2017-2018学年高中数学综合检测新人教A版选修1-1

综合检测
时间：120分钟满分：150分
一项是符合题目要求的
答案：D
3
2
4.已知函数f (x ) = x — 3x — 9x ,则函数f (x )的单调递增区间是( C. ( — 1,3)
D. ( —8, 3) , (9 , +8) 3
2
解析:v f (x ) = x — 3x — 9x ,
•••f '(x ) = 3x — 6x — 9= 3(x — 2x — 3). 令 f '( x )>0 知 x >3 或 x <— 1.
、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有
1 .命题"若a >b ,则 a + 1>b ”的逆否命题是(
C.若 解析: 答案:
a + K
b ,贝U a >b
a +1 w
b ,贝U a w b
“若a >b ,则a + 1>b ”的逆否命题为“若 2.函数y = (x — a )( x — b )在x = a 处的导数为(
A. ab B
B .若 D.若 a +1 w b ,则
.—a ( a — b ) C
2
解析：y = x — (a + b ) x + ab ,「. y '= 2x — (a + b ),
y | x=a = 2a — (a + b) = a — b.
答案：D
3.
过点P(1 , — 3)的抛物线的标准方程为(
A.
B.
宀1y
C.
D .
a + 1<
b ，贝U a >b a + 1<b ，贝U a <b
a w
b ”，故选 C.
解析：F (1 , — 3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下, 2
x = — 2py ( 设方程为 2
y = 2px (p >0)或
2 2
1
p >0)代入 F (1 , — 3)得 y = 9x 或 x =— §y .
A. (3,9) B .
( —8,
1) , (3 ,+呵
t
)
.0
D
答案：B
2
5.已知双曲线 才一£= 1（a >0, b >0）的一条渐近线方程为
2
. 2
. 2
2
a + b
b e =
2-
= 1 + 2= 1 +
a
a
9 9
即“ a >b ” 是
“ ac >bc ” 的充要条
件，故选 C.
答案：C
则下面选项中真命题是
答案：A 6. 设a , b , c 均为正实数，则“ a >b ” 是“ ac >bc ”的(
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 解析：根据充分性和必要性的概念判断•因为
a ,
b ,
c 是正实数，所以 a >b 等价于ac >bc ,
A.(綈 p ) A (綈 q ) B .
(綈 p ) V (綈 q )
C. p V (綈 q )
D. P A
q 2 2 解析：由2x <3x 得（石）x <1,当x <0时，（：）x >1,所以命题p 为假命题.綈
3
p 为真，选B.
答案：B &已知曲线y = x 4 + ax 2
+1在点（一1, a + 2）处切线的斜率为 8,贝U a =（ A. 9 B
D.— 6 解析:、y '= 4x 3 + 2ax ,由导数的几何意义知在点（一1, a + 2）处的切线斜率
k = y ，| x =—1
—4 — 2a = 8,解得 a =— 6. 答案：D 2 2
x y
=1与椭圆m +書=1（ a >0, m*b >0）的离心率互为倒数，那么以
a ,
b , m 为边
长的三角形一定是（ A.锐角三角形 B .钝角三角形 C.直角三角形
D.等腰三角形
A .3
4 B. 3 C. D.
解析:
由题意得b
4 3’
4
y = 3X ，则该双曲线的离心率为
16 25
7.已知命题p ： ? x € (—s, 0) , 2x <3x ;命题 q ： ? x € R ,
f (x ) = x 3— x 2 + 6的极大值为6,
2 . 2 2 . 2 2.22.2
2
a + b
2
m — b
2 2
a +
b m — b 解析：双曲线的离心率 e i = 2—，椭圆的离心率 e 2= 2—，由已知ee 2= 1,即—2— x 2— a
m am
=1，化简，得 a 2 + b 2= m. 答案：C
能是图中的(
)
解析：••• x € ( —8, — 2)时，f '(x )<0,.・.f (x )为减函数；同理f (x )在(一2,0)上为增函 数，(0 ,+8)上为减函数. 答案：A
11. 已知函数y = f (x ),数列｛a n ｝的通项公式是 a n = f ( n )( n € N ),那么"函数y = f (x )在［1 , + 8 )上单调递增”是“数列｛a n ｝是递增数列”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：当函数y = f (x )在［1 ,+8)上单调递增，“数列｛a n ｝是递增数列”一定成立•当函数 y = f (x )在［1,2］上先减后增，且 f (1)< f (2)时，数列｛a n ｝也可以单调递增，因此“函数 y = f (x )在［1 , +8)上单调递增”是“数列｛a n ｝是递增数列”的充分不必要条件，故选 A.
答案：A
10.已知f (x )的导函数f
(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可
2 2
x y
12. 双曲线二一吉=1(a>0, b>0)的两个焦点为F1, F2,若P为其上一点，且|PF| = 2| PF2| ,
a b
1
C. (3
D. [3
则双曲线离心率的取值范围为 (
解析：由双曲线的定义得 |PF | — |PF 2| =|PF | = 2a , |PF | = 2| PF 2| = 4a , •/ | PF | + | PF | >| F 1F 2I , •••6a 》2c , a <3,
a
故双曲线离心率的取值范围是 (1,3］，选B. 答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上 ) 13.函数f (x ) = x 3— 3a 2x + 2a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则
a 的取值范围是
•••当x = a 时，f (x )有极小值，x =— a 时，f (x )有极大值.
14.若命题“ ？ x € R,使得x 2 + (1 — a )x +1<0”是真命题，贝U 实数a 的取值范围是 _______
2 解析：由题意可知， △= (1 — a ) — 4>0, 解得a <— 1或a >3.
答案：(—R, — 1) U (3 ,+^)
15.过抛物线 C y 2= 4x 的焦点F 作直线I 交抛物线C 于A , B 两点，若A 到抛物线准线的 线准线的距离为4,
2
P
--X A + 1 = 4，…X A = 3,
- X A X B = 乂 = 1 ,• • X B =二
4 . •••I AB = X A + X B + p = 3+1 + 2 = ¥•
3
3
… 16 答
案：亍
A. (1,3) B . (1,3] f '(x )<0 时，得—a <x <a . a 3— 3a 3 +
2a <0
, 由题意得:
3 3 f — a + 3a + 2a >0,
距离为4，则|AB =
2
解析：设 A (X A , y A ) , B (X B , y B ) , v y = 4x , •抛物线准线为 x =— 1, F (1,0)，又A 到抛物
2 2
解析：v f '(x ) = 3x — 3a =3( x — a )( x + a )( a >0),
0>0,
答案：(1 ,+s)
(x )>0 时，得：x >a 或 x <— a ,
16. 已知双曲线x2 3—y2= 1,点F i, F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF丄PF2,则| PF| + | PR| 的值为 ________ .
解析：由双曲线的方程可知a= 1, c= 2,
•••II PF| —|PF|| = 2a= 2,
2 2
• | PF| —2| PF|| PF + | PF| = 4,
•/ PF 丄PF,
•| PF|2+ | P^|2= (2 c)2= 8,
• 2| PF|| PR| = 4,
2
• (| PF| + | PF|) = 8 + 4= 12,
• | PF| + | PF| = 2©
答案：2.3
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (12分)已知c>0，设命题p：函数y= c x为减函数.命题q：当x€ 1 2时，函数f(x)
1 1
=x + ->-恒成立•如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围.
x c
解析：由命题p为真知，0<c<1,
1 5
由命题q为真知，2< x
x 2,
1 1
要使此式恒成立，需^<2，即c>2,
若p或q为真命题，p且q为假命题，
则p、q中必有一真一假，
当p真q假时，
1
c的取值范围是0<c< ；
当p假q真时，c的取值范围是c > 1.
r 气
2 _
3 2 厶18. (12 分)已知函数f( x) = x + ax + bx+ c(x€ [ —1,2])，且函数f (x)在x= 1 和x =—-处
3都取得极值.
(1) 求a, b的值；
(2) 求函数f(x)的单调递增区间.
1 综上可知，c的取值范围是C c 0<c< 2或c.
3 2 2
解析：⑴T f(x) = x + ax + bx+ c, ••• f '(x) = 3x + 2ax + b.由题易知，<
解得
b= —2.
2
(2)由(1)知，f'(x) = 3x -x —2 = (3x + 2)( x —1),
•••当 x € 厂— 2
) ,f '(x )>0 ; 当x €
|，1!
,f '(x )<0 ； Cv
当 x €
(1,2］
•-f (x )的单调递增区间为
—1, — 2和(1,2]. -
3
丿
19. (12分)已知直线l 经过抛物线y 2= 6x 的焦点F ,且与抛物线相交于 A 、B 两点. (1)若直线I 的倾斜角为60°,求|AB 的值;
⑵ 若|AB = 9,求线段AB 的中点M 到准线的距离.
解析：(1)因为直线I 的倾斜角为60°,如图.所以其斜率 k = tan 60° =3,又 F (2 , 0).
所以直线I 的方程为y =, 3(x — 2).
y 2= 6x , 联立 - 3 消去y 得
y =3 x —2
设 A (X 1 , y 1), B (X 2 , y 2).则 X 1 + X 2= 5 ,
十
p p
而| AE | = | AF | + | BF | = X 1 + ?+ X 2 + 2 = X 1 + X 2+ p . • -1 AE | = 5+ 3= 8.
p p
⑵ 设 A ( X 1 , y" , B (x 2 , y 2),由抛物线定乂知 | AE | = | AF | + | BF | = X 1 + 2+ X 2+ 2 = X 1 + X 2+ p
=X 1 + X 2+ 3,所以X 1 + X 2 = 6 ,于是线段 AB 的中点M 的横坐标是3 ,又准线方程是 x =—弓,
所以M 到准线的距离等于
3 3+
3=
J
X 2 — 5x + 9= 0.
4
1
e x -
f (0) • x + -x 2(e 是自然对数的底数).
(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；
1 2
⑵ 若函数g (x ) = 2X + a 与函数f (x )的图象在区间［—1,2］上恰有两个不同的交点，求实数
a 的取值范围.
解析：(1)由已知得 f '( x ) =f e x — f (0) + x ,
e
令 x = 1，得 f ' (1) = f ' (1) — f (0) + 1, 即 f (0) = 1.
f ■' 1
又 f (0)= ，所以 f ' (1) = e.
从而 f (x ) = e x — x + 2x 2.
显然f '(x ) = e x — 1+ x 在R 上单调递增且f ' (0) = 0, 故当 x € (—g, 0)时，f '(x )<0 ;
当 x € (0，+g )时，f '(x )>0.
f (x )的单调递减区间是(一g, 0),
单调递增区间是(0，+g ).
(2)由 f (x ) = g ( x )得 a = e x —x .
令 h ( x ) = e x — x ，贝U h ' ( x ) = e x — 1.
由 h ' (x ) = 0 得 x = 0.
所以当 x € ( — 1,0)时，h '(x )<0 ;
当 x € (0,2)时，h '(x )>0.
.h (x )在(—1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增.
1 2
又 h (0) = 1，h ( — 1) = 1 + -，h (2) = e — 2 且 h ( — 1)<h (2).
e
21. ( 13分)如图，已知中心在原点 O,焦点在x 轴上的椭圆 C 的离心
率为屮，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端 点，点O 到直线
AB 的距离为学.
5
(1)求椭圆C 的标准方程；
20. (12分)已知函数f (x ) = f •••两个图象恰有两个不同的交点时，
实数 a 的取值范围是i 1，1+三
⑵已知点日3,0)，设点P, Q是椭圆C上的两个动点，满足EPL EQ求EP- QP勺取值范围.
c \/3
解析：⑴由离心率e =召二方,
b ______ 2 1
得 = 1 — e = -. a = 2b .① a 甲 2 •••原点0到直线AB 的距离为电5 5
直线AB 的方程为bx — ay + ab = 0, •—
=仝^5.②
将①代入②，得b = 9,「. a = 36.
2 2 则椭圆C 的标准方程为—+y =1.
36 9
(2) ••• EP 丄 EQ ••• EP - EQ =
0,
• EP - @P = E P -( E P-E (Q = E P
2
设 P (x , y )，贝y y 2= 9 — 4,
• EP - QP= E P = (x — 3)2+ y 2
2
=x 2— 6x + 9+ 9 ——. 4
=4( x — 4)2 + 6.
••• — 6< x w 6. •• 6< [(x — 4)2+ 6< 81,
则EP ・QP 勺取值范围为[6,81].
22. (13分)在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量
)
数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为 16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产 量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置
(1)试问放置多少个网箱时，总产量 Q 最高？
10个网箱. (2)若鱼的市场价为 m 万元/吨，养殖的总成本为
(5ln x + 1)万元. ①当0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益
y 最大? ②当0.25时，求使得收益 y 最高的所有可能的 解析：(1)设p = ax + b ,由已知得 16= 4a + b , 10= 7a + b ,
p 是网箱个数x 值组成的集合.
所以 r
a =— 2,
所以p = — 2x + 24,所
b = 24,
2 *
以Q= px= ( —2x + 24) x=—2( x—6) + 72(x€ N ,
放置6个网箱时，可使总产量达到最大.
2 *
⑵总收益为y= f (x) = ( —2x + 24x) n—(5ln x + 1)( x€ N , x w 10),
2 1 1 2
①当m^0.25 时,(x) = ( —2x + 24x) X 玄—(5ln x + 1) =- q X + 6x—5ln x —1，所以f '( x)
x—1
当1<x<5时，f '(x)>0，当5<x<10时，f '(x)<0，所以x= 5时，函数取得极大值，也是最大值•所以应放置5个网箱才能使总收益y最大；
2
②当m>0.25 时，f(x) = ( —2x + 24x) m—(5ln x + 1),
所以f
2
, —4mx + 24 mx- 5 (x)—
X
令f '(x) = 0，即一4m)x+ 24mx- 5 = 0,因为rr>0.25 ,所以△= 16n(36m—5)>0 ,方程一
4m)2+ 24mx- 5= 0 的两根分别为X1 = 3—气9 —-5, X2= 3 + 气 / 9—2，因为mi>0.25，所以
\j4m xj4m
X1W 1.5 w X2<6,所以当x€ (1 , X2)时，f '(x)>0，当X2<x<10 时，f '(x)<0，所以x =
X2时，函数取得极大值，也是最大值.
所以使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合为{5,6} •
x w 10)，所以当x=6时，f(x)最大，即。