安徽省滁州市2018_2019学年高二数学上学期期末联考试题理(含解析)

滁州市2018-2019学年度第一学期期末联考
高 二 数 学(理科)
一、选择题
1.若集合2
{|20}A x x x =-<，则R C A =（ ） A. (0，2) B. [0，2]
C. (),0-∞
D. [)2,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
求得集合{|0A x x =<或2}x >，根据集合的补集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合2
{|20}{|0A x x x x x =-<=<或2}x >，所以
{|02}[0,2]R C A x x =≤≤=，
故选B.
【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，熟记集合的补集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2.已知命题p ：0x ∀>，20x x -<，则p ⌝是（ ） A. 0x ∀>，20x x ->
B. 0x ∀>，20x x -≥
C. 00x ∃>，0020x
x -≥
D. 00x ∃>，0020x
x ->
【答案】C 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定是存在性命题，即可得到命题的否定形式，得到答案.
【详解】根据全称命题的否定是存在性命题，可得命题“:0,20x
p x x ∀>-< ”， 则:0,20x
p x x ⌝∃>-≥，故选C.
【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，属于基础题.
3.若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（ ）
A. 79
B. 79.5
C. 80
D. 81.5
【答案】A 【解析】 【分析】
由给定的茎叶图得到原式数据70,71,72,76,82,82,85,87，再根据中位数的定义，即可求解. 【详解】由题意，根据给定的茎叶图可知，原式数据为：70,71,72,76,82,82,85,87， 再根据中位数的定义，可得熟记的中位数为
7682
792
+=，故选A. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及中位数的概念与计算，其中真确读取茎叶图的数据，熟记中位数的求法是解答的关键，属于基础题.
4.设抛物线2
14
y x =
的焦点为F ，点P 在抛物线上，则“||3PF =”是“点P 到x 轴的距离为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据抛物线的定义和标准方程，即可判定充分性和必要性都成立，即可得到答案. 【详解】由题意，抛物线2
14
y x =可化24x y =，则24p =，即2p =，
设点P 的坐标为(,)x y ， 因为
3PF =，根据抛物线的定义可得，点P 到其准线的距离为32
p
y +
=， 解得2y =，即点P 到x 轴的距离为2，所以充分性是成立的；
又由若点P 到x 轴的距离为2，即2y =，则点P 到其准线的距离为213+=，
根据抛物线的定义，可得点P 到抛物线的焦点的距离为3，即3PF =，所以必要性是成立的，
即“
3PF =”是“点P 到x 轴的距离为2”的充要条件，故选C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记抛物线的定义和标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5.有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（ ） A. 006 B. 041
C. 176
D. 196
【答案】B 【解析】 【分析】
求得抽样的间隔为10，得出若在第1组中抽取的数字为6，则抽取的号码满足104n -，即可出判定，得到答案.
【详解】由题意，从200人中用系统抽样的方法抽取20人，所以抽样的间隔为
200
1020
=， 若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足6(1)10104n n +-⨯=-，其中n N +∈， 其中当4n =时，抽取的
号码为36；当18n =时，抽取的号码为176；当20n =时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中，故选B.
【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的抽取方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6.在等差数列{}n a 中，11a =，且21a a -，31a a -，41a a +成等比数列，则5a =（ ） A. 7 B. 8
C. 9
D. 10
【答案】C 【解析】 【分析】
由213141,,a a a a a a --+成等比数列，求得2d =，再由等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，
由213141,,a a a a a a --+成等比数列，则()()()2
312141a a a a a a -=-+， 即()()2
223d d d =⋅+，解得2d =或0d =（舍去）， 所以5141429a a d =+=+⨯=，故选C.
【点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
7.命题p ：函数2
1y x ax =-+在(1, )+∞上是增函数. 命题q ：直线20x y a --=在x 轴
上的截距大于0. 若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2a ≥
B. 0a ≤
C. 02a <<
D.
02a <≤
【答案】D 【解析】 【分析】
根据二次函数的性质，求得命题p 为真命题时，2a ≤，命题q 为真命题时，0a >，再根据p q ∧为真命题，即,p q 都是真命题，即可求解.
【详解】由二次函数的性质，可得函数2
1y x ax =-+在(1,)+∞是增函数，则12
a
≤，即2a ≤， 即命题p 为真命题时，则2a ≤；
由直线20x y a --=在x 轴上的截距为a ，因为截距大于0，即0a >， 即命题q 为真命题时，则0a >；
又由p q ∧为真命题，即,p q 都是真命题， 所以实数a 的取值范围是02a <≤，故选D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、直线的截距，以及简单的复合命题的真假判定与应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8.在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）
A.
4
π B.
3π
C.
2π
D.
1π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案. 【详解】由题意，边长为2的正方形的孔的面积为1224S =⨯=， 又由半径为2的圆形纸板的面积为224S ππ=⨯=，
根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为1414S P S ππ
===， 故选D.
【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9.若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数(2)10101化为十进制数(注：
01234(2)101011202120212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯)，那么处理框①内可填入（ ）
A. 2S S i =+
B. S S i =+
C. 21S S i =+-
D.
2S S i =+
【答案】D 【解析】
【分析】
由二进制数化为十进制数，得出(2)1010121=，得到运行程序框输出的结果，验证答案，即可求解. 【
详
解
】
由
题
意
，
二
进
制
数
()
210101化为十进制数
43210(2)10101120212021221=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
即运行程序框输出的结果为21，
经验证可得，处理框内可填入2S S i =+，故选D.
【点睛】本题主要考查了二进制与十进制的转化，以及循环结构的程序框图的计算与输出，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线1A E 与平面
11B D F 所成角的正弦值是（ ）
15 155 30 【答案】D 【解析】 【分析】
设正方体棱长为2，以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得1(0,1
,2)A E =-u u u v
和平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =r
，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ，
所以1111(0,1
,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-u u u v u u u u v u u u u v .
设平面11B D F 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则1110,0,n B D n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 即220,20,
x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则1,2y z ==，
即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =r
.
设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ，
则1130
sin 1030n A E n A E
θ⋅===⋅u u u v v u u u v v 故选D.
【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11.设双曲线22
221(0,?0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 与x 轴垂直的直
线与双曲线的一个交点为B ，且25AF BF ==，则此双曲线的离心率为（ ） A.
32
B.
43
C. 2 6
【答案】A 【解析】 【分析】
根据双曲线的标准方程和题设条件25AF BF ==，得到25
5,2
b AF a
c BF a =+===，
进而求得2,3a c ==，最后利用离心率的公式，即可求解.
【详解】由双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，可得左焦点为(,0)F c -，右顶点为(,0)A a ，
又由过F 与x 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B ，则2
(,)b
B c a
-±，
又因为25AF BF ==，即25
5,2
b AF a
c BF a =+===，且222c a b =+，
解得2,3,a c b ===
所以双曲线的离心率为3
2
c e a =
=，故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．
12.设函数1,0()2,?
0x
x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩，若123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，则22()x f x 的取值范围是（ ） A. 1
[0,?)2
B. 1(0,?)4
C. 1(0,?]2
D. 1(0,?]4
【答案】D 【解析】 【分析】
作出函数的图象，结合图象和题设条件，求得22201,()1x f x x <<=-，再利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数()1,02,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩
，如图所示，
可得当0x <时，021x <<，当01x <≤时，0()1f x ≤≤，当1x ≥时，()0f x ≥， 结合图象可得201x <<，22()1f x x =-， 所以2
2
22222221
11
()(1)()(0,]2
44
x f x x x x x x =-=-+=--+
∈，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的图象的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的图象和题设条件，求得22201,()1x f x x <<=-是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
二、填空题
13.向量(1, 3)a =-r ，(, 2)b x =r ，且a b ⊥r r
，则a b -=r r _________.
【答案】52【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算和向量的垂直关系，求得6x =，进而得到a b +r r
的坐标，利用模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量()1,3a =-v ，(),2b x =v ，且a b ⊥v v ，即320x -+⨯=，解得6x =，
所以(5,5)a b +=v v ，所以225552a b +=+=v
v 【点睛】本题主要考查了向量的垂直关系的应用，以及向量的坐标运算和向量的模的计算，着重考查了计算与求解能力，属于基础题.
14.若椭圆C ：22
21(0)1x y m m m
+=>+的焦距为23C 的长轴长为_________.
【答案】25【解析】 【分析】
根据椭圆的性质222a c b -=，列出方程求得m 的值，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，椭圆22
2:1(0)1x y C m m m
+=>+的焦距为23，
则221(3)m m +-=，解得2m =，所以215m +=， 所以椭圆C 的长轴长为22125m +=.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中熟记椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15.已知样本数据为40，42，40，a ，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________. 【答案】
221
【解析】 【分析】
由平均数的公式，求得49a =，再利用方差的计算公式，求得2
28
3
s =，即可求解. 【详解】由平均数的公式，可得1
(4042404344)436
a +++++=，解得49a =， 所以方差为
2222222128[(4043)(4243)(4043)(4343)(4343)(4443)]63
s =-+-+-+-+-+-=，
所以样本的标准差为221
s =
. 【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差、标准差的计算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，侧棱PA ⊥底面ABCD ，
3AB =，2PA =，则异面直线AC 与PB 所成角的余弦值为_________.
【解析】 【分析】
以,OA OB 分别为,x y 轴，以过O 点平行与PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求得向量
,OA PB u u u v u u u v
的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由题意，以,OA OB 分别为,x y 轴，以过O 点平行与PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，
则33
(,0,0),(,0,2)22
A B P ，
所以3
3(,0,0),(2)2
2OA PB ==--u u u v
u u u v
， 设AC 与PB 所成的角为θ
，则cos OA PB OA PB
θ⋅==⋅u u u v u u u v
u u u v u u u v
所以AC 与PB
所成的角的余弦值为
14
. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为两个向量所成的角，利用向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
三、解答题
17.在ABC ∆中，角, , A B C 的对边分别为, , a b c
，且sin cos 0a B A +=. (1)求A 的大小； (2)
若a =
3b =，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）23A π=；（2
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin B ≠0求出tan 3A =-，即可确定出A 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cos A 的值代入求出c 的值，再由b ，sin A 的值，利用三角形面积公式求出即可．
【详解】（1）由正弦定理得sin sin 3sin cos 0A B B A +=， ∵sin 0B ≠，∴sin 3cos 0A A +=，∴tan 3A =-， ∵0A π<<，∴23
A π
=
（2）∵2
2
2
22cos
3
a c
b b
c π
=+-，7a =，3b =， ∴23400c c +-=，解得5c =或8c =-（舍）， ∴12sin 23ABC S bc π∆=
= 13153
352⨯⨯⨯=. 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在
[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区
间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.
（1）求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率. 【答案】（1）20；（2）
7
10
【解析】 【分析】
（1）选取的市民年龄在[]
40,45内的频率，即可求出人数；
（2）利用分层抽样的方法从第3组选3，记为A 1，A 2，A 3从第4组选2人，记为B 1，B 2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出.
【详解】（1）由题意可知，年龄在[]
40,45内的频率为0.0250.1P =⨯=， 故年龄在[]
40,45内的市民人数为2000.120⨯=.
（2）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3:2， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人.
记第3组的3名分别为1A ，2A ，3A ，第4组的2名分别为1B ，2B ，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为()12,A A ，
()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有10种.
其中第4组的
2名1B ，2B 至少有一名被选中的有：()11,A B ，()12,A
B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有7种，所以至少有一人的年龄在[)35,40内的概率为7
10
.
【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
19.商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A 按以下单价进行试售，得到如下数据：
(1)求销量y 关于x 的线性回归方程；
(2)预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的线性回归方程.，已知每件商品A 的成本是10
元，为了获得最大利润，商品A 的单价应定为多少元？(结果保留整数)
(附：1
12
22
11
()()()
n n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b x x x
nx ∧
====---=
=
--∑∑∑∑，a y b x ∧∧
=-.
【答案】（1） 2.7100.9y x ∧
=-+；（2）24. 【解析】 【分析】
（1）根据表格中的数据，利用公式，求得ˆˆ2.7,100.9b
a =-=，即可得到回归直线的方程； （2）由（1）求得利润的表达式，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意得15161718196058555349
17,5555
x y ++++++++=
===，
所以5
1
5
2
22
1
5464851755
2.7,55( 2.7)17100.91ˆ45ˆ55175i i
i i
i x y xy
b
a
y bx x
x ==--⨯⨯==
=-=-=--⨯=-⨯-∑∑， 所以y 关于x 的线性回归方程为 2.710.9ˆ0y
x =-+； （2）由题意得，获得的利润2
(10) 2.7127.91009z x y x x =-=-+-， 所以当127.9
245.4
x =
≈时，z 取得最大值， 所以单价定为24元，可获得最大利润.
【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及其应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AD BD ⊥，2AB AD =，且
PD ⊥底面ABCD .
(1)证明：平面PBD ⊥平面PBC ；
(2)若二面角P BC D --为
6
π
，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】 【分析】
（1）先由PD ⊥底面ABCD ，得到PD BC ⊥，再在平行四边形ABCD 中，得到BC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得BC ⊥平面PBD ，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面
PBC ⊥平面PBD .
（2）由（1）知，分别以,,DA DB DP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，求得平面PBC 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥， 因为平行四边形ABCD 中，//,AD BC AD BD ⊥，所以BC BD ⊥， 因为PD BD D ⋂=，所以BC ⊥平面PBD ， 而BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD . （2）由（1）知，BC ⊥平面PBD ，
所以PBD ∠即为二面角P BC D --的平面角，即6
PBD π
∠=
，
分别以,,DA DB DP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 设2BD =，则1AD PD ==,
则(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(0,0,1)A B C P -, 所以(1,0,1),(1,0,0),(0,2,1)AP BC BP =-=-=-u u u v u u u v u u u v
， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则0020
0x n BC y z n BP ⎧-=⎧⋅=⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎩u u u v v u u u v v ，令1y =，得(0,1,2)n =r ， 所以AP 与平面PBC
所成角的正弦值为sin 5AP n AP n
θ⋅===⋅u u u v v u u u v v .
【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21.已知圆2
2
:2210C x y x y ++-+=和抛物线2
:2(0)E y px p =>，圆C 与抛物线E 的准线交于M 、N 两点，MNF ∆的面积为p ，其中F 是E 的焦点. （1）求抛物线E 的方程；
（2）不过原点O 的动直线l 交该抛物线于A ，B 两点，且满足OA OB ⊥，设点Q 为圆C 上任意一动点，求当动点Q 到直线l 的距离最大时直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）520y x =-
【解析】 【分析】
（1）由题意表示MNF ∆的面积，解出p 值，即可求出抛物线的方程；
（2）利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程．
【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()2
2
111x y ++-=，圆心坐标为()1,1-.
抛物线的焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线方程为2p x =-，
将2p x =-代入圆方程，得2
14
p
y p =-，
∴2MN =24p p -MNF ∆的面积为2
4
p
p p p -=，
∴2p =，∴抛物线E 的方程为2
4y x =.
（2）设l 的直线方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组得：
24y x x my t
⎧=⎨
=+⎩，消去x ，整理得2
440y my t --=， 令216440m t ∆=+⨯>，得20m t +>. 由韦达定理得121244y y m
y y t
+=⎧⎨
=-⎩，①
则()()1212x x my t my t =++= ()2
2
1212m y y mt y y t +++.
由于0OA OB ⋅=u u u v u u u v
，可得12120x x y y +=.
即()
()2
2
121210m y y mt y y t ++++=，②
将①代入②整理得()40t t -=.
由于0t ≠得4t =，则直线l 过定点()4,0N ， 当CN l ⊥时，圆心到直线的距离取得最大值， 此时101
145
CN k -=
=---，则直线l 的斜率为5k =，
所以直线l 的方程为520y x =-.
【点睛】本题考查的知识要点：抛物线的方程的求法，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，直线的方程的求法．
22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
过点
与点(1,?-.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 过定点1
(0,)2-，且斜率为()1
0k k
-
≠，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，O 为坐标原点，求k 的取值范围及AOB ∆面积的最大值.
【答案】（1）22
12x y +=；（2
）0,22k ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，2.
【解析】 【分析】
（1）把两点的坐标代入椭圆的方程，求得2
2
,a b 的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立方程组，由>0∆，即2221k m +>，以及根
与系数的关系，得到线段AB 的中点坐标，代入直线方程l 方程，求得2
122
k m +=，再利用两
点间距离公式和点到直线的距离公式，得到AOB S ∆的表达式，即可求解.
【详解】（1）由题意，可得2222
23144121
4a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22
2,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.
（2）由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，
由22
12
y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222
(12)4220k x kmx m +++-=， 所以>0∆，即2221k m +>，……….①
且2121222
422
,1212km m x x x x k k
-+=-=++， 所以线段AB 的中点横坐标02212km x k =-
+，纵坐标为00
2
12m
y kx m k =+=+， 将00,x y 代入直线l 方程112y x k =--，可得2
122
k m += ……… ②，
由①②可得2
32k <
，又0k ≠
，所以(k ∈⋃，
又AB ==
且原点O 到直线AB
的距离d =
，
所以2122(12)
AOB m S AB d k ∆=
=+
=
=
所以1m =时，AOB S ∆最大值
2
，此时2k =±，
所以2k =±
时，AOB S ∆最大值2
. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。