浙江宁波市海曙区五校联考2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(解析版)

2023-2024学年浙江省海曙区五校联考数学八上期末学业水平测试试
题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效．
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．
一、选择题（每题4分，共48分）
1. 如图，把ABC 剪成三部分，边AB BC AC ，，放在同一直线l 上，点O 都落在直线MN 上，直线MN l ∥．在ABC 中，若130BOC ∠=°，则BAC ∠的度数为（ ）
A. 70°
B. 75°
C. 80°
D. 85°
【答案】C
【解析】
【分析】过点O 分别作OD AC ⊥D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，如图所示，得到点O 是ABC 的内心，即点O 为三个内角平分线的交点即可得到答案．
【详解】解：过点O 分别作OD AC ⊥于D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，如图所示：
∵直线∥MN AB ，
∴OD OE OF ==， ∴点O 是ABC 的内心，即点O 为三个内角平分线的交点，
∴()()22180130100ABC ACB
OBC OCB ∠+∠=∠+∠=°−°=°， ∴80BAC ∠=
°， 故选：C ．
【点睛】本题考查三角形内心，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键． 2. 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A. 16
B. 11
C. 3
D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系即可解答．
【详解】解：设第三边的长度为x ，
由题意得：7﹣3＜x ＜7+3，
即：4＜x ＜10，
故选：D ．
【点睛】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
B. 对顶角相等
C. 等边三角形的三个内角相等
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】B
【解析】
【分析】先交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、对顶角的定义、等边三角形的判定方法、线段的垂直平分线定理的逆定理对四个逆命题进行判断．
【详解】解：A 、有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题为等腰三角形的两底角相等，此逆命题为真命题；
B 、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
C 、等边三角形的三个内角相等的逆命题为三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题；
D 、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题为到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，此逆命题为真命题．
故选：B ．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 4. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，55B ∠=°，P 是边上AB 的一个动点(不与顶点A 重合)，则BPC ∠的度数可能是（ ）
A. 55°
B. 70°
C. 110°
D. 130°
【答案】C
【解析】 【分析】只要证明70°＜∠BPC ＜125°即可解决问题．
【详解】∵AB =AC ，
∴∠B =∠ACB =55°，
∴∠A =180°﹣2×55°=180°－110°=70°．
∵∠BPC =∠A +∠ACP ，
∴∠BPC ＞70°．
∵∠B +∠BPC +∠PCB =180°，
∴∠BPC =180°－∠B －∠PCB =125°－∠PCB ＜125°，
∴70°＜∠BPC ＜125°．
故选：C ．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理等知识，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5. 若225x mx ++是完全平方式，则m 的值是（ ）
A 10±
B. 5±
C. 10
D. 5 【答案】A
【解析】
【分析】根据2(5)25±=，可知m 为5±的2倍，由此求解即可．
【详解】解：∵2(5)25±=，
∴()
2510m =×±=±，
故选A ．
【点睛】本题考查逆用完全平方公式，能够熟练运用完全平方公式是解决本题的关键．
的.
6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝75°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ．则∠D 的度数为（ ）
A. 15°
B. 17.5°
C. 20°
D. 22.5°
【答案】A
【解析】 【分析】先根据角平分线的定义∠DCE ＝∠DCA ，∠DBC ＝∠ABD ＝37.5°，再根据三角形外角性质得BCD 127.5°∠=，再根据三角形内角和定理代入计算即可求解.
【详解】解：∵AB ＝AC ，
∴∠ACB ＝∠ABC ＝75°，
∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点D ，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4＝37.5°，
∵∠ACE ＝180°﹣∠ACB ＝105°，
∴∠2＝52.5°，
∴∠BCD ＝75°+525°＝127.5°，
∴∠D ＝180°﹣∠3﹣∠BCD ＝15°．
故选：A ．
【点睛】根据这角平分线的定义、根据三角形外角性质、三角形内角和定理知
识点灵活应用
7. 在等腰三角形ABC 中，794937A ′′′∠=°，则B ∠可以有几个不同值（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
【答案】B
【解析】
.
【分析】根据等腰三角形的定义，∠A 可能是底角，也可能是顶角，进行分类讨论即可．
【详解】解：①当∠A 是顶角时，∠B=∠C=7949'37"18050511.52
°′°°−′′=， ②当∠A 为底角，∠B 也为底角时， 794937B ′′′∠=°，
③当∠A 为底角，∠B 为顶角时，∠B=7949'37"2020610248′′′°=°°−×，
故答案为：B ．
【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，涉及分类讨论问题，解题的关键是对∠A ，∠B 进行分类讨论．
8. 下列图形是轴对称图形的有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
【答案】D
【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟记“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”是解题关键．
故选：D ．
9. 在实数0、0.2
、3π、227、6.1010010001 、13111中，无理数有( )个 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】 【分析】根据无理数的定义即可得．
【详解】在这些实数中，无理数为3π，6.1010010001 ，共有3个，
故选：C ．
【点睛】本题考查了无理数，熟记定义是解题关键．
10. 如图所示，△ABC ≌△BAD ，点A 与点B ，点C 与点D 是对应顶点，如果∠DAB ＝50°，∠DBA ＝40°，那么∠DAC 的度数为（ ）
A. 50°
B. 40°
C. 10°
D. 5°
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAB＝40°，根据角与角间的和差关系计算即可．
【详解】∵△ABC≌△BAD，点A与点B，点C与点D是对应顶点，∠DBA＝40°，
∴∠DBA＝∠CAB＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB﹣∠CAB＝50°﹣40°＝10°．
故选C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11. 如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P 是△ABC（）
A. 三边垂直平分线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三条高的交点
D. 三条中线交点
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线性质的逆定理即可得出答案．
【详解】解：P到三条距离相等，即PD＝PE＝PF，
连接PA、PB、PC，
∵PD＝PE，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形角平分线的交点，掌握角平分线的性质的逆定理是解题的关键．12. 在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣3与y轴的交点坐标是（）
A. （0，﹣3）
B. （﹣3，0）
C. （2，﹣3）
D. （3
2
，0）
【答案】A
【解析】
【分析】当直线与y轴相交时，x＝0，故将x＝0代入直线解析式中，求出交点坐标即可．
【详解】把x＝0代入y＝2x﹣3得y＝﹣3，
所以直线y＝2x﹣3与y轴的交点坐标是（0，﹣3）．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与y轴的交点坐标问题，掌握直线与y轴的交点坐标的性质以及解法是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13. 在平面直角坐标系中，若点(),4
M x到原点的距离是5，则x的值是________．
【答案】3或-3
【解析】
【分析】根据点(),4
M x到原点的距离是5，可列出方程，从而可以求得x的值．
【详解】解：∵点(),4
M x到原点的距离是5，
5
=，
解得：x=3或-3，
故答案为：3或-3.
【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离，解题的关键是利用勾股定理列出方程求解.
14. 在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝▱ABCD的周长等于_____．
【答案】20或12##12或20
【解析】
【分析】过点A作AE⊥BC于E，连接AC，如图1，勾股定理求出EC，BE的长，得到BC即可求出ABCD
的周长；如图2，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，连接AC，勾股定理求出EC，BE的长，得到BC即可求出ABCD
的周长．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，连接AC，如图1，
∵在▱ABCD 中，AE=4，AB ＝5，AC ＝
∴2EC =，3BE =，
∴BC =2+3=5，
∴ABCD 的周长=2（AB +BC ）=20；
如图2，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于E ，连接AC ，
∵在▱ABCD 中，AE=4，AB ＝5，AC ＝
∴2EC =，3BE =，
∴BC =BE -EC =3-2=1，
∴ABCD 的周长=2（AB +BC ）=12；
故答案为：20或12．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键，注意应根据平行四边形的形状分类讨论．
15. 如图，BC 的垂直平分线分别交AB BC 、于点D 和点E ，连接,,25CD AC DC B =∠=°，则ACD ∠的度数是__．
【答案】80°##80度
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质可得
CD BD =，从而得到25BCD B ∠=∠=°，再根据三角形外角的性质可得50ADC ∠=
°，然后根据等腰三角形的性质可得50A ADC ∠=∠=°，即可求解．
【详解】解：∵DE 垂直平分BC ，
∴CD BD =，
∴25BCD B ∠=∠=°，
∴50ADC B BCD ∠=∠+∠=°，
∵AC DC =，
∴50A ADC ∠=∠=°，
∴()81800A ADC ACD
∠+∠=°∠=°−． 故答案为：80°
16. 把点()3,1A −先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得点的坐标为__________．
【答案】()5,2
【解析】
【分析】根据坐标的平移特点即可求解．
【详解】解：点()3,1A −先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得点的坐标为()5,2
故答案为：()5,2
【点睛】此题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知坐标的平移特点．
17. 如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l ，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A ，沿这边作出直线 AB ，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：如图所示：
由平移的性质可知：∠2=∠3．
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠1．
∴EF ∥l （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现∠1=∠3是解题的关键．
18. 下列命题：①若a 2＝b ，则a
；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③全等三角形的周长相等；④等边三角形的三个内角相等．它们的逆命题．．．
是真命题的有_______． 【答案】①②④
【解析】
【详解】解：①逆命题为：若a =2a b =，真命题；
②逆命题为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，真命题；
③周长相等的三角形是全等三角形，假命题；
④三个内角相等的三角形是等边三角形，真命题；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了逆命题，判断命题的真假，解题的关键是掌握逆命题的定义．
三、解答题（共78分）
19. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E ，F 在边AB 上，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处．
的
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
【答案】（1）∠ECF＝45°；（2）BC△ABC的面积为82
5
．
【解析】
【分析】（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝1
2∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝1
2
∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，
即可得出∠ECF＝45°；
（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定
理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x＝16
5
，即可得出S△ABC＝12AB×CE＝825．
【详解】解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝1
2∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝1
2
∠BCB'，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCB'＝90°，
∴∠ECD+∠FCD＝1
2
×90°＝45°，
即∠ECF＝45°；
（2）由折叠可得，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，∴∠EFC＝45°＝∠ECF，
∴CE＝EF＝4，
∴BE＝4+1＝5，
∴再Rt△BCE中，BC
设AE＝x，则AB＝x+5，
∵在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AE 2+CE 2＝AB 2﹣BC 2，
即x 2+42＝（x +5）2﹣41，
解得x ＝165
∴S △ABC ＝12AB ×CE ＝1
2（165+5）×4＝825
． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键. 20. 如图，在ABC 中，E 是CA 延长线上一点，AD BC ⊥于D ，EG BC ⊥于G ，3E ∠=∠． 求证：12∠=∠．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质及判定，综合运用平行线的性质和判定定理是解答此题的关键． 由AD BC ⊥，EG BC ⊥，利用垂直的定义可得，90EGC ADC ∠=∠=°，利用平行线的判定可得EG AD ∥，利用平行线的性质可得2E ∠=∠，13∠=∠，又因为3E ∠=
∠，等量代换得出结论． 【详解】证明：AD BC ⊥ ，EG BC ⊥，
90EGC ADC ∴∠=∠=
° EG AD ∴
2E ∴∠=∠，13∠=∠，
3E ∠=∠ ，
12∴∠=∠．
21. 如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A =∠D ，AB =DC
（1）求证：△ABE ≌DCE ；
（2）当∠AEB =50°，求∠EBC 的度数．
【答案】见解析（2）∠EBC =25°
【解析】
【分析】（1）根据AAS 即可推出△ABE 和△DCE 全等．
（2）根据三角形全等得出EB =EC ，推出∠EBC =∠ECB ，根据三角形的外角性质得出∠AEB =2∠EBC ，代入求出即可
【详解】解（1）证明：∵在△ABE 和△DCE 中，
AEB DEC A D AB DC ∠=∠ ∠=
∠ =
， ∴△ABE ≌△DCE （AAS ）
（2）∵△ABE ≌△DCE ，
∴BE =EC ，
∴∠EBC =∠ECB ，
∵∠EBC +∠ECB =∠AEB =50°，
∴∠EBC =25°
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解决此题的关键是合理运用三角形的外角性质．
22. 等腰△ABC 中，AB AC =，60ACB ∠>°，点D 为边AC 上一点，满足BD BC =，点E 与点B 位于直线AC 的同侧，ADE 是等边三角形．
（1）①请在图1中将图形补充完整；
②若点D 与点E 关于直线AB 轴对称，ACB =∠ ______；
（2）如图2所示，若80ACB ∠=°，用等式表示线段BA 、BD 、BE 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②75°
（2）BA BD BE =+；理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意直接画出图形；②根据对称性判断出AB DE ⊥，再判断出60DAE ∠=°，进而求出BAC ∠，即可得出结论；
（2）先判断出ADF EDB ∠=∠，进而根据SAS 判断出BDE FDA ≌，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①根据题意，补全图形，如图所示，
②当点D 与点E 关于直线AB 轴对称时，
∴AB DE ⊥，
∵ADE 是等边三角形，
∴60DAE ∠=°，AD AE =， ∴1302
BAC DAE ∠=∠=°
， ∵AB AC =， ∴()1180752
ACB BAC ∠=°−∠=°． 故答案为：75°．
【小问2详解】
解：BA BD BE =+；理由如下：
BA 上取一点F ，使BF BD =，DE 与AB 的交点记作点H ，如图所示：
∵ADE 是等边三角形，
∴AD ED =，60EAD AED ∠=∠=°，
在ABC 中，AB AC =，80ACB ∠=°，
∴80ABC ACB ∠=∠=°，
∴18020BAC ACB ABC ∠=°−∠−∠=°，
∴40BAE DAE BAC ∠=∠−∠=°，
在BCD △中，BC BD =，
∴80BDC ACB ∠=∠=°，
∴18020DBC ACB BDC ∠=°−∠−∠=°，
∴60ABD ABC DBC ∠=∠−∠=°，
∵BF BD =，
∴BDF 是等边三角形，
∵60AED ABD ∠=∠=°，AHE BHD ∠=∠，
∴40BDE BAE ∠=∠=
°， ∴60BDF ∠=°，BD FD BF ==，
∴18040ADF BDC BDF ∠=°−∠−∠=°，
∵DE AD =，
∴()SAS BDE FDA ≌，
∴FA BE =，
∴BA BF FA BD BE =+=+．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，对称性，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线，构造出BDE FDA ≌，是解本题的关键．
23. (1)如图1，点D 、E 分别是等边ABC 边AC 、AB 上的点，连接BD 、CE ，若AE CD =，求证：BD CE =
(2)如图2，在(1)问的条件下，点H 在BA 的延长线上，连接CH 交BD 延长线于点F ，．若BF BC =，求证：EH EC =．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=CB ，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，然后利用SAS 即可证出△AEC ≌△CDB ，从而得出BD=CE ；
（2）根据全等三角形的性质可得∠CBD=∠ACE ，从而证出∠ABD=∠ECB ，然后根据等边对等角可得∠BFC=∠BCF ，从而证出∠H=∠ECH ，最后根据等角对等边即可证出结论．
【详解】证明：（1）∵△ABC 为等边三角形
∴AC=CB ，∠ABC=∠A=∠ACB=60°
△AEC 和△CDB 中
AE CD A ACB AC CB = ∠=
∠ =
∴△AEC ≌△CDB(SAS)
∴BD=CE
（2）∵△AEC ≌△CDB
∴∠CBD=∠ACE
∴∠ABC －∠CBD=∠ACB －∠ACE
∴∠ABD=∠ECB
又∵BF=BC ，
∴∠BFC=∠BCF
∵∠ABD ＋∠H=∠BFC ，∠ECB ＋∠ECH=∠BCF
∴∠H=∠ECH ，
∴
EH=EC
在
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定及性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等边对等角和等角对等边是解决此题的关键．
24. 如图，点C 、F 在线段BE 上，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，BC ＝EF ，请只添加一个合适的条件使△ABC ≌△DEF ．
（1）根据“ASA ”，需添加的条件是 ；根据“HL ”，需添加的条件是 ；
（2）请从（1）中选择一种，加以证明．
【答案】（1）∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ；（2）选择添加条件AC ＝DE ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意添加条件即可；
（2）选择添加条件AC ＝DE ，根据“HL”证明即可．
【详解】（1）根据“ASA ”，需添加的条件是∠ACB ＝∠DFE ，根据“HL ”，需添加的条件是AC ＝DF ， 故答案为：∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ；
（2）选择添加条件AC ＝DE 证明，
证明：∵∠ABC ＝∠DEF ＝90°，
∴在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，
AC DE BC EF = =
， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题关键，证明三角形全等时注意条件的对应．
25. 如图，四边形ABCD 与四边形DEFG 都是正方形，设AB =a, DG = b(a> b)．
（1）写出AG 的长度(用含字母a 、b 的式子表示)；
（2）观察图形，请你用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积，此时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；
（3）如果正方形ABCD 的边长比正方形DEFG 的边长多2cm ，它们的面积相差20cm 2，试利用(2)中的公式,求a 、b 的值．
【答案】（1）a-b ；（2）()()22
a b a b a b −=+−；（3）a=6，b=4 【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和AG AD GD =−即可求出AG 的长度；
（2）用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积：①求长为a b +，宽为a b −的矩形的面积；②通过()BMNH FHEC S S b a c ==−矩形矩形可得阴影部分面积=四边形ABCD 的面积-四边形DEFG 的面积，可得()()22a b a b a b −=+−；
（3）根据正方形ABCD 的边长比正方形DEFG 的边长多2cm ，它们的面积相差20cm 2可得
222,20a b a b −=−=，代入原式并联立方程即可求出a 、b 的值．
【详解】（1）∵四边形ABCD 与四边形DEFG 都是正方形，设AB =a, DG = b(a> b)
∴
,AD a GD b == ∴AG AD GD a b =−=−
（2）由题意得
()()S a b a b =+−阴影部分
∵()BMNH
FHEC S S b a c ==−矩形矩形 ∴22
S a b =−阴影部分
∴()()22a b a b a b −=+− （3）∵正方形ABCD 的边长比正方形DEFG 的边长多2cm ，它们的面积相差20cm 2
∴222,20a b a b −=−=
将222,20a b a b −=−=代入()()22
a b a b a b −=+−中 ()202a b =×+
解得10a b +=
联立得
2221020a b a b a b −= +=
−=
解得
6,4a b ==． 【点睛】本题考查了平方差公式的证明以及应用，掌握平方差公式的性质以及应用是解题的关键． 26. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．
（1）尺规作图；作∠BAC 的平分线交BC 于点D ．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知AD ＝BD ，求∠B 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）30°
【解析】
【分析】（1）首先以A 为圆心，小于AC 长为半径画弧，交AC 、AB 于H 、F ，再分别以H 、F 为圆心，大于1
2HF 长为半径画弧，两弧交于点M ，再画射线AM 交CB 于D ；
（2B ＝∠BAD ＝∠CAD ，则∠B ＝30°．
【小问1详解】
如图所示：AD 即为所求； 【小问2详解】
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠CAD ，
∵AD ＝BD ，
∴∠B ＝∠BAD ，
∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD ，
∵∠C ＝90°，
∴∠B＝1
(180)
3
C
×°−∠＝30°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图，以及等腰三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的基本作图是关键．。