分块乘法的初等变换及应用举例(高等代数课件)

E 0 m 1 CA E n
1

A 0 C D
1
0 A1 0 E m 1 1 CA E 0 D n
1 A 0 1 1 1 D CA D
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
证明：存在下三角矩阵 Bnn ，使 BA 为上三角形． 证：对 n 作归纳法．
A (a11 ), B (b11 ), BA (a11b11 )为上三角形． 当 n=1时，
假设对 n 1级矩阵命题成立，即对 A1 (aij )( n1)( n1) 结论成立，于是存在 ( n 1) ( n 1) 矩阵 B1，满足:
1
O D
1Tຫໍສະໝຸດ 1 1 A BD C C
1
O D
1
Em O
BD , En
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
再由例 1，得
A BD C 1 T1 C
1
O D
1
Em O
1 1 1 A ． 1 ，求 1 A1 A1 1 1 , 解： 把A分块成 A A1 1 1 , A A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 A 例 2． 1 1

则
又
1 1 1 1 A . A 1 1 1 2 2
Eij , En
i , j = 1, 2, … , n , 这里 Eij 为 n n 矩阵，除了第 i 行第 j 列元素为 aij 外，其他元素皆为零. 则由初
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
等矩阵与初等变换的关系，易得下列关系式
En P 11 P 12 P 1n P n1 P nn O
En , O
某一行(列)左乘(右乘)一个
P O Em O O P , O E , n
一行(列)加上另一行(列)的
3) 分块倍加矩阵
Em P (矩阵)倍数所得到 O
P Em , P En
O . En
A , C B , D
A B Em C D P
O A BP B . En C DP D
Em 在 P
O A B A B C D C PA D PB En
B1 A1 为上三角形．
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
下面考虑 n 级矩阵A (aij )nn . 对A作分块 a1n A1 A , ( a n1 , a n 2 , , a a n 2,n nn a n 1, n
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
例 3 证明行列式的乘积公式 | AB | = | A | | B |.
证明
作
E A A O O O E E B E
设 A，B 为 n n 矩阵，作
AB . B
En Pij O


1 A1 0 E E E 0 4 E E 1 0 E 0 A1 2


§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
1 0 4 A1 E E 1 1 0 E A1 A1 2 4 1 1 4 A1 4 A1 1 1 A1 A1 4 4
O 又因为矩阵 E AB O B E , 即 O E 所以 O E AB B
AB 作 n 次列对换可变成矩阵 B
第 j 列与第 n + j 列对换
j = 1, 2, … , n
AB O B E ,
BD 1 En
( A BD C ) D 1C ( A BD1C ) 1
1 1
O Em 1 D O
BD En
1
( A BD1C ) 1 ( A BD1C ) 1 BD1 D 1C ( A BD1C ) 1 D 1C ( A BD1C ) 1 BD1 D 1
, an ,n1 )
0 A1 A1 E 则 A 1 1 a 1 0 a A nn 1 nn 1
B1 B1 A1 B1 0 A1 0 1 0 a A 1 0 a A 1 nn 1 nn 1
A BD1C O , C D §4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
因为 T1 可逆，对它进行初等变换后仍可逆，即
A BD1C O C D
可逆，故 (A - BD-1C)-1 存在.
Em 由 O
解得
1 A BD C BD T1 C En
1 A. 4

§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
例2 设
A B T1 C D ,
其中T1 , D可逆，试证(A - BD-1C)-1 存在，并求T1-1.
证明
因为
Em O
BD 1 A B C D En
2. 分块初等矩阵的性质
和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等
矩阵有与初等矩阵类似的性质： 用分块初等矩阵左乘分块矩阵 A, 在保证可乘的 情况下，其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应
的初等行变换； 用分块初等矩阵右乘分块矩阵 A，
其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应的初等列 变换.
例如，设有如下分块矩阵
O A B A B ; En C D C PA D PB
A B C D ,
分别用三种分块初等矩阵右乘它，其结果如下：
A C A C
B O En B D Em O D B P O AP D O En CP
O En O En
A En
的验证 . 所对应的初等变换是某行加上另外一行的 又由 Pij 1 2 1 0 , 则 E2 , 令 A 倍数，它不改变行列式的值，故 0 1 3 4
E 0 A A 0 O 2 A O 0 1 0 0 0 P Pnn E11 , E , E , E , 11 12 21 22 0 O 0 E E 0 B 0 E B 0 4 3 0 A OO E E E E2 3 E22 2 第二章第六节 E2 O 例 | A2|| B | .22 ( ) 证明 P22 O EE B O E O E O E 2 2 2 a11 a1k2 0 §4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
一、分块乘法的初等变换
二、应用举例
一、分块初等矩阵
1. 定义 定义15 把单位矩阵 E 如下进行分块：
Em O E O E n
对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为分块初
等矩阵.
分块初等矩阵有以下三种：
1) 分块对换矩阵
对换两行(列)所得到
O E m
2) 分块倍乘矩阵 矩阵 P 所得到
中，适当先择 P，可使 C + PA = O . 例如 A 可逆
时，选 P = - CA-1，则 C + PA = O . 于是上式右端
成为
B A 1 O D CA B .
这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其他问 题时是比较方便的，因此这种运算非常有用.
二、应用举例
A B C D ,
分别用三种分块初等矩阵左乘它，其结果如下：
O En A C E O m P O A C O E n Em P
B C D , D A B B PA PB , D C D
例1．T A 0 , A，D可逆，求 T 1． C D
0 A 0 Em A 0 解： 由 CA1 E C D 0 D n

A 0 0 D

及

1
A 1 0 1 0 D
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
有
T
1
AB O n AB (1) (1)n | AB || E || AB | . B B E
这就证明了 | AB | = | A | | B |.
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
证毕
例4. 设 A ( aij )nn ,且
a11 ak 1
a1k akk
1 k n 0，
1 1

E E A1 A1 E 0 E E 0 E A A 1 1
1
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
2 A1 A1
0 E 0 2A A E E 0


1
0 , A1
E E A 0 E
1

1
2 A1 0 E 0 0 A E E 1

1
E E A 0 E

1
2 A1 0 E 0 0 A E E 1

1 1

1 1 A1 0 E E E 0 E E 2 1 0 E A1 0
为上三角形．
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例
0 B1 B1 0 E 0 B 1 A 1 0 1 1 A11 1
即为所要求的下三角形．
§4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例