2021年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学(文)试题

2021年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学（文）试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{0,1,2,3}A =，{}220B x x x =-<，则A
B =( ) A ．{0,1,2} B ．{0,1}
C ．{}3
D ．{}1 2．已知p ，q ∈R ，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（） A ．4- B ．0 C ．2 D ．4 3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，5152,
150a S =-=，则公差d =( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
4．已知ln3a =，3log 10b =，lg 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a << B ．a c b << C ．b c a << D ．c a b <<
5．函数()21x f x x
-=的图象大致为（） A ． B ．
C ．
D ．
6．双曲线22 C: 2x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =，则∆=OPF S ( )
A ．14
B ．12
C ．1
D ．2
7．已知sin 2410
απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin α=( )
A ．1225-
B ．1225
C ．2425-
D ．2425
8．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则（）
A ．()()P A P M >
B ．()()P A P M <
C ．()()P A P M =
D ．()P A 与()P M 的大小关系与半径长
度有关 9．下图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数）（）
A ．1900是闰年，2400是闰年
B ．1900是闰年，2400是平年
C ．1900是平年，2400是闰年
D ．1900是平年，2400是平年
10．将函数()2f x sin x =的图像上所有点向左平移4
π个单位长度，得到()g x 的图像，
则下列说法正确的是( )
A ．()g x 的最小正周期为2π
B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
是()g x 的一个对称中心 C ．34x π=是()g x 的一条对称轴 D ．()g x 在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增 11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，32n n S a =+则数列{}n S ( )
A ．有最大项也有最小项
B ．有最大项无最小项
C ．无最大项有最小项
D ．无最大项也无最小项
12．已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R
的球面上，且AB BC ==2AC =，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）
A ．50081π
B ．1009π
C ．259π
D ．4π
二、填空题
13．已知5,(2,1)a b ==，且//a b ，则向量a 的坐标是____.
14．若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩
，则3z x y =-的最大值为______.
15
．已知直线0x +=过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于点C ，2FA FC =，则该椭圆的离心率是____.
16．已知函数()
()(ln )x f x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是____.
三、解答题
17．某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对A B ，两位
选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：
（1）通过茎叶图比较A B ，两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（2）举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流，根据所得分数，估计A B ，两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大，并说明理由.
18．ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知ABC ∆的面积
21tan 6
S b A = （1）证明：3cos b c A =；
（2）若a c ==，求tanA .
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，2PD DC ==，点E 是PC 的中点.
（1）求证：//PA 平面BED ；
（2）若直线BD 与平面PBC 所成的角为30，求四棱锥P ABCD -的体积.
20．已知F 为抛物线2 C: 12x y =的焦点，直线:4l y kx =+与C 相交于,A B 两点．
（1）O 为坐标原点，求OA OB ⋅；
（2）M 为C 上一点，F 为ABM ∆的重心（三边中线的交点），求k ．
21．已知函数()sin cos =+f x ax x b x ，且曲线()y f x =与直线2y π
=相切于点
,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， （1）求()f x ；
（2）若2
()1f x mx +，求实数m 的取值范围.
22．在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐
标系xOy ，直线l 经过点(1,M --且倾斜角为α. ()1求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；
()2已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.
23．设函数()211f x x x =-++.
()1画出()y f x =的图像；
()2若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】 先化简集合{}220B x x x =-<，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】 因为{}{}
22002B x x x x x =-<=<<，
又{0,1,2,3}A =，
所以{}1A B ⋂=.
故选D
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，熟记概念，即可得出结果.
2．A
【分析】
由1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，代入方程化简得(2)=0p q p i +++，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.
【详解】
依题意，复数1i +是关于x 的方程2
0x px q ++=的一个根， 可得
21)(1)=0i p i q +++（＋，即：(2)=0p q p i +++， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩
，所以4p q ⋅=-，故选A. 【点睛】
本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．C
【分析】
根据题中条件，由15150=S 求出8a ，进而可得出结果.
【详解】
因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，5152,
150a S =-=，
所以15815150==S a ，即810a =，
因此85312=-=d a a ，所以4d =.
故选C
【点睛】
本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的求和公式与通项公式即可，属于常考题型.
4．D
【分析】
根据对数的单调性，分别求得,,a b c 的范围，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln 3ln e e <<，即12a <<， 333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，
所以c a b <<，故选D.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,,a b c 得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．D
【分析】
根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x
----===-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；
当0x >时，()211x f x x x x
-==-，则21'()1f x x =+＞0， 所以函数在0∞（，＋）
上递增，排除A ， 故选D .
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6．C
【分析】
由双曲线方程得到渐近线方程，以及右焦点坐标，再由||||PO PF =，求出P 点坐标，进而可求出三角形面积.
【详解】
因为双曲线方程为22C:2x y -=，
所以其渐近线方程为y x =±，右焦点为(2,0)F ，
因为点P 为C 的一条渐近线上的点，不妨设点P 在y x =上，且点P 在第一象限； 又||||PO PF =，所以∆POF 为等腰三角形，
所以点P 横坐标为1，因此(1,1)P ， 所以112∆=
⋅=OPF p S OF y . 故选C
【点睛】
本题主要考查双曲线中的三角形面积问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型. 7．D
【分析】 先由题意得到1sin
cos 225αα-=，再两边同时平方，根据同角三角函数基本关系，即可得出结果.
【详解】
因为sin 2410
απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 222210αα-=，
因此1sin cos 225
α
α
-=， 所以2sin co 5s 2122αα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，即151sin 2α-=， 所以24sin 25α=
故选D
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.
8．C
【分析】
利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解.
【详解】
由题意，设四分之一圆的半径为R ，则半圆的半径为2
R ， 阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142
R R π-，
阴影部分M 的面积为：
2222111122422R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（）
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．C
【分析】
由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，输入1900x =时，190040a MOD == ，
19001000b MOD ==
1900400c MOD == 3
输出1900是平年，
输入2400x =时，240040a MOD ==
24001000b MOD ==
24004000c MOD ==
输出2400是润年， 故选C 【点睛】
本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10．B 【分析】
先由题意得到()g x 的解析式，根据余弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】
因为将函数()2f x sin x =的图像上所有点向左平移
4
π
个单位长度，得到()g x 的图像， 所以()sin 2cos 22π⎛⎫
=+
= ⎪⎝
⎭
g x x x ， 所以()g x 的最小正周期为22
T π
π==，A 错； 由2,2
π
π=
+∈x k k Z 得,4
2
π
π
=
+
∈k x k Z ， 因此()g x 的对称中心为,0,42ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
k k Z ，B 正确； 由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=
∈，因此()g x 的对称轴为,2
k x k Z π=∈，C 错； 由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2
π
ππ-+≤≤∈k x k k Z ，
所以()g x 的单调递增区间为,,2πππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦
k k k Z ，D 错. 故选B 【点睛】
本题主要考查判断平移后的函数性质，熟记余弦函数的图像与性质即可，属于常考题型.
【分析】
先由32n n S a =+，得到1132--=+n n a S ，两式作差，得到数列{}n a 是以1
2
-为公比的等比数列；求出n S ，分别讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，即可得出结果. 【详解】
因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，32n n S a =+， 所以1132--=+n n a S ，两式作差，得13-=-n n n a a a ，
设11
2
n n a a -=-
， 数列{}n a 是以1
2
-为公比的等比数列；
又1132=+S a ，所以11a =，,
所以11112221211133233212
-⎛⎫⎛⎫⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭==-⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+n n n n
S ， 当n 为奇数时，1
1
211211332332--⎛⎫
⎛⎫=+⋅-=+⋅ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
n n n S 单调递减，
有最大值1
12111332-⎛⎫
=+⋅≤= ⎪
⎝⎭
n n S S ；且1
21123323
-⎛⎫
=+⋅>
⎪
⎝⎭
n n S ； 当n 为偶数时，1
1
211211332332--⎛⎫
⎛⎫=+⋅-=-⋅ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
n n n S 单调递增，有最小值
1
221113322-⎛⎫=-⋅≥= ⎪
⎝⎭
n n S S ；且1
2112
3323
-⎛⎫=-⋅<
⎪
⎝⎭
n n S ； 因此，数列{}n S 有最大值1；有最小值12
. 故选A 【点睛】
本题主要考查等比数列的前n 项和的最值问题，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
【分析】
根据勾股定理可知AB BC ⊥，从而求得1ABC S ∆=；根据棱锥体积公式可知，若三棱锥体积最大,则可得点D 到平面ABC 的最大距离3DO '=，在Rt OAO '∆中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径R ，代入球的表面积公式可求得结果. 【详解】
AB BC ==2AC =
222AB BC AC ∴+= AB BC ∴⊥
1
12
ABC S AB BC ∆∴=
⋅= 如下图所示：
若三棱锥D ABC -体积最大值为1，则点D 到平面ABC 的最大距离：3d = 即：3DO '=
设球的半径为R ，则在Rt OAO '∆中：()2
2213R R =+-，解得：53
R =
∴球的表面积：210049
S R π
π==
故选B 【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离，根据外接球的性质可确定球心的大致位置，通过勾股定理构造关于半径的方程求得外接球半径.
13． 或(- 【分析】
先设(,)a x y =，根据题中条件，列出方程组，求解，即可得出结果.
设(,)a x y =， 因为||5,
(2,1)==a b ，且//a b ，
所以22
2025x y x y -=⎧⎨+=⎩
，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 因此向量a
的坐标是
或(-.
故答案为
或(- 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型. 14．0 【分析】
作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，作出约束条件20
210220x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≤⎩
所表示的平面区域，如图所示，
目标函数3z x y =-可化为直线3y x z =-，当直线3y x z =-过点C 时，此时目标函数取得最大值， 又由20
210x y x y -+=⎧⎨
-+=⎩
，解得1,3x y ==，即1,3C （），
所以目标函数的最大值为3130z =⨯-=.
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 15
【分析】
先由题意求出(F ，再设(,)A x y ，根据2FA FC =，
结合题意求出点2)A ，代入椭圆方程，求出,a b ，进而可得出结果. 【详解】
因为直线0x -=过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点F ，
所以(F ，
设(,)A x y ，因为2FA FC =
，由题意可得(20(⎡⎤-=-⎣⎦x ，
所以x (,)A x y
在直线0x -=上，所以2y =，
即2)A ，
由题意可得2222
2
3
34
1a b c a b ⎧-==⎪
⎨+=⎪⎩
，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以离心率为3
c e a =
=
.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型. 16．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
先由x
y e =的图像与ln y x =的图像可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax
=介于x
y e =与ln y x =之间，作出其大致图像，由图像得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的
方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果. 【详解】
由x
y e =的图像与ln y x =的图像可得，ln >x e x 恒成立； 所以若(
)
()(ln )0=--<x
f x e ax x ax 恒成立，
只需0ln 0
x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，
即直线y ax =介于x
y e =与ln y x =之间，作出其大致图像如下：
由图像可得，只需<<OA OB k a k ； 设11(,)A x y ， 由ln y x =得1
y x
'=
，所以1
1
1OA x x k y x ==
'=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为111
1
ln ()-=
-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以1111
0ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e
； 设22(,)B x y ，
由x y e =得e x
y '=，所以22
x OB x x k y e =='
=，
所以曲线x
y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为2
22()-=-x x y e e x x ，
又该切线过点O ，所以2
220(0)-=-x x e e x ，解得21x =，所以=OB k e ；
所以
1
a e e
<<.
故答案为1
,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.
17．(1)A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，
B 选手所得分数比较分散．(2) A 选手直接晋级的概率更大．理由见解析
【分析】
（1）根据茎叶图中数据的分布特征，可直接得出结论；
（2）用A C 表示事件“A 选手直接晋级”，B C 表示事件“B 选手直接晋级”，根据茎叶图中的数据，计算概率，即可得出结果. 【详解】
（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． （2）A 选手直接晋级的概率更大．
用A C 表示事件“A 选手直接晋级”，B C 表示事件“B 选手直接晋级”．由茎叶图得
()A P C 的估计值为82(53)20205+÷=
= ， ()B P C 的估计值为7
(52)2020
+÷= ，
所以，A 选手直接晋级的概率更大． 【点睛】
本题主要考查茎叶图的特征，以及古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.
18．(1)证明见解析；(2) 2 【分析】
（1）由三角形面积公式，结合题意，得到211
sin tan 26
S bc A b A ==，化简整理即可得出结论成立；
（2）由（1）的结论，结合（2）中数据，得到2230bccosA cos A =，再由余弦定理得到
22845530cos A cos A -=+，解方程，即可求出结果.
【详解】 （1）由211
sin tan 26S bc A b A =
=得3sin tan c A b A = ． 因为sin tan cos A A A =
，所以sin 3sin cos b A
c A A
=， 又因为0A π＜＜，所以0sinA ≠ ， 因此3b ccosA =．
（2）由（1）得3cos b c A A ==，所以2230bccosA cos A = 由余弦定理得2222a b c bccosA =+-， 所以22845530cos A cos A -=+，
解得2
1cos 5A =
因此2
4sin 5
A =，即2tan 4A =
由（1）得0cosA ＞，所以0tanA ＞ ， 故2tanA =． 【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记同角三角函数基本关系，以及余弦定理即可，属于常考题型. 19．(1)证明见解析；(2) 83
【分析】
（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）先由线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面PCD ，再得到DE ⊥平面PBC ，从而可得DBE ∠即为直线BD 与平面PBC 所成的角，设AD x =，在Rt DBE ∆中，列式求出2x =，再由棱锥的体积公式，即可得出结果. 【详解】
（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE EC AO OC ==，，
//PA EO ∴，又PA ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ， //PA ∴平面BED ．
（2）由PD ⊥底面ABCD ，得PD BC ⊥， 又由题意可知CD BC ⊥，且PD CD D ⋂=
BC ∴⊥平面PCD ，则BC DE ⊥ ．
由PE EC PD DC ==，，则PC DE ⊥，且PC BC C ⋂=，
DE ∴⊥平面PBC ，所以DBE ∠即为直线BD 与平面PBC 所成的角
设AD x =，在Rt DBE ∆中，DE BD =，
则1
sin 2
DE DBE BD ∠=
=，解得2x = ∴四棱锥P ABCD -的体积18
33
ABCD V PD S =⨯⨯=矩形
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，以及由线面角求其它量的问题，熟记线面平行、线面垂直的判定定理，以及棱锥的体积公式即可，属于常考题型.
20．(1)-32；(2) 12
k =或12-．
【分析】
（1）先设1122()()A x y B x y ，，，，将l 的方程代入抛物线C 的方程，根据韦达定理，以及向量数量积的运算，即可得出结果；
（2）先由题意得到3(0)F ，
，设33()M x y ，，根据F 为ABM ∆的重心，得到12312309x x x y y y ++=++=， ，由（1）的结果表示出33，x y ，再代入抛物线方程，即
可求出结果. 【详解】
（1）设1122()()A x y B x y ，，， ，
将l 的方程代入C 得：212480x kx -=- ，
所以121212,48x x k x x +==-，即()2
1212
2
1612x x y y == ，
从而121232OA OB x x y y ⋅=+=-
（2）依题意得3(0)F ，
，设33()M x y ，， 因为F 为ABM ∆的重心，所以12312309x x x y y y ++=++=， ， 从而312(1)2x x x k =-+=-，
312)9(y y y +-=22
12912x x +=-()2
12122912
x x x x +-=-2112k =- 因为33()M x y ，在抛物线C 上，
所以22
1212()(112)k k --=，即2
1
24
k =
．
故12
k =
或12-．
【点睛】
本题主要考查抛物线中的定值问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，以及抛物线的方程求解，属于常考题型. 21．(1) ()f x xsinx cosx =+；(2) 1
2
m 【分析】
（1）先由题意得到222a f πππ⎛⎫==
⎪⎝⎭，求出1a =，再对函数求导，根据02π⎛⎫'= ⎪⎝⎭
f 求出b ，从而可得到解析式； （2）先令22()()11
g x mx f x mx xsinx cosx -=--++= ，先由题意确定0m ≥，再由函
数奇偶性的概念，易得到()g x 为偶函数，因此只需0x ≥时，()0g x ≥；对函数()g x 求导，分别讨论12m
，102m <两种情况，用导数的方法研究其单调性，最值等，即可得出结果. 【详解】 （1）由题意可得：22
2a f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1a = ('(1))f x xcosx b sinx +-=，
由102f b π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭
得1b = ． 所以()f x xsinx cosx =+．
（2）令22
()()11g x mx f x mx xsinx cosx -=--++= ，
由()0g x ≥得224()0g m ππ≥=，所以0m ≥．
显然()g x 为偶函数，所以只需0x ≥时，()0g x ≥． ()'2cos 2co )s (g x mx x x x m x ≥-=-， 当12
m 时，'()0g x ≥，即()g x 在)[0+∞，上单调递增， 所以()(0)0g x g ≥=， 从而12
m 时，2(1)f x mx +≤成立． 当102m <时，因为2y m cosx =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 又0x =时，210y m =-<；2x π
=
时，20y m ≥＝ ，
所以存在00,2x π⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
，使得020m cosx =-， 因此0)(0x x ∈，时，20m cosx -<，)'(0g x <，即()g x 在0(0)x ，上单调递减， 所以0)(0x x ∈，时，()()=00g x g <，与()0g x ≥矛盾， 因此102
m <时不成立． 综上，满足题设的m 的取值范围是12m
【点睛】
本题主要考查导数的应用，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.
22．（1）()22
24x y -+
=，1 x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).（2）3πα= 【分析】
（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；
()2将直线l 的方程代入圆C 的方程，利用根与系数的关系，求得A B t t +，A B t t ，由A 为MB 的中点，得到2B A t t =，求得,A B t t ，即可求得A B t t 的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，圆:4C cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，
因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以224x y x +=，即()2
224x y -+=， 根据直线的参数方程的形式，可得直线
l :1
x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<). ()2设, A B 对应的参数分别为, A B t t ，
将直线l 的方程代入
C ，整理得2620)3t t cos αα-++=，
所以6)A B t t cos αα+=+，32A B t t =，
又A 为MB 的中点，所以2B A t t =，
因此)246A t cos sin πααα⎛
⎫ ⎪⎝=++⎭=， 8sin 6B t πα⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
， 所以232sin 326A B t t πα⎛
⎫=+= ⎪⎝⎭，即2sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 因为0a π≤<，所以7666
π
π
πα≤+<， 从而=62π
π
α+，即3π
α=.
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
23．（1）画图见解析（2）5
【分析】
（1）根据绝对值的定义，可得分段函数()f x 的解析式，进而作出函数的图象；
（2）由不等式()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥，再由绝对值的三角不等式，
求得当且仅当3m ≥，且2n ≥时，()
f x m x n ≤+成立，即可求解m n +的最小值. 【详解】
（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩
， 所以()y f x =的图象如图所示：
（2）由()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥，
又因为()()21|()31f x x x x ≥++=-，所以3m x n x +≥.(※)
若3m ≥，(※)式明显成立；
若3m <，则当3n x m
>-时，(※)式不成立， 由图可知，当3m ≥，且2n ≥时，可得()
f x m x n ≤+， 所以当且仅当3m ≥，且2n ≥时，()
f x m x n ≤+成立， 因此m n +的最小值为5.
【点睛】
本题主要考查了绝对值的定义及应用，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号，以及合理利用绝对值不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.。