力学习题课

解：（1）根据转动定律 M = Jβ
M 1 mgl cos 60 mgl / 4 2
于是 M 3g 7.35 rad/s2
J 4l
mg
60°
（2）当棒转动到水平位置时，
M = mgl / 2
M 3g 14.7 rad/s2
J 2l
例2. 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水 平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由 静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中， 下述说法哪一种是正确的？
N2 T1
T2 Mg
T2 kx
N3
⑵物块下落的最远位置在哪里？
T1 N1
mg
V 0; 0
E
1 2
kxm2ax
mgxmax
sin
E0
0
xmax
2mg sin
k
例2：如图示已知： M=2 m ，h， =60 °，初始时刻均静止。
求：碰撞后瞬间盘的
0
？
P 转到 x 轴时盘的 =? ?
解： m下落：
N2
解： 取系统： m、J、k、地球
T1 T2
Mg T2
分析受力情况：
T1 N1
外力： N1 , N2 内力： 保内： mg , Mg ,kx
kx
mg
非保内： T1 ,T2 , N3
N3
N2 T1
T2 Mg
T2 kx
N3
⑴ 物块运动至何处时达到最大速度？ 最大速度是多少？
T1 N1
A外 0 A外矩 0
1 M0 (M 3m)
2. 环脱离杆。
V 0 V sin V
Am
M
l
B
设：脱离后瞬间，杆具角速度2 ，环具速度V（与杆夹角 ）
角动量守恒：J11 J22 m V sin l
其中:
J2
1 Ml 2 3
连带关系： V sin V 2l
1
2
机械能守恒：
1
2
J
0
2 0
1
2
J
2
2 2
12 mV
(A)角速度从小到大，角加速度从大到小. O
A
(B)角速度从小到大，角加速度从小到大.
(C)角速度从大到小，角加速度从大到小.
(D角速度从大到小，角加速度从小到大.
[ A]
三、动量、角动量及其守恒问题：
例1：一柔软绳长 l ，线密度 r，一端紧邻地面开始自由下落。 求：下落的任意时刻，绳给地面的压力为多少？
则：
mgR
sin
1 2
J
2 o
1 2
J 2
(5)
由 (3)(4)(5) 得：
gh 2R2
cos2
g sin
R
1 g (h 4 3R) 2R 2
( 60 )
M J
mgR 2mR 2
g 2R
T1 N1
V
2
mgx sin 1
1 2(m J
2kx2 R2 )
kx
mg
dV dt
mg sin
mJ
kx R2
令0
N3
代入
最大速度时物块的移动距离： x mg sin k
物块运动的最大速度：Vmax mg sin 1 k(m J
R2 )
1 2
⑵物块下落的最远位置在哪里？
V 0; 0
理。有没有坐标或标定正方向！
2）物理量的相对性： 相对什么参照系、参考点或物体
比如：速度、加速 度 vAC vAB vBC
或：
v AB v AC vBC
a AC a AB aBC 或： a AB a AC aBC
二、牛顿第二定律及转动定律：
二者解决问题的方法相类似： 取研究对象； 作受力分析； 列方程求解。
N rgl r d( yV )
dt
d ( yV ) yg V 2
dt
g dV V gt dt
运动关系: y l 1 gt 2
l yV2 2g
2
y
d( yV ) yg 2(l y)g dt
N 3rg(l y)
y
l
0
例2：光滑水平面上放有一质量为M 的木块，木块与一劲度系数 为k 的弹簧相连，弹簧的另一端固定在O 点。一质量为m 的 子弹以初速V0 沿垂直于OA 的方向射向木块，并嵌在其内。 初始时弹簧原长为L0 ，撞击之后木块M 运动到 B 点时，弹 簧长度变为L ，此时 OB⊥OA 。
sin1[mV0L0 L m2V02 k(L L0 )2(m M )]
例3：质量为m 的小圆环套在长为l ，质量为 M 的光滑均匀杆 AB上。杆AB可以绕过其A 端的固定轴在水平面上自由 旋转。开始，杆旋转的角速度为0 ，而小环位于A 点处； 当小环受到一微小的扰动后，即沿杆向外滑行。
求：当小环脱离杆时的速度（方向用与杆的夹角 表示）
解： 全过程角动量守恒、机械能守恒。
1. 环自A运动至B（脱离杆之前），
B 处两者具有相同的角速度1
角动量守恒： J00 J11
0
Am
M
l
V
B
其中:
J0
1 Ml 2 0 3
J1
1 3
Ml
2
ml
2
2. 环脱离杆。
1 M0 (M 3m)
设：脱离后瞬间，杆具角速度2 ，环具速度V（与杆夹角 ）
2 N
T2'
M2g T2 m2g a2
连带条件：
a1 R11 a2 R22
且 : a1 a2
分析受力后，应设定各 物的加速度方向。
物块： m2g T2 m2a2
T1 m1g m1a1
滑轮： T2R2 T1R1 J
⑹ 阶梯轮
T1' a1
T1
N
R2
R1
mg T2' a2
T2
连带条件： a1 R11 a2 R22
解： 以地面为原点竖直向上为正建如图坐标。
设压力为 N
y
F N rgl dp
dt
p ryV dp r d( yV )
dt
dt
y
l
N rgl r d( yV )
0
dt
d( yV ) y dV dyV
dt
dt dt
又有 :V dy dt
g dV dt
d( yV ) yg V 2 dt
mgh 1 mV 2 2
V 2gh (1)
以m、M和地球为系统，则角动量守恒：
mVRcos J o (2)
J 1 MR2 mR2 2mR2 (3)
2
由 (1)(2)(3) 得：
o
2gh cos
2R
(4)
对 m+M+地球系统，
只有重力做功， E 守恒，
令
P、x 重合时
E =0。 P
2
V 0l
M 3m sin1
M(3m 2M ) M
M(3m 2M )
四、功与能量问题：
例1：图示系统中，已知斜面倾角、物块质量m、滑轮的转动惯
量J、滑轮半径R、弹簧劲度系数k。设：斜面光滑；初始状 态时物块m静止，弹簧为原长。 求：⑴ 物块运动至何处时达到最大速度？最大速度是多少？ ⑵物块下落的最远位置在哪里？
求：在B 点时木块M 运动速度的大小及方向。
o
L
L0
V0
V1
A
B
解：1. 子弹射入木块瞬间：
以子弹、木块为研究对象,
Fx 0
则动量守恒：
mV0 (m M )V1 V1 mV0 (m M )
2. 子弹与木块共同从 A 至B 的过程：
o
L0
V0
V1
A
V sin V V
L
B
V1 mV0 (m M )
mg
A非保内 0
则：机械能守恒。
设：初始状态是势能为零的情况。
E0 Ek Ek转 E pG E pk 0
相等
E 1 mV 2 1 J 2 1 kx2 mgx sin
2
2
2
V
2
mgx sin 1
1 2(m J
2kx2 R2 )
N2 T1
T2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱg
T2
⑴ 物块运动至何处时达到最大速度？ 最大速度是多少？
2. 子弹与木块共同从 A至 B的过程：
以子弹、木块、弹簧为对象
A外 A非保内 0
则：机械能守恒。
1 2
(m
M
)V12
1 (m 2
M
)V
2
1 2
k(L
L0
)2
M外 0
V
m 2V02 (m M )2
k(L (m
L0 M
)2 )
则：角动量守恒。
(m M )V1 L0 (m M )V L (m M )V sin L
常见的情况为两者的结合，主要形式有：
f
N1 T1
T1' N3
N3 T1'
0 G1 a
G3 T2' T2
⑴N
G2
a
N1 T1 f
G3
T2' T2
G1
0
N
G2 ⑵
T1' G
T1
G1
T2' ⑶
T2 G2
（绳的一端 固定于滑轮）
⑷
T1'
G T1
G1
⑸ N
1
T3
T1' a1 T1 M1g
m1g
T3'
m1 g
且 : 1 2
m2 g
例1 . 一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平
光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后
无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为 1 m，l 2其
中m 和 l 分别为棒的质量和长度．求：
3
(1) 放手时棒的角加速度；
(2) 棒转到水平位置时的角加速度． m, l
(三) 距转轴r 处质元的线量和角量的关系
v r a r an r 2 参考点
(四) 势能的定义： EP Aa参考点 a
F保守力 dr
(五) 保守力与势能的关系： F保守力 gradE P
( E p x
i
E p y
j
E p z
k)
（六）两点注意：
1）物理量的量性---矢量还是标量，还是矢量当作双向标量处