(完整版)三方军备竞赛数学模型

东北大学秦皇岛分校
数学建模课程设计报告
三方军备竞赛模型及其
改进分析
学院数学与统计学院
专业数学与应用数学
学号7100405
姓名燕云
指导教师刘超张尚国
成绩
教师评语：
指导教师签字:
2013年7月15日
1 绪论
1.1背景
军备竞赛是指和平时期敌对国家或潜在敌对国家相互视为假想敌，在军事装备方面展开的质
量和数量上的竞赛。

各国之间为了应对未来可能发生的战争，相互扩充军备，增强军事实力。

是一种预防式的军事对抗。

近代比较著名的例子是第一次世界大战前20年欧洲列强之间展开的军备竞赛。

资料显示，几乎所有的先到战争都是以军备竞赛为前导的。

1979年加拿大人理查森研究了
1816-1965年间99件国际争端[1]
得到了理查森军备竞赛模型。

这个属性模型可为从事社会科学研究的人们提供一个借鉴。

引起两国间爆发战争的原因是多种多样的，但是在这众多原因中,军备竞赛是一个很重要的原因.例如，甲乙两国是敌对国家,乙国感到甲比他强大,就会为了自身的安全而增加预防开支,扩充军备；当甲看到乙在增加军费，扩充军备，其目的是在针对自己,为了保证自身的安全，甲也会扩充军备，如此循环，造成恶性循环，最终导致战争爆发。

1。

2 预备知识
在解决这一类模型时，我们常常要求解一些三次方程.所以我们在这里介绍一些实系数三次方程根的性质。

1. 实系数一元三次方程320x ax bx c +++=的根具有负实部的充要条件是：若0c >有
0,a a bc >>成立。

2. 理查森军备竞赛模型（两国家）：
两国家的理查森军备竞赛模型如下:
()x ()t x ky g
y t y lx h αβ⎧
=-++⎪⎨
⎪=-++⎩
甲乙两方在时刻t 的军备数量分别是()(),x t y t ，在一方军备增加时,另一方军备也增加，设甲的增长速率为k ，乙的增长速率为l 。

同时,由于一个国家的经济实力有限，任一方军备越大，对其军备增长的制约作用也越大。

设甲的制约系数为α，乙为β。

两方都有增加军备的能力设为g ，h 。

2 正文
2。

1理查森三方军备竞赛模型 2.1。

1 模型建立
理查森三方军备竞赛模型种国家间关系如图2.1.
图2.1理查森三方军备竞赛模型种国家间关系图
设甲、乙、丙三方时刻t 的军备数量分别为()x t ，()y t ，()z t ，模型如下:
()()()x t ax ly mz g y t by kx mz h z t cz kx ly f ⎧
=-+++⎪⎪
=-+++⎨⎪
⎪=-+++⎩
其中a 、b 、c 分别表示三方的自身制约程度；l 表示该方受乙方的刺激程度的度量，k 表示该方受甲方的刺激程度的度量,m 表示该方受丙方的刺激程度的度量。

g 、h 、f 是己方军备竞赛的固有潜力。

2。

1.2 模型分析 我们令
000ax ly mz g by kx mz h cz kx ly f -+++=⎧⎪
-+++=⎨⎪-+++=⎩
MATLAB 软件程序如下：
syms a l m b k c k f g h;
A=[—a l m ；—b k m;—c k l]； B=[-g ；-h ；—f]； rref （[A ，B ］）
得到的结果如下：
图2。

2平衡点系数结果
由此我们可以得到平衡点：0000(,,)P x y z ，其中
202kgl kgm kmf kmh mlf l h x lah l b cmk mka mkb mcl -+++++=
-+++-- 02lha amf mcg hcm gbl mbf y lak l b cmk mka mkb mcl -+++++=
-+++--
02fak fbl cgk kah kbg clh z lak l b cmk mka mkb mcl ----++=
-+++--
为求解平衡点0000(,,)P x y z 的平衡条件,记方差的系数矩阵为:
a l m B
b k
m b l
k -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
矩阵B 的特征方程为det()0I B λ-=，即
a
c
m b
k
m c
l
k
λλλ+----=--
化简得：
3222(2)(2)0k a k ml ak bc cm ak aml bml bck cmk λλλ-++--+++-+--=
故,若要求平衡点稳定需满足：
22220202(2)()a k k ml ak bc cm a k k ml ak bc cm ak aml bml bck cmk -<⎧
⎪
--++>⎨⎪-<--++-+--⎩
2.2模型的数值模拟
当a=0。

5，b=1,c=0.8,k=0。

3，m=1，l=0，f=1,g=1,h=1时求解上述模型的数值解. 利用MATLAB 程序
a=0.5；
b=1;c=0.8;k=0。

3；m=1;l=0；f=1;g=1;h=1； A=［-a l m ；-b k m ；-c k l]； B=［—g;-h ；—f]； rref （[A ，B]）
得到结果如下:
图2。

3平衡点结果
P=
进而可以知道平衡点0(3.3333,5.5556,0.6667)
进一步利用MATLAB
ts=—20：0。

5：20；
x0=［1，1，1];
[t，x]=ode45('shier’，ts，x0）；
plot(t,x),grid,gtext（’x（t）')，gtext（’y(t）’)，gtext(’z(t)')
得到图像：
图2。

4军备竞赛趋势图
2.1.3 模型的局限性
此模型中，对于自身的约束较弱，不能很好的反映生活中一个国家自身对自身军备复杂的影响因素；同时,在一个地区中,国与国的军备竞赛不仅仅是依赖于自身和对方的军事实力，也在很大程度上取决于对方国家的同盟国家的影响力，故此,这样的模型只能简单的反映几个国家短期的、简单的军备竞赛的情况.
2。

2 带Logistic项的改进模型
我们对一个国家对自身的约束做一个改进，一个国家的发展必然会受到地区和自身国家的约束，所以在自身影响的部分我们加入Logistic阻滞增长模型的思想，设一国家自身影响部分为：
()(1)x
x t ax
=--
N
2.2。

1 模型建立
改进模型种群间关系如图2.3.
图2。

5 改进模型种群关系图
设甲、乙双方时刻t 的军备数量分别为()x t ，()y t ,模型如下：
()()12(1)(1)x x t ax ly g N y y t by kx h N ⎧
=--++⎪⎪⎨
⎪=--++⎪⎩
其中a 、b 分别表示双方的自身制约程度；l 表示该方受乙方的刺激程度的度量，k 表示该方受甲方的刺激程度的度量，m 表示该方受丙方的刺激程度的度量。

g 、h 是己方军备竞赛的固有潜力.
1N 、2
N 表示相应国家自身允许发展的最大程度。

2。

2.2模型分析
平衡点000(,)P x y 使得下式成立：
120(1)0(1)x ax ly g N y by kx h N ⎧
=--++⎪⎪
⎨
⎪=--++⎪⎩
结果如下：
图2.6改进模型的平衡点
制约（在自身最大实力一定时）
制约（在自身最大实力一定时）
刺激
甲
乙。