清新区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

清新区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
2． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为
负的是（ ） A ．① B ．②
C ．③
D ．④
3． 若双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
4． 已知条件p ：|x+1|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1 D ．a ≤﹣3
5．
某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π
6． 函数f （x ）=e ln|x|+的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线y=x2的焦点坐标为（）
A．（0，）B．（，0）C．（0，4） D．（0，2）
8．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）
A． B． C．24 D．48
9．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为
，x，y，则+的最小值是（）
A．20 B．18 C．16 D．9
10．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（）
A．＜，乙比甲成绩稳定B．＜，甲比乙成绩稳定
C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定
11．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
x-=表示的曲线是（）
12．方程1
A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆二、填空题
13．如图：直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为．
14．若与共线，则y=．
15．函数的单调递增区间是．
16．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．
17．抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4，则点M的横坐标x=．18．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由块木块堆成．
三、解答题
19．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足=+1（n ≥2）．
（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =（n ∈N *
），求使不等式b 1+b 2+…+b n ＞
成立的最小正整数n ．
20．已知矩阵A ＝，向量＝.求向量
，使得A 2＝.
21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线PA 与圆O 相切于点A ，PBC 是过点O 的割线，CPE APE ∠=∠，点H 是线段ED 的中 点.
（1）证明：D F E A 、、、四点共圆； （2）证明：PC PB PF ⋅=2
.
22．已知函数f（x）=ax2﹣2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=e处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若x∈（0，e]，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设a＞，g（x）=﹣5+ln，∃x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a的取值范围．
23．已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．
24．设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．
清新区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴；
故选：C．
2．【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，
④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．3．【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2
+y2=2的圆心（2，0），半径为，
双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，
可得：，
可得a2
=b2，c=a，
e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
4．【答案】A
【解析】解：由|x+1|≤2得﹣3≤x≤1，即p：﹣3≤x≤1，
若p是q的充分不必要条件，
则a≥1，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
5．【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．
依题意得（2r×2r＋1
2）×2＋5×2r×2＋5×2r＋πr×5＝92＋14π，
2πr
即（8＋π）r2＋（30＋5π）r－（92＋14π）＝0，
即（r－2）[（8＋π）r＋46＋7π]＝0，
∴r＝2，
∴该几何体的体积为（4×4＋1
2）×5＝80＋10π.
2π×2
6．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=e ln|x|+
∴f（﹣x）=e ln|x|﹣
f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，
故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，
可排除A，D，
当x→0+时，y→+∞，故排除B
故选：C．
7．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．8．【答案】C
【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
9．【答案】B
【解析】解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，
故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，
而+=2（+）×（x+y）
=2（5++）≥2（5+2）=18，
故选B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．
10．【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，
=（75+86+88+88+93）==86，则＜，
乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，
故选：A
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．
11．【答案】C
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，
∵P=1+3+…+（2n﹣1）=×n=n2＞20，∴n≥5，
故输出的n=5．
故选：C ．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．
12．【答案】A 【解析】
试题分析：由方程()2
111x y -=-+，两边平方得()2
22
1(11)x y -=-+，即22(1)(1)1x y -++=，所
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程.
二、填空题
13．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B ﹣APQC 的体积，底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，B 到侧面的距离是常数，求解即可． 【解答】解：由于四棱锥B ﹣APQC 的底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，不妨把P 移到A ′，Q 移到C ， 所求四棱锥B ﹣APQC 的体积，转化为三棱锥A ′﹣ABC 体积，就是：
故答案为：
14．【答案】 ﹣6 ．
【解析】解：若与
共线，则2y ﹣3×（﹣4）=0
解得y=﹣6 故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y 的方程，是解答本题的关键．
15．【答案】 [2，3） ．
【解析】解：令t=﹣3+4x ﹣x 2
＞0，求得1＜x ＜3，则y=
，
本题即求函数t 在（1，3）上的减区间．
利用二次函数的性质可得函数t 在（1，3）上的减区间为[2，3）， 故答案为：[2，3）．
16．【答案】 1 ．
【解析】解：点P（2，）化为P．
直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．
∴点P到直线的距离d==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．【答案】3．
【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=4=x+=4，
∴x=3，
故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
18．【答案】4
【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，
故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．
故答案为：4．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n≥2），
所以是首项为1，公差为1的等差数列，…
则=1+（n ﹣1）1=n ，…
从而S n =n 2
．…
当n=1时，a 1=S 1=1，
当n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2
=2n ﹣1．
因为a 1=1也符合上式， 所以a n =2n ﹣1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n ==
=
，…
所以b 1+b 2+…+b n =
==
，…
由
，解得n ＞12．…
所以使不等式成立的最小正整数为13．…
【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想
20．【答案】＝
【解析】A 2＝.
设
＝
.由A 2＝，得
，从而
解得x ＝-1，y ＝2，所以＝ 21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【
解
析
】
11
11]
试题解析：解：（1）∵PA 是切线，AB 是弦，∴C BAP ∠=∠，CPE APD ∠=∠， ∴CPE C APD BAP ∠+∠=∠+∠，
∵CPE C AED APD BAP ADE ∠+∠=∠∠+∠=∠, ∴AED ADE ∠=∠，即ADE ∆是等腰三角形
又点H 是线段ED 的中点，∴ AH 是线段ED 垂直平分线，即ED AH ⊥
又由CPE APE ∠=∠可知PH 是线段AF 的垂直平分线，∴AF 与ED 互相垂直且平分， ∴四边形AEFD 是正方形，则D F E A 、、、四点共圆. （5分） （2由割线定理得PC PB PA ⋅=2
，由（1）知PH 是线段AF 的垂直平分线，
∴PF PA =，从而PC PB PF ⋅=2
（10分）
考点：与圆有关的比例线段． 22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ） f ′（x ）=2ax ﹣= 由已知f ′（e ）=2ae ﹣=0，解得a=
．
经检验，a=符合题意．
（Ⅱ）
1）当a ≤0时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（0，e]上是减函数．
2）当a ＞0时，
①若＜e ，即，则f （x ）在（0，
）上是减函数，在（
，e]上是增函数；
②若
≥e ，即0＜a ≤
，则f （x ）在[0，e]上是减函数．
综上所述，当a ≤时，f （x ）的减区间是（0，e]，
当a ＞时，f （x ）的减区间是
，增区间是
．
（Ⅲ）当
时，由（Ⅱ）知f （x ）的最小值是f （
）=1+lna ；
易知g （x ）在（0，e]上的最大值是g （e ）=﹣4﹣lna ； 注意到（1+lna ）﹣（﹣4﹣lna ）=5+2lna ＞0，
故由题设知，
解得
＜a ＜e 2
．
故a的取值范围是（，e2）
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f（5）=3，
∴，
即log a27=3
解锝：a=3…
（2）由（1）得函数，
则=…
（3）不等式f（x）＜f（x+2），
即为
化简不等式得…
∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且的定义域为R．
∴x2+2＜x2+4x+6…
即4x＞﹣4，
解得x＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
24．【答案】
【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是
即
设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．
当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是。