魔方数学原理

魔方数学原理
通常所说的魔方，其国际标准称呼是鲁比克魔方，由匈牙利布达佩斯应用艺术学院的
建筑学教授鲁比克—艾尔内于年发明! 关于鲁比克发明魔方的初衷，流传甚广的一个说法
是为了发明一种教具，以帮助学生理解、认识立体空间的构造。

鲁比克一开始并没有意识到他发明了一个极其具有挑战性的益智玩具，当他第一次将
自己发明的魔方打乱，才发现了这个后来被无数人反复证明的事实：原始状态的魔方一旦
被打乱，想要将其复原是一件极其困难的事情。

年初，一家玩具公司将魔方带往在巴黎、伦敦和美国举行的国际玩具博览会展览。

此
后没多久，随着魔方生产技术的改良，魔方快速红遍全球。

至年，短短的3年间魔方在全
球就卖出了多万只，而至今天，全世界卖出了数亿只魔方，魔方已经沦为全球最为盛行的
玩具之一。

魔方核心是三个相互垂直的轴，保证魔方的顺利转动。

外观上，由26个小正方体组
成一个正方体。

其中包括与中心轴相连的中心方块6个，相对位置固定不动，仅一面涂有
颜色;棱块12个，两面有颜色;角块8个，三面有色。

复原状态下，魔方每面都涂有相同
的颜色，六个面的颜色各不相同。

魔方每个面都可以自由转动，从而打乱魔方，形成变化
多端的组合。

魔方女团的数量可以按照如下方式排序：8个角块可以交换边线，存有8!种女团
(8=8*7*6*5*4*3*2*1)，又可以滑动，每个角块可以具备’种空间边线，但因为无法单独
滑动一个角块，须要除以3，总共存有8!* 37种女团;12个棱块可以交换边线，获得12!，又可以滑动，获得，但因为无法单独滑动一个棱块，也无法单独互换任一两个棱块的边线，须要分别除以2，获得12!*/(2*2)种女团。

综上，获得魔方的所有可能将女团数为：
8!*37*12!*/(2*2)=43,,,,,,≈4.33*
这是一个天文数字，如果某位玩家想要尝试所有的组合，哪怕不吃不喝不睡，每秒钟
转出十种不同的组合，也要花上千亿年的时间才能如愿，这约是当前宇宙年龄的10倍。

实际上，如果将魔方拆下随意女团，其女团情况将多达5.19*种。

也就是说，如果抛
弃魔方，再随意加装，存有11/12的几率无法恢复原状。

所以如果魔方被抛弃，加装时应
按复原状态加装，否则极可能会无法复原。

魔方复原的另一个困难来自于我们只能按特定的方式复原，即反复旋转某一面，一面
上的9个方块必须整体参与运动，这样我们在复原过程中总是会打乱已经复原的部分，这
种限制大大加大了复原魔方的难度。

很似乎，任一女团的魔方都可以在非常有限步骤内复原，那么，问题去了，与否存有
复原任一女团魔方所需的最少旋转次数n?也即为，如果至多展开n次旋转便可以将任一魔
方复原，这个n具体内容为多少?这个数字n被称作上帝数字，从魔方刚刚盛行的年便被
加了出。

当然，对任意的魔方，寻找最少的转动步骤是极其困难的，需要针对每种情况寻找特
定的步骤。

一般的，还是利用本文前面所述的复原办法，只需学习记忆少量的套路或公式，如cfop法，需要学习记忆个公式，平均只需55次转动便可复原魔方。

数学就是一门充满著魅力的学科，在它繁杂表面的背后，暗藏着大量极其直观、可爱
的规律。

有意思的游戏、手头的玩具，往往在直观中蕴含着深刻的数学规律。

而繁杂的数
学经常以极其直观、可爱的形式展现出。

对于魔方，我们应该都不陌生，近两年来,魔方初级玩法，稍微细心一点的人都可以
发现，魔方作为益智玩具的一种，已经被越来越多的摆上了货架，被越来越多的人所喜爱。

不久以前，我因为无聊，也就拿了一个魔方来，准备学习学习。

(其实是因为同学说，许
许多多数学牛人魔方都玩得很好，所以就虚荣心作祟了)然后又有一个同学和我说：\"玩
魔方没有意思，一看到魔方我就想起小学那些奥赛题了。

\"其实在研究了之后，我不认同
这一点，我认为魔方作为一个特殊的代数结构，还是有其相当大的存在价值和研究价值的。

这篇文章主要是由一些魔方的入门知识(科普版)和数学原理(数学版)组成的。

科普版主要
写魔方的基本知识，以及其玩法，启发公式的重要性。

数学版主要是对魔方的数学原理进
行探究，其中包含群论的一些内容。

科普版：
魔方(rubik's cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在年发明的。

他发明魔方
的目的是考察建筑学院学生的空间建构能力。

具体地说，魔方由26块组成，具有12个棱块，8个角块，6个中心块组成，魔方中心那一块是中空的。

同时6个中心块是无法移动的。

那么，其实，一个魔方只有12个棱块，8个角块可以移动。

(其实，拆过魔方的人都
清楚，我就是一个拆魔方狂热分子。

)。

转动魔方只有一种操作，那就是，将一个面
顺时针转90度。

其他所有操作，都是这个操作复合而成的。

那么，这一个操作，可以将
魔方变出多少种不同的状态呢?答案是4.3*10^19。

如此复杂的一个状态集合，也难怪大家难以把一个魔方复原了。

我钦佩那些没通过自学魔方玩法而自己把魔方复原出的人。

我自己就没，(其实就是
我一位同学太坏了!他把我的魔方拆下，又上装上，于是那个就是一个永不可以复原的魔方，逃得我后来黑搬了半个月，只复原成只有一个角块不对，当然我也非常感谢这位同学，他使我思索了到底把魔方拆毁了再比拼上，就是一个恰当魔方的概率存有多小，参见数学版)这些没自己把魔方复原的人大都代价了大量的不懈努力。

我非常敬佩这些人的毅力。

正是他们，辨认出了一个又一个的魔方公式，才并使我们还原成魔方的速度显得越来越快。

普通玩法，也就是各种爱好者啦，他们满足于复原一个魔方，而不作更高的要求。

竞速玩法，为了崇尚更高的速度的玩法，这些复原方法就是万能方法，而且他们运用
的就是复原方法中比较慢的一种。

我在这里写下几种复原方法：
1. 层进法(入门方法)：将魔方的一层一层进行还原，每一层进行还原，最后复原整
个魔方，这种方法如果有一个好魔方1min之内可以轻松完成。

2. cfop法(主流方法)：分成4步顺利完成，c=cross(底层十字)f=first 2
layers(前两层)o=orient last layer(顶层定位)p=position last layer(顶层定向)。

这
个方法可以在30s内随心所欲顺利完成。

这些方法大都和cfop方法属于一个系统的。

一般只是稍微的改变一下。

时间上的节省就是用记忆力换来的，层进法只须要记忆不过20种情况，没10个公式
即可，而cfop法则须要记忆上百种情况，及其所对应公式。

所以为了比别人慢，记忆很
多东西就是不可避免的。

层进法须要大约步，而cfop法须要大约60步。

关于群论上理论
证明，复原任一一个魔方，只须要最多26步(这个界不是很紧的)，那么我们可以设想，
如果一个人大脑存有足够多的容量，记忆足够多多的公式，那最多26步就可以顺利完成了，确实就是一个缔造吉尼斯纪录的成绩。

不过，我真的，比速度。

至少对于我来说，
记忆没法那么多吧。

所以这种玩法其实就是记忆公式。

盲拧：蒙着眼睛把一个魔方复原，是不是一件很神奇的事情呢?如果按照cfop法，这
可不可能呢?答案是否定的，从盲拧和正常拧的世界纪录就可以看出它们用的方法不是一种，至今没有一个人成为这样的记忆奇才。

因为百余种情况不是闹着玩的，而且每完成一
步以后需要观察再进行下一步，蒙着眼睛是做不到的。

这就需要一个神奇的公式三轮换
公式，通过这个公式，不仅仅使我们变换的块数最少，而且还减小了它们之间的相互影响，这也使盲拧变成了一种可能。

只需要记住4个公式就可以完成。

当然同时，更让人头疼的
可能是记住20块的位置朝向了。

所以说，盲拧与其说是神奇，倒不如说是记忆位置。

这
个在cctv科学探索中播出过。

最轻步数复原：这个很nb。

必须就是通过记公式算是公式吧，我不太介绍原理了。

就把记录写下在这里。

目前的世界纪录就是28步还原成，耗时2个半小时。

还有单拧(单手拧)脚拧。

当然我认为这些是无聊的。

数学版：
曾经有个人发表了一个一篇关于三轮换的文章，结果。

有人钦佩，有人讽刺，只有
极少数的人和作者进行了讨论。

魔友大部分只是记住公式，其实也不用知道原理。

他们也
许是对的，不过，我在这里说一句，我觉得中国对于数学至少是不重视的，数学只是作为
一种升学手段应用于应试教育中。

尤其是奥数，其实数学当中哪里有那么多的技巧??奥数
中绝大部分的题目来源于同年龄段更高等的数学之中。

很多人都说奥数题又偏又难，为什么，因为他们没有学过相关知识而去做题，不习惯那些思考方式，怎么会不觉得难?为什
么陶哲轩12岁拿到奥数金牌并且成为数学大师而中国本土出了那么多奥数金牌却都平平
庸庸?因为陶哲轩不是做题做出来的，他在12岁前就把微积分学完了而且学得很好。

再者
中国为什么那么多人痛恨数学?做题做的。

数学是很直观的东西，每一个概念都对应一个
直观，从生活中抽象出来，只要用心看就有收获。

符号：u=upper, f=front, b=back,魔方东站论坛, r=right, d=down, l=left
我们将魔方面对右面(r面)，看到右面一层如下左图，转动y3后如右图，就可得出各块的变动。

相似分析z3，
二者复合为
其中对角方块，右上角的正号则表示此块顺时针转回2π/3 ，负号则表示反时针转回。

对棱方块则表示存有一个方向的滑动。

上面分析表明，经过y3,z3两个旋转，上右前角
块返回原地，但顺时针转回了2π/3 。

除了5个角方块搞了一个轮休，各反华时针转回了
2π/3 ，或说顺时针转回了4π/3 。

7个棱方块搞了一个轮休。

可以看出这是一个置换群，它是全部状态的一个子群，但它不是一个普通的20阶群，因为其棱块角块的朝向问题，魔方的群结构比一般的20阶群更复杂。

而且它有另一个特
点更为特殊。

特定之处是两个三轮休公式(分别就是对棱块，角块)，这个公式我首先就是直观认识
到的，就是我在自学层进法中众多公式的一个，它的意义是我们可以把3个棱块(角块)交换，相等于()->()，而且在确认边线的情况下，这3块的朝向就是确认的。

我本来没急于
回去证明这个结论，因为我们线性代数老师说道过：\"如果你有错这件事情的话，亲自回
去罢了不就行了。

我们证明对于棱块的三轮换公式是存在的。

设想有两个轮换t1, t2, 它们分别代表一个对于魔方的置换。

这两个轮换有一个特点，他们变换了一个相同的棱块记为a，t1中
a1->a,魔方高级玩法公式，t2中b1->a,下面我们做一个共轭变换t=(t1')(t2)(t1)，t是
什么呢?t是一个近似t2的变换，只不过t1的a1变到t2的\"轨道\"里去了，而a还在原来的位置，下面我们做(t2')(t),就有a1,a,b1互换位置。

我们存有图解如下：
其实证明中有一个小小的问题，因为只有8个角块，所以说我们要找两个共用一个角
块的四轮换才可以，我们可以利用上述方法继续找，方法不详述了。

推断：我们能够找出任一三轮休公式(即为任何3个棱块(角块)都存有三轮休)。

对棱块进行说明，记6个棱块，，首先我们能找到两个三轮换(),(),我们作一个共轭
变换()()()'=()，这样我们就从一个三轮换推到了另一个三轮换。

我们再找一个关于6的
棱块，把()共轭成()，这样，三个棱块都是任选的了，证毕。

三轮休公式全然说明了魔方中角块和边块就是互不影响的!也就是我们可以把魔方的
20块切割成12个角块和8个边块分别展开研究。

下面我有些?。

我必须表明二轮休公式就是不存有的，不过我没证明出，但它的确就是不存有的。

也许哪位低人可以帮忙我。

其
实计算机搜寻必须就是可以化解的。

但一个纯数学的证明可以更好些。

下面讨论如果把一个魔方拆了之后再拼上，正确概率有多大?我们知道一个好的魔方
和一个不好的魔方只是不在一个\"轨道\"里，但是他们变出的状态时一样多的，因为他们
同构。

所以说我们只需要算出魔方不同轨道个数即可。

我们首先排序出来随便造出的魔方存有多少种状态，这就是可以由初等数学的排列组
合化解的。

12!*8!*2^12*3^8=
然后我们利用上面的结果，把角块和棱块分离考量。

对于棱块，全部恰当就是一种情况，如果我们把一块棱块朝向发生改变，其余都恰当，就是不容复原的。

而这一个棱块可
以在任一边线，它们都在一个轨道内(这个用任一三轮休公式可以证明)。

除了一种就是两
个棱块对调边线，特别注意对调边线之后再发生改变朝向也就是可以库梅兹这种情况里的，而3个棱块及以上的对调，都可以用三轮休公式约简至2个棱块及以下的对调。

所以对于
棱块来说，只有3种情况。

同样，由于角块多了一种朝向，所以就是4种，那么，我们一
共存有3*4=12个轨道。

在这12个轨道里，我们只有一个是正确的，所以我们随意拼上正确的概率为1/12。

由此，我们可以排序魔方的状态数：12!*8!*2^12*3^8*1/12=
后记：
其实我存有更深的思索，魔方只是群论中的一个具体内容例子，但它已经如此繁琐，
非常有限群的研究不是那么直观的事情。

而23步就一定能够复原一个魔方给了计算机科
学更大的挑战。

如何搜寻，能够无法发生更新的技术都就是大魔方能够导入的大问题。

实
际上，把魔方用群的语言则表示出，最后找出复原求解，就是一个单纯符号的排序，它只
牵涉至置换群的乘法，必须找出复原魔法的最轻步骤求解，只需把分解成最少次乘法。

研
究这个搜寻技术必须对研究置换群的运算就是存有非常大好处的。

将魔方符号化是有好处的，它直接允许我们用计算机来研究魔方。

把魔方当做数学看看，真的就是一件很有意思的事情，也就是自学群论的一种手段吧。