第六章 自由电子费米气体PPT课件

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1. Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论:
自由电子是经典离子气体，服从玻尔 兹曼分布(速度分布)，与中性稀薄气体一样 去处理，完全套用经典气体模型，认为电 子之间无相互作用，同时也不考虑离子实 势场的作用。
这样一个简单的物理模型处理金属的 许多动力学问题是成功的，特别是对我们 理解简单金属的许多性质是有帮助的。
1870年前后，玻尔兹曼、麦克斯韦等 建立了气体分子运动论和统计理论；1897 年，T.T.Thomson发现电子，使得人们轻易 就可以猜测出金属导电的机制。
在总结 金属本身总是具有高电导率、 高热导率和高的反射率的实验事实的基础 上，Drude于1900年建立了Drude模型，主 要研究金属的电导和热导问题。
第六章
自由电子费米气体 (金属自由电子论)
Free Electron Fermi Gas
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金属元素有大约75种之多，在自然 界大约有2/3以上的固态纯元素属于
金属。
人类社会很早就学会了使用金属并 以其作为人类进步的标志，如过去的铜 器时代、铁器时代等。
金属具有良好的导电、导热、易加 工及特殊的金属光泽等特点，但为什么 这些元素具有如此的特点？其深层次的 原因是什么？
ur k ：电子平面波的波矢，它的方向为平面波的传播方向；
它的取值需要由边界条. 件确定。
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波矢的取值问题
经典物理中平面波的波矢取值是任意的，但电子 波矢的取值由边界条件决定。
固定边界条件（驻波边界条件）：波函数在金 属表面上任何点的值均为零，不利于讨论输运性 质。
周期性边界条件（波恩—卡曼边界条件）：首 尾相接成环，既有有限尺寸又消除了边界的存在。
E
ur k
h2k2
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2m
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因为波函数Y(r)同时也是动量算符 pˆ ih的本征态，
所以处于Y(r)态的电子有确定的动量，可以写成
ih k(r) h k k(r) ur r
Phk
相应的速度为
r v
ur P
r hk
mm
∴
Ek u r h2k2P21mv2
2m 2m 2
电子能量再现熟悉的经典形式
不足之处产生的原因分析
经典理论在微观世界的不适用
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量子力学对金属中电子的处理
1926年费米—狄拉克统计理论和量子力学建立， 1928年，索末菲在自由电子模型基础上，提出应该 利用量子力学原理去计算电子气体的能量和动量， 并由此考察金属的一些特性。
索末菲提出：电子在离子产生的平均势场中运动， 电子气体服从费米 — 狄拉克分布和泡利不相容原理。 并成功地计算了电子的热容，解决了经典理论的困 难。
①波矢k（三个分量kx、ky、kz）
②自旋量子数
ms
1 2
给定了 k就确定了能级，代表同能级上自
旋相反的一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面， 不同能量的等能面是一系列同心球面。
k2m 2 (kx2ky2kz2)恒常
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32
电子在T=0k时所能填充到的最高等能面 称为费米面。
自由电子的等能面是球面，在T=0k时， 费米面把电子填充过的轨道与电子未填充过 的轨道完全分开了，即费米面内所有的轨道 都被填充，费米面外边都是空轨道。
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2. 边界条件
(1) 固定边界条件
0,0,00 L,L,L0
方程的解应由平面波形式改写为：
k u r r r1 Vsin (kxx)sin (kyy)sin (kzz)
由以上边界条件可得：
kx
L
nx,
ky L ny,
kz
L
nz
n x , n y , n z 取整数
Ek u rh 2 2 m k22 h m 2L 2 2 . (n x2 n y2 n z2)
—— 每个电子具有3个自由度，每个自由度具有kBT/2的 平均能量
—— 设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密
度为
U
3 2
nkBT
电子气的热容：
C Classical v
3 2
nkB
高温下与晶格振动的贡献相当， 这与实验结果不符。
大多数金属 C V E xperim ental/C . V C lassical0.01
这一点对金属是非常重要的，因为只有 费米面附近的电子才能决定金属的动力学性 质。
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费米球：费米面包围的体积，代表T=0k时电子填充 的全部轨道
费米波矢：费米球的半径（Fermi wave vector，kF）
F
2 k 2m F
2
——费米能
Fermi energy
PFkF
vF
m
kF
—— 费米动量 Fermi momentum
讨论：
外电场E=0时， v平=0
电子运动是随机的
净定向电流为零，对电流密度没有贡献
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9
外电场E≠ 0时， v平≠ 0 —— 产生净定向电流 在外场E作用下，考虑电子每一次碰撞后其运动方向是随机
的，所以电子的初速度对平均速度是没有贡献的。
因此，电子平均速度v平起源于在外场E作用下，电子在连续 两次碰撞的平均时间间隔内，电子附加上的一个速度：
鲁德模型的估算值大得多。Cu： T=4K，
o
l 103 A
也就是Drude模型当中的假设并不是适用于一切情况。
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问题
在固定电场中，如何推导电子动量随时间的变化？ 直流电导率的推导以及可否直接用于交流电导率的
推导？为什么？ 怎么用此模型来考虑焦耳热的问题？
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3）金属的比热
特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能 量均分定律：
2）忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用， 成为独立电子近似（independent electron approximation）。
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7
3） 传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞(受正 离子实的散射)且碰撞是瞬时的，每次碰撞都急剧地 改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞 地点的温度有关，而与碰前速度无关。电子只是通 过碰撞与周围环境达到热平衡。在相继的两次碰撞 之间，电子做直线运动，遵循牛顿第二定律，称为 碰撞近似（collision approximation）。
成正比是因为实际是连续两次碰撞的时间间隔即平均自由寿命所以越大电子在两次碰撞间被电场加速的时间越长因而漂秱速度越大也就越91电子有两种丌同性质的速度一种是电子在外加电场中的定向运动速度称为漂秱速度另一个是无规运动速度是由亍电子的无规运动引起的即使没有外电场电子也仍象普通气体分子那样作无规则运动电子到处乱动幵丌断被散射而改变运动方向这种运动在电场中也照样存在它丌会对电流有所贡献但有外场存在时有一个不外电场反向的净附加速度这个速度是叠加在无规运动速度乊上的电子无规运动的速度比漂秱速度要大
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方程的解：
r
urr
ur r Aeikr
k
具有平面波的形式
A：归一化因子，由归一化条件确定
u* rurdt ur 2dt1
(V) k k
(V) k
A 1 V
V: 金属的体积
u r
r r
1
u r r expikr
k
V
ur k ：电子平面波的波矢
k 2 l
电子相应于波函数
Yห้องสมุดไป่ตู้(r)的能量：
V L3
在k空间中，电子态的分布是均匀的， 分布密度只与金属的体积有关
. 每个波矢占据的体积为(23/0L)3
3、费米面等概念（无限多的K，有 限的电子如何填充的问题）
k 2 m 2k22 m 2(k2xky 2kz2)
这就是电子的色散关系，能量随波矢的变化 是抛物线函数
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对于三维晶体，需要的量子数：
v平
eEt
me
me——电子的质量
t ——传导电子与离子实发生碰撞的平均自由时间
j
nev平
ne2t
me
E
ne 2t 1 me
j E E j. 欧姆定律
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2）金属的平均自由时间和平均自由程 ——实验测定金属的电阻率，来估计平均自由时间t
t me 10151014s ne2
——平均自由程l (电子在连续两次碰撞之间的平均运动距离)
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2
许多固体具有导电性，这意味着在这固体内 有许多电子并没有真正被原子所束缚住，相反的 这些电子可以在固体内遨游。
具有导电性的固体可被区分成两类，那便是 金属与半导体。
在这章节内我们将只针对金属进行讨论。
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3
§6.1 金属自由电子论
的物理模型
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1. Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论建立的历史背景:
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4）特鲁德模型的发展：
1904年，洛伦兹发展了该模型，将麦克斯韦—玻尔 兹曼统计规律引人，认为电子速度服从麦克斯韦—玻尔兹
曼统计分布律。
5）特鲁德模型的成功与失败
成功之处：
经典的特鲁德—洛伦兹自由电子模型从微观上定性的解
释了金属的高电导率、高热导率、霍尔效应以及某些光学性 质。
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不足之处： 获得的平均自由程和热容与实验结果严重不符，实验 上热容仅是理论值的1%(电子参与导电过程，但对热 导好像没有参与，为什么？）；在处理磁化率等问题 上也遇到根本性的困难。
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6
Drude经典理论的基本假设:
将金属中高浓度（1022-1023/cm3)的价电子看作理 想气体，其基本假设为：
1）金属晶体中的传导电子只与离子实发生碰撞 （后面可以看到，电子与电子之间的碰撞几率基本 可以忽略），忽略了离子实与传导电子之间的库仑 相互作用，称为自由电子近似（free electron approximation）。
以下应l该不v是平t用v平来表示速度
——根据经典的能量均分定律，有
1 2
mev平2
3 2
kBT
o
lv平t 110A
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11
o
lv平t 110A
free electron approximation
离子实（金属原子间距）大约也就是这个量级，可 以看出，与Drude模型的假设比较吻合。
——但实验中发现金属中电子的平均自由程要比以上特
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2．Sommerfeld的自由电子论
索末菲模型的基本假设： 1）free electron approximation 2）independent approximation 3）价电子的能量分布服从费米—狄拉克统计，称为 自由电子费米气体（free electron Fermi gas） 4）不考虑电子和离子实的碰撞（no collision）
—— 费米速度 Fermi velocity
TF
F kB
——费米温度 Fermi temperature
Drude 经典理想气体 Sommerfeld 量子理想气体
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传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间 有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的吸引 力。Sommerfeld自由电子理论认为把离子实的电荷 抹散成一个正电荷背景(这样周期势场就不存在了) 好 象“凝胶”一样。这种“凝胶”的作用纯粹是为了 补偿传导电子之间的排斥作用，以至于使得这些传 导电子不至于因为彼此之间很强的排斥作用而从金 属晶体中飞溅出去，这就相当于“凝胶”模型。
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以一维情况为例，讨论一下：
(0)(L)0
当波函数为正弦形式，并且从０到Ｌ
的宽度是半波长的整数ｎ倍时，则以
上边界条件就能得到满足。于是：
nxAsin(knx)Asin(2 ln x)
1 2
lnn
L
kn L n,
n 取正整数
En
h2k2
2m
2hm2 nL
2
.
此边界条件无法讨论输
运问题，故我们通常不
4）一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔 称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为 弛豫时间近似（relaxation approximation）。
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8
特鲁德模型的应用
1）金属的直流电导金属晶体内的电子运动类 似理想气体分子的运动，因此电流密度为
j = -nev平
n —— 金属导体内的电子数密度 v平—— 电子运动的平均定向速度
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20
§6.2 能级和轨道密度
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一、运动方程及其解
1. 自由电子定态薛定谔方程
2hm 2 2V0(r)E(r)
Y(r)：表示电子运动状态的波函数。
V0： 电子在势阱底部所具有的势能，取V0 ＝0。 （或者说是晶格平均场+其他电子的平均场）
E： 电子的本征能量
令
k2
2mE h2
有 2(r)k2(r). 0
k(r)eikr
波矢取一系列分立值：
kx2Lπnx
ky2Lπny
kz 2L πnz
0.1.2......
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kx2 L nx,kury2 L ny,kz2 L nz
每一个量子态在 k 空间中所占的体积为：(2π/L)3
ur
ur
在 k 空间中，波矢 k 的分布密度为
L 3 2
采用
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(2) 周期性边界条件
以一维情况为例，
n(xL)n(x)
(x)Aiekx k2n n0.1.2
L
i2n(xL)
(xL)AeL
Aie2L nexi2n
(x)
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若在三个方向都用周期性边界条件： 薛定锷方程的解在三个方向都以L为周期重复，即：
此时
(xL, y,z) (x, y,z) (x, yL,z) (x, y,z) (x, y,zL) (x, y,z)
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索末菲自由电子模型总结：
❖ 电子在一无限深度的方势阱中运动，电子间的相互作 用忽略不计；
（即金属中的电子可以看作是被关在一个箱体中的 自由 电子）
❖ 电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计；
❖ 电子的填充满足泡利（Pauli）不相容原理；
❖ 电子在运动中存在一定的散射机制（为什么要有散射 机制？）。