MSDC.初中数学.中考冲刺.第11讲.教师版

【例 1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A( 1 ，0) ， B(3 ，0) ， C(0 ， 1) 三点．
⑴求该抛物线的表达式； ⑵点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 Q 、 P 、 A 、 B 为顶点的四边形是平行四边形，求
所有满足条件的点 P 的坐标．
y
【答案】⑴所求抛物线的表达式为
y 轴，则
1 D (0 ， x)
4
A
B
1
1
1 2 19
S 梯形 ABPD ＝ ( x＋3)( x＋ 4 )＝ x ＋ x＋6
2
4
8
8
1
1 1 12
S△AOB ＝ ×3×4＝ 6， S△DOP ＝ ×x× x＝ x
2
248
图（ 1）
∴y＝ S 梯形 ABPD －S△AOB－ S△DOP ＝ 19 x
8
16a 4b 2 0 由题意，有
16a 4b 2 2 ∴所求抛物线的解析式为 y
1 a
解得
16
1 b
4
12 1 x x2
16 4
B
C
O
y
A Dx
B
A
PE
⑵将抛物线的解析式配方，得 y
1 (x
2) 2
9
C
OF Q
16
4
Dx
∴抛物线的对称轴为 x 2 ∴ D(8 ，0) ， E(2 ，2) ， F (2 ，0)
⑴求该抛物线的函数关系式；
⑵当 ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标；
⑶在题⑵的结论下，若点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A 、 P 、 E 、 F 为顶点的
平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
【答案】⑴ y x 2 4 x 3
C(0,3) D
⑵如图 1，有两种情况：
欲使四边形 POQE 为等腰梯形，则有 OP QE ，即 BP FQ
∴ t 6 3t ，即 t 3 2
【例 7】在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的解析式是
y
1 x2
2 x1
33
⑵①当 AB 为边时，只要 PQ ∥ AB ，且 PQ AB 4 即可
又知点 Q 在 y 轴上，∴点 P 的横坐标为 4 或 4
这时，符合条件的点 P 有两个
当x
4 时， y
5 ；当 x
4 时， y 7
3
∴
P1 (4
5 ，)
，
P2 (
4 ，7)
3
②当 AB 为对角线时，只要线段 PQ 与线段 AB 互相平分即可
①当点 P 为直角顶点时，点 P 与点 B 重合
令y
0
，得
2
x
4x
3 0 ，解得 x1
1 ， x2
3
∵点 A 在点 B 的右侧，∴ B (1，0) ， A(3 A 为直角顶点时
∵ OA OC ， AOC 90 ，∴ OAD2 45
当 D2 AP2 90 时， OAP2 45 ，∴ AO 平分 D2 AP2
4
整理得：
2
4x － 37x＋ 40＝ 0，解得：
x＝ 8 或 x＝
5
4
P2 P4 O P3
B Q 3(Q 4)
P1 x
∴P1（ 8， 2）， P2（ 5 ， 5 ） 4 16
图（ 2）
平移线段 OB，使点 O 落在直线 y＝ 1 x 上，落点为 P，点 B 落在抛物线上，落点为 Q，则四边形 4
Page 4 of 15
⑴求抛物线的解析式； ⑵若抛物线的对称轴与
AB 交于点 E ，与 x 轴交于点 F ，当点 P 运动时间 t 为何值时，四边形
POQE 是等腰梯形？
【答案】⑴∵四边形 ABCO 是平行四边形，
y
∴ OC AB 4
∴ A(4 ，2) ， B(0 ，2) ， C( 4 ，0)
∵抛物线 y ax 2 bx c 过点 B ，∴ c 2
4
16
平移线段 OP3，使点 P3 与点 O 重合，则点 O 落在直线 y＝ 1 x 上点 P4 处，四边形 4
四边形
OPBQ 为平行
∴P4（ 11 ， 11 ） 4 16
综上所述，符合条件的点
P4（ 11 ， 11 ） 4 16
题型二：动点与梯形问题
P 有 4 个，分别是：
5 P1（ 8， 2）， P2 （ ，
x 之间的函数关系式； ⑶如图 ⑵ ，点 P 在直．线．OC 上运动，点 Q 在抛物线上运动，试问点 P 、 Q 在运动过程中是否存在 以 O 、 B 、 P 、 Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况， 若存在， 请求出点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由．
y
y
y
CP
O
x
C
C
O
x
O
x
A
B
A
B
A
B
OBQP 为平行四边形
设 P（ x， 1 x）， ∵ O（ 0， 0）， B（ 3， － 4）， ∴ Q（ x＋ 3， 1 x－ 4）
4
4
∵点 Q 在抛物线上，
∴
1
2
x－4＝ (x＋ 3 ) － 3( x＋3 )－4
4
2
整理得： 4x ＋ 11x＝0，解得： x＝ 0（舍去）或
x＝－ 11
4
∴P3（ － 11 ， － 11 ）
1 k2
4 ，∴
1 k2
4
7 ∴k
1
F
2
2
2
2
当k
1 时，点
P 的坐标为
(1， 1) ， F 的坐标为
9 (1， )
2
此时 PF 与 ED 重合，不存在以 P 、 F 、 D 、 E 为顶点的平行四边形
当k
1时，点
P 的坐标为
(
1，1) ， F 的坐标为
(
5 1， )
2
此时，四边形 PFDE 是平行四边形
二次函数与四边形
在二次函数与四边形的综合问题中， “平行四边形”“梯形”的存在性问题是主要考察内容。 考查学生对“平行四边形” “梯形”有关性质的理解和应用， “分类讨论思想”依然是本类问 题考查的重点之一
例题精讲
题型一：动点与平行四边形存在性
题型说明：在解决此类问题时，需要注意“平行四边形”的四个顶点中是有一个动点或二个动点。如果只 有一个动点，则先求点坐标，然后代入检验；如果有两个动点，则常用的方法有两个，①引入坐标代入函 数解析式后建立方程，注意最后要检验。 ；②从已知条件直接进行分析
【答案】⑴设抛物线的解析式为 y ax2 bx c ( a 0)
∵点 A 、 B 、 C 均在此抛物线上
4a 2b c 0 ∴ 16a 4b c 0
c4
a＝ 1 2
∴ b＝ － 1
c＝ － 4
∴所求的抛物线的解析式为
顶点
D 的坐标为
9 (1， )
2
12 yx
2
⑵解：存在 ∵ PF ∥ ED
x 4，
∴要使以 P 、 E 、 D 、 F 为顶点的四边形是平行四边形，只要使
【例 3】如图， 已知抛物线 y ax2 bx c ( a 0 )的顶点坐标为 Q(2 ， 1) ，且与 y 轴交于点 C (0 ，3) ，与 x 轴
交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的右侧），点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动
（点 P 与 A 不重合），过点 P 作 PD ∥ y 轴，交 AC 于点 D ．
3 【注意】此给出的方法就是“直接分析” 。如果采用引入方程的方法，
AO B
x
C
P3
只需给出 Q 点坐标，求出 P 点坐标代入解析式即可
【例 2】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过
A( 4 ，0) ， B(0 ， 4) ， C(2 ，0) 三点．
Page 1 of 15
⑴求抛物线的解析式； ⑵若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y x 上的动点，判断有几个位置能够使得点
∴设 D2 (x ， x
2
3) ， P2( x ，x
4x
3)
∴( x
3)
(x2
4x
3)
0 ，即
2
x
5x
6
0
OB
HA
x
(P 1)
(P2) Q(2,-1)
图1
解得 x1 2 ， x2 3（舍去） ∴当 x 2 时， y x2 4x 3 1
∴ P2 的坐标为 P2(2 ， 1) （即为抛物线顶点）
∴ P 点坐标为 P1(1，0) ， P2 (2 ， 1)
⑶ 平移线段 OB，使点 B 落在直线 y＝ 1 x 上，落点为 P，点 O 4
y
Q1
落在抛物线上，落点为 Q，则四边形 OBPQ 为平行四边形
Q2
设 P（ x， 1 x）， ∵ O（ 0， 0）， B（ 3， － 4） 4
∴Q（ x－3， 1 x ＋4） 4
∵点 Q 在抛物线上，
∴
1
2
x＋4＝ (x－ 3 ) － 3( x－3 )－4
【例 5】已知抛物线
y
2
x
bx
c 交 y 轴于点 A ，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为
1 y x 与抛物线在第一象限的交点为
4
C ，连结 OB ．
Page 3 of 15
B(3 ， 4) ，直线
⑴求抛物线的解析式； ⑵ 如图 ⑴ ，点 P 在射．线．OC 上运动，连结 BP ，设点 P 的横坐标为 x ， OBP 的面积为 y ，求 y 与
又∵ P2D2 ∥ y 轴，∴ P2D2 AO ，∴ P2 、 D2 关于 x 轴对称 设直线 AC 的函数关系式为 y kx b
P
OB
A
x
Q(2,- 1)
y
D D1
P
D2
将 A(3 ，0) ， C (0 ，3) 代入解得： y x 3
∵ D2 在 y x 3 上， P2 在 y x2 4x 3 上
切入点一：直接计算 ∵点 Q 在直线 y x 上，设 Q(m， m) （ m 0 ）
A
OC
则 P 点坐标可表示为 ( m，m 4) 或 ( m ， m 4) 或 (m ， m 4)
分别代入 y 1 x 2 x 4 计算即可
B
2
切入点二：可以通过讨论① PQ ∥ OB 或② PQ 为对角线入手
P、Q、 x
Page 2 of 15
y
C (0,3) D
P F2
F1
⑶由题⑵知，当点 P 的坐标为 P1(1，0) 时，不能构成平行四边形 当点 P 的坐标为 P2 (2 ， 1) （即顶点 Q ）时 如图 2，平移直线 AP 交 x 轴于点 E ，交抛物线于点 F 当 AP FE 时，四边形 APEF 是平行四边形 ∵ P(2 ， 1) ，∴可令 F ( x，1) ∴ x 2 4 x 3 1 ，解得 x1 2 2 ， x2 2 2 故存在以 A 、 P 、 E 、 F 为顶点的平行四边形，点 F 的坐标为： F1 (2 2 ，1) ， F2 (2 2 ，1)
5
）， P3（ － 11 ，－
11 ），
4 16
4
16
题型说明：本类题型主要考查两点，①梯形，等腰梯形，直角梯形的性质的理解和应用；② 两直线平行时， k 值相等，当然并不仅仅局限于这两种考查方式。
【例 6】如图，四边形 ABCO 是平行四边形， AB 4 ， OB 2 ，抛物线过 A 、 B 、 C 三点，与 x 轴交于另 一点 D ．一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 B 点出发沿 BA 向点 A 运动，运动到点 A 停止， 同时一动点 Q 从点 D 出发，以每秒 3个单位长度的速度沿 DC 向点 C 运动，与点 P 同时停止．
【例 4】如图，抛物线交 x 轴于点 A( 2 ，0) ，点 B(4 ，0) ，交 y 轴于点 C(0 ， 4) ．
⑴求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； ⑵设 P 为直线 MN 上的动点， 过 P 作 PF ∥ ED 交直线 MN 下方的抛物线于点 F ．问：在直线 MN 上是否存在点 P ，使得以 P 、 E 、 D 、 F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出点 P 及 相应的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
又知点 Q 在 y 轴上，且线段 AB 中点的横坐标为 1
∴点 P 的横坐标为 2 ，这时，符合条件的点 P 只有一个
AO B
x
C
y
Q2 P2
当 x 2 时， y 1 ∴ P3 (2 ， 1) 综上，满足条件的点 P 有三个，其坐标分别为：
Q1 Q3
P1
5 P1(4 ， ) ， P2 ( 4 ，7) ， P3 (2 ， 1)
B 、 O 为顶点的四边形为平行四边形，请求出相应的点
Q 的坐标．
y
【答案】⑴抛物线的解析式为
y 1 x2 x 4 2
⑵满足题意的 Q 点的坐标有四个，分别是： ( 4 ，4) ， (4 ， 4)
( 2 2 5 ，2 2 5) ， ( 2 2 5 ，2 2 5) 【注意】本题第⑵的解决过程中，就可以从两个角度入手，各有特点
PF ED
∵点 E 是抛物线的对称轴 x 1和直线 y x 的交点
∴ E 点的坐标为 (1， 1) ∴ ED ∵点 P 是直线 y x 上的动点
97 1( )
22
∴设 P 点的坐标为 ( k ， k) ，且点 F 是抛物线和直线 PF 的交点
P
∴ F 的坐标为
12 (k， k
k
4)
2
∴ PF
k ( 1 k 2 k 4)
图（ 1）
图（ 2）
备用图
y 【答案】 ⑴ ∵ B(3 ， 4)
点 A 与点 B 关于抛物线的对称轴对称， A(0 ， 4)
把 A(0 ， 4) 、 B(3 ， 4) 代入 y x 2 bx c 得：
c4 9 3b c 4
b3 ∴
c4
∴抛物线的解析式为
2
y x 3x 4
D
P
C
O
x
⑵ 如图 ⑴ ，连结 AB ，作 PD