2015高考数学配套课件：5-4 复数

A．±1
B．2
()
C．－1
D．1
答案 D 解析 (x＋i)2＝x2－1＋2xi，因为(x＋i)2 是纯虚数，所以 x＝
±1，结合 x>0，得 x＝1.
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a＋bic－di c2＋d2 .
(4)①i4n＝ 1 ，i4n＋1＝ i ，i4n＋2＝ －1 ，i4n＋3＝ －i .
②(1＋i)2＝ 2i ，(1－i)2＝ －2i .
③1
的立方根
w＝－12＋
23i；
w
＝－12－
3 2i
的性质．
有 w3＝1， w 3＝1，w2＝ w ， w 2＝w.
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|z1－z2|表示 Z1、Z2两点间的距离
．
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2．复数的运算
(1)(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i .
(2)(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(bc＋ad)i .
(3)ac＋＋dbii＝
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思考题 2 (1)(2013·课标全国Ⅰ)若复数 z 满足(3
A．－4
B．－45
C．4
4 D.5
【解析】 ∵|4＋3i|＝ 42＋32＝5，∴z＝3－5 4i＝532＋5 4i＝
35＋45i，虚部为45，故选 D.
【答案】 D
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例 2 (1)(2011·浙江)把复数 z 的共轭复数记作 z ，i 为虚数单
位．若 z＝1＋i，则(1＋z)·z ＝( )
A．3－i C．1＋3i
B．3＋i D．3
【解析】 (1＋z)·z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
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(2)(2012·陕西)设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复
数 a＋bi 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
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2．复数运算应掌握基本法则及 ω、i 的运算性质.
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1．(2013·课标全国Ⅱ)设复数 z 满足(1－i)z＝2i，则 z＝( )
1＋b2)－2i＝(b－ 1＋b2)－2i，由于 b－ 1＋b2<0，所以复数 2z1－|z2－1|在复平面内对应的点位于第三象限．
【答案】 C
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思考题 3 (2013·湖北)在复平面内，复数 z＝12＋i i(i 为虚数
单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 z＝12＋i i＝1＋i，z ＝1－i，对应点(1，－1)在第四
象限．
【答案】 D
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1．本课以复习复数的概念为主，数域扩充到复数集后，实 数集的性质不一定成立，解决复数问题两个基本途径：①利用复 数相等转化为实数问题，②利用复数的几何表示(点、向量)数形 结合去解决．
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探究 2 代数形式的复数运算，基本思路是应用法则，但如 果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用 i 的幂的性质， 1 的立方虚根 ω 的性质以及 1±i 的幂的性质等，将可有效地简化 运算，提高速度．
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1．复数的有关概念 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，当 b＝0 ，z 是实数； 当 b≠0 ，z 是虚数，当 a＝0，b≠0 ，z 是纯虚数．
【答案】 A
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(2)已知复数 z1＝cos23°＋isin23°和复数 z2＝cos37°＋isin37°， 则 z1·z2 为( )
A.12＋
3 2i
B. 23＋12i
C.12－ 23i
D. 23－12i
数，所以 2－a＝0，a＝2，故选 A.
方法二：12＋－aii＝i2a－－ii为纯虚数，所以 a＝2，故选 A.
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5．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 1＋i＝z(－1＋i)，则复数
z2 012 等于( )
－2)，在第四象限，选 D.
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2．(2012·湖南)复数 z＝i(i＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是
A．－1－i
B．－1＋i
()
C．1－i 答案 A
D．1＋i
解析 ∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴ z ＝－1－i.
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3．(2013·广东)若复数 z 满足 iz＝2＋4i，则在复平面内，z
对应的点的坐标是( )
A．(2,4)
B．(2，－4)
C．(4，－2)
D．(4,2)
答案 C 解析 由已知条件得 z＝2＋i 4i＝4－2i，所以 z 对应的点的坐
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思考题 1 (1)若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位， b 是实数)，则 b＝________.
【解析】 (1＋bi)(2＋i)＝2＋i＋2bi－b＝(2－b)＋(2b＋1)i 为纯虚数时，22－ b＋b＝ 1≠0， 0， ∴b＝2.
【答案】 2
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例 3 (1)若 a 为正实数，i 为虚数单位，|a＋i i|＝2，则 a＝(
)
A．2
B. 3
C. 2
D．1
【解析】 方法一：由已知|a＋i i|＝2，得|a＋i i|＝|(a＋i)·(－i)|
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请注意！
对于复数的考查越来越简单，一般只有一个选择题，以代数 形式运算为主，另外还有时考查复数的有关概念，代数形式的运 算技巧，复数的几何意义，复数模的最值，复数平面内点的轨迹 等.
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例 1 设复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数 m 取何值时，(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 对应的点位于复 平面的第二象限．
【解析】 (1)由lmg2＋m23－m2＋m2－≠20＝，0， 得 m＝3. (2)由 m2＋3m＋2＝0，得 m＝－1 或 m＝－2. (3)由lmg2＋m23－m2＋m2－>02，<0， 得－1<m<3. 【答案】 (1)m＝3 (2)m＝－1 或 m＝－2 (3)－1<m<3
(2)若 z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)， 当 a1＝a2，b1＝b2 ⇔z1＝z2. z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＝0⇔ a＝b＝0 .
(3)若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
|z|＝ a2＋b2 ，z 对应复平面上的点 Z(a，b) ；
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1．(2013·福建)已知复数 z 的共轭复数 z ＝1＋2i(i 为虚数单
位)，则 z 在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
解析 由条件知：z＝1－2i，其在复平面内对应的点为(1，
标为(4，－2)，故选 C.
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4．设 i 是虚数单位，复数12＋－aii为纯虚数，则实数 a 为(
)
A．2
B．－2
C．－12
1 D.2
答案 A
解析 方法一：12＋－aii＝12＋－aii22＋＋ii＝2－a＋52a＋1i为纯虚
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【解析】 复数 a＋bi ＝a－bi 为纯虚数，则 a＝0，b≠0；而 ab＝0 表示 a＝0 或者 b＝0，故“ab＝0”是“复数 a＋bi 为纯虚 数”的必要不充分条件，故选 B.
【答案】 B
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＝|1－ai|＝2，所以 1＋a2＝2.∵a>0，∴a＝ 3.
方法二：∵|a＋i i|＝|a＋|i| i|＝|a＋i|＝ a2＋1＝2，
∴a＝ 3.
【答案】 B
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(2)已知 i 为虚数单位，z1＝a－i，z2＝2＋bi(a，b 为实数)，
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(2)设 a 是实数，且1＋a i＋1＋2 i是实数，则 a＝(
)
A．1
1 B.2
C.15
D．－15
【解析】
a 1＋i
＋
1＋i 2
＝
a1－i 1＋i1－i
＋
1＋i 2
＝
a＋1＋2－a＋1i，由于该复数为实数，故－a＋1＝0，即 a＝1. 【答案】 A
A．i
B．－i
C．1
D．－1
答案 解析
C ∵z＝－1＋1＋i i＝i12＋＋ii＝1i ＝－i，∴z2 012＝1.故选 C.
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6．设 x>0，若(x＋i)2 是纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则 x＝
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第 4 课时 复 数
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1．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． 2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数形式的加法、 减法、乘法、除法运算． 3．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
【 解 析 】 z1z2 ＝ (cos23°＋ isin23°)(cos37°＋ isin37°) ＝
cos23°cos37°－ sin23°sin37°＋ (sin37°cos23°＋ cos37°sin23°)i ＝
cos60°＋isin60°＝12＋
3 2 i.
【答案】 A
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探究 1 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为
a＝0， b≠0，
做题时容易忽略 b≠0，从而造成错误．
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复数zz12为纯虚数，则 2z1－|z2－1|在复平面内对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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【解析】 zz12＝2a＋－bii＝2a＋－bii22－－bbii＝2a－b4＋－ba2b＋2i为 纯虚数，所以 2a＝b，所以 2z1－|z2－1|＝2a－2i－|1＋bi|＝(2a－