而4X <只有三个数，所以236n =⨯=14.已知5
121920C C C C C m
m
m
m
m m m +++++⋅⋅⋅+=，则m =___________.【答案】4或14##14或4【解析】
【分析】根据组合数的性质1
1C C C m
m
m n n n
-+=+及C C m n m
n n
-=即可求解.
【详解】解：因为5
121920C C C C C m m m m m m m +++++⋅⋅⋅+=，所以
1121911219C C C C C C C C m m m m m m m m
m m m m m m +++++++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+111522193192020C C C C C C C m m m m m m m m m ++++++=++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+==，
所以15m +=或1520m ++=，又*019,m m N ≤≤∈，解得4m =或14m =，故答案为：4或14.
15.已知双曲线22:14x y C m
-=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____．
【答案】(]0,16【解析】
【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线2y x =应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式22
≤，解之即可求得m 的取值范围.
【详解】依题意，由22:14x y C m -=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为2
y x =±，
因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，
故
22
≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈.故答案为：(]0,16.
.
16.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机
取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①()2
5
P B =
；②()15|11
P B A =
；③事件B 与事件1A 相互独立；④123,,A A A 是两两互斥的事件；
⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关【答案】②④【解析】
【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出123,,A A A 事件发生的条件下B 事件发生的概率，即可判断②；然后由()()()123()P B P A B P A B P A B =++，判断①和⑤；再比较
11()()()P A B P A P B ，的大小即可判断③.
【详解】由题意可知事件123,,A A A 不可能同时发生，则123,,A A A 是两两互斥的事件，则④正确；由题意得()()()123544
|,|,|111111
P B A P B A P B A =
==，故②正确；()()()()()()()()()123133122()|||P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++=++5524349
10111011101122
=
⨯+⨯+⨯=,①⑤错；因为11559()()()104492222P A B P A P B ==⨯=，，所以事件B 与事件A 1不独立，③错；综上选②④故答案为：②④
【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.
四、解答题
17.
已知在n
+的展开式中，前3项的系数分别为123,,a a a ，且满足2132a a a =+.求：（1）展开式中二项式系数最大项的项；（2）展开式中系数最大的项；（3）展开式中所有有理项.
【答案】（1）2
3
358
x （2）
73
7x
和
32
7x
（3）4x 和716x
【解析】
【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求n ，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项；
(2)设第1k +项系数最大，列不等式组求k ，由此确定系数最大的项；(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.【小问1详解】
因为n
展开式的通项公式为
35611=C C 2
k
n k
n k
k
k k n n k T x --+⋅=，0,1,2,k n =⋅⋅⋅，所以()01212301211111C 1,C ,C ,22228
n n n n n a a n a -=
=====依题意得()11
2128
n n n -⨯=+
，即()18(1)n n n -=-，由已知2n ≥,所以8n =，
所以8
的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，所以22433
584135C 28
T x x ==.
【小问2详解】
由（1）知，2456181C 2
k
k k k T x -
+=，
设展开式中系数最大的项为第1k +项，则188
1188111C C 2211C C 22k k k k k k k
k --++⎧≥⎪⎪⎨
⎪≥⎪⎩，
即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!
k k k k k k k k ⎧
≥⋅⎪⋅--⋅-⎪
⎨⎪⋅≥
⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，
解得23k ≤≤，所以2k =或3k =，
所以展开式中系数最大的项为241072633821C 72T x x -==和93
3
624831C 72
T x x ==.
【小问3详解】
由2456181C 2k
k k k T x -
+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，
2456k -为整数，得0k =，6，所以展开式中所有有理项为240461801C 2T x x ==和6
6
678617C 216T x x
-==.
18.已知圆心为C 的圆经过()1,1A ，()2,2B -两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=上.（1）求圆C 的标准方程；
（2）设P 为圆C 上的一个动点，O 为坐标原点，求OP 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）22(3)(2)25x y +++=；
（2）2
2325(1)24x y ⎛⎫+++= ⎪⎝
⎭.
【解析】
【分析】（1）设圆心C 的坐标为(),a b ，可得10a b -+=，结合条件可得330a b --=，进而求得圆心的坐标，半径，即得；
（2）设(),M x y ，()
00,P x y ，进而可得()2,2P x y ，然后代入圆C 的方程，化简求得M 点的轨迹方程.【小问1详解】
设圆心C 的坐标为(),a b ，半径为r ，∵圆心C 在直线:10l x y -+=上，∴10a b -+=，
∵圆C 经过()1,1A ，()2,2B -两点，∴CA CB =，
=，
化简得：330a b --=，又10a b -+=，所以32a b =-=-，，
∴圆心C 的坐标为()3,2--
，5r AC ==
=，
所以圆C 的标准方程为：22(3)(2)25x y +++=；【小问2详解】
设(),M x y ，()
00,P x y ，∵M 为OP 的中点，
∴0000022
20
2x x x x y y y y +⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩
，∴()2,2P x y ，∵P 在圆C 上，
∴2
2
(23)(22)25x y +++=，即2
2325(1)24x y ⎛⎫+++= ⎪⎝
⎭，
∴OP 的中点M 的轨迹方程为2
2325(1)24x y ⎛⎫+++= ⎪⎝
⎭.19.如图，在矩形ABCD 和ABEF 中，
π4,3,,,,013
AB AD AF DAF DM DB AN AE λλλ===∠===<<
，记,,AB a AD b AF c ===
.
（1）求异面直线AE 与BD 所成角的余弦值；
（2）将MN 用,,a b c
表示出来，并求||MN 的最小值；
（3）是否存在λ使得MN ⊥平面ABCD ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.
答案】（1）
23
50
；（2）(1)MN b c λλ=-+ ，最小值为32
；
（3）存在，2
3
λ=.
【解析】
【分析】（1）根据空间向量线性的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据空间向量线性的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质、二次函数的性质进行求解即可；（3）根据线面垂直的判定定理，结合空间向量互相垂直的性质进行求解即可.【小问1详解】
由已知得：,AE a c DB a b
=+=-
||||5,AE a c =+= 同理||||5DB a b =-= ，所以2()()23
cos ,2550||||
a c a
b a b
c AE DB AE DB +⋅--⋅〈〉===
⋅
故异面直线AE 与BD 所成角的余弦值2350
；【小问2详解】
()MN AN AM AN AD DM =-=-+ ()[()](1)a c b a b b c λλλλ=+-+-=-+ .
所以||MN ==
=当12λ=时，||MN 的最小值为3
2
；
【小问3详解】
假设存在λ使得MN ⊥平面ABCD ，故,MN AB MN AD ⊥⊥.
因为[(1)]0MN AB b c a λλ⋅=-+⋅=
；由0MN AD ⋅=
，得[(1)]0b c b λλ-+⋅= ，
化简得9
9(1)02
λλ-+
=，解得23λ=，满足条件.
故存在2
3
λ=
使得MN ⊥平面ABCD .20.已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，
小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.
（1）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是1
2，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率；
（2）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为1
2，选择两个选项的概率为
1
3，选择三个选项的概率为16
.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求X 的分布列.【答案】（1）
4
5
（2）分布列见解析【解析】
【分析】（1）先通过全概率公式求出题目答对了的概率，在通过条件计算答对的情况下，知道单项选择题正确答案的概率即可；
（2）设事件i A 表示小明选择了i 个选项，1,2,3i =，C 表示选到的选项都是正确的，则X 可能取值为0，2，5，依次计算0,2,5X =的概率，即可根据结果列出分布列.【小问1详解】
记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则()1P A B =，1()4P A B =
，1
()()2
P B P B ==，由全概率公式：1115
()()()()()12248
P A P B P A B P B P A B =+=
⨯+⨯=，所求概率为11
()()()42
()5()()58
P B P A B P BA P B A P A P A ⨯=
===.【小问2详解】
设事件i A 表示小明选择了i 个选项，1,2,3i =，C 表示选到的选项都是正确的.
X 可能取值为0，2，5，
()111111(2)()()224
P X P A C P A P C A ====
⨯=，()()()22224111
(5)3C 18P X P A C P A P C A ====⨯=，
25(0)1(2)(5)36
P X P X P X ==-=-==
.随机变量X 的分布列为
X
025
P
253614118
21.如图，PD
⊥平面,ABCD AD CD ⊥，AB CD ，PQ
CD ，222AD CD DP PQ AB =====，
点M 为BQ 的中点．
（1）求二面角Q MC P --的正弦值；
（2）若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面PMQ 所成的角为π
6
，求N 到平面MCP 的距离．【答案】（1）1
2；（2）
23
.【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面CMQ 和平面PCM 的法向量，利用空间向量求二面角；
（2）设(01)QN QC λλ=≤≤
，求出平面PMQ 的法向量，根据线面夹角求λ，利用空间向量求点到面的
距离.
【小问1详解】
PD ⊥ 平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，则,PD AD PD CD ⊥⊥，又AD CD ⊥，
则以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP
的方向为x 轴，y 轴，z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得：(0,1,2)Q ，(0,0,2)P ，(1,1,1)M ，(0,2,0)C ，
()1,0,1MQ =- ，(1,1,1)PM =- ，(1,1,1)CM =-
，
设平面CMQ 的法向量1111(,,)n x y z = ，则110
n CM n MQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1111100x y z x z -+=⎧⎨
-+=⎩，令11z =，则111,2x y ==，即()11,2,1n =
，
同理可得平面PCM 的法向量2(0,1,1)n =
，
∵121212cos ,2n n n n n n ⋅===⋅ ，且[]12,0,πn n ∈
，则121sin ,2n n == ，故二面角Q MC P --的正弦值为1
2.【小问2详解】
设(01)QN QC λλ=≤≤ ，(0,1,2)QC =-
，
即(0,,2)QN QC λλλ==-
，则(0,1,22)N λλ+-，
∴(0,1,22)DN λλ=+-
，
设平面PMQ 的法向量为(),,n x y z = ，0
n PM n MQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即00x y z x z +-=⎧⎨-+=⎩，令1z =，则1,0x y ==，即()1,0,1n =
，
由题意知：πsin cos ,6DN n DN n DN n
⋅==⋅
，即12=，整理得：231030λλ-+=，解得：1
3
λ=
或3λ=，
又01λ≤≤，则13
λ=
，∴440,,33N ⎛⎫
⎪⎝⎭，则240,,33NC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
由（1）知：平面PMC 的一个法向量为2(0,1,1)n =
，所以N 到平面MCP
的距离2
2
3NC n d n ⋅==
= .22.已知，椭圆C 过点35A ,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，两个焦点为()0,2，()0,2-，,E F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的斜率与
AF 的斜率互为相反数．
()1求椭圆C 的方程；
()2求证：直线EF 的斜率为定值．
【答案】（1）22
y x 1106
+=；
（2）见解析【解析】
【分析】()1由焦点坐标求得2c =，可设椭圆方程为2
2
221y x
a b +=，可得22222591444
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解方程即可；()
2设()11,E x y ，()22,F x y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入22
1106
y x
+=，求出点E 的坐标，
再将k 换为k -，求出F 的坐标，即可求出直线的斜率，再化简即可得结果.
【详解】()1由题意c 2=，可设椭圆方程为22
221y x
a b +=，22222591444
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得210a =，26b =，∴椭圆的方程为22
1106
y x +=.()2设()11E x ,y ，()22F x ,y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入22
1106
y x
+=得
()()22
233353533(30022k x k k x k ++-+-+-=，()12
3353352
k k x k -∴=-+，113522y kx k ∴=-+，
又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，再上式中以k -代k ，可得
()223353
35
2
k k x k ---=
-
+，2235y kx k 22∴=-++，∴直线EF 的斜率
()()()()()22
12212121
223353353333523523133533533352352
k k k k k k k k k x x k y y k k k k k x x x x k k ----⎛⎫--+-+ ++-++-⎝⎭=
==--------+
++.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，考查了运算求解能力，化归与转化思想的应用，属于难题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.。