高三数学一轮复习 第2课时知能演练轻松闯关 选修41 试题

2021年高三数学一轮复习选修4-1第2课时知能演练轻松闯关新
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一、填空题
1.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2，CB ＝43，那么CD＝__________.
解析：根据射影定理得CB2＝BD×BA，即(43)2＝BD(BD＋2)，得BD＝6，又CD2＝AD×BD＝12，所以CD＝12＝2 3.
答案：2 3
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，那么∠D＝________.
解析：连接BD(图略)，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.
答案：125°
3.(2021·高考卷)如下图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，那么AB＝________.
解析：根据圆的性质有∠PAB＝∠ACB, 而∠BAC＝∠APB，故△PAB∽△ACB，故有AB
PB
＝
BC
AB
，将
PB＝7，BC＝5代入解得AB＝35.
答案：35
4．(2021·高考卷)如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝2a
3
，∠OAP ＝30°，那么CP ＝________.
解析：∵AP ＝PB ，∴OP ⊥AB . 又∵∠OAP ＝30°，∴AP ＝
32
a . 由相交弦定理得CP ·PD ＝AP 2
.
∴CP ＝AP 2PD ＝34a 2×32a ＝98
a .
答案：9
8
a
5.(2021·高考卷)如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，
BE 与AD 相交于点F ，那么AF 的长为________．
解析：如图，连接CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的
两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33
， ∴AF ＝AD －DF ＝23
3.
答案：233
6.(2021·高考卷)如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .假设BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，
AD ＝3，那么DE ＝________；CE ＝________.
解析：由圆的割线定理知：AB ·AC ＝AD ·AE ， ∴AE ＝8，∴DEEB (图略)，∵∠EDB ＝90°， ∴EB 为直径，∴∠ECB ＝90°. 由勾股定理，得
EB 2＝DB 2＋ED 2＝AB 2－AD 2＋ED 2＝16－9＋25＝32.
在Rt △ECB 中，EB 2
＝BC 2
＋CE 2
＝4＋CE 2
， ∴CE 2
＝28，∴CE ＝27. 答案：5 27 二、解答题
7.如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD ＝2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．
解：连接OD ，DB ，那么OD ⊥DC .
在Rt△OED 中，OE ＝12OB ＝1
2OD ，
所以∠ODE ＝30°.
在Rt△ODC 中，∠DCO ＝30°，由DC ＝2， 那么OD ＝DC tan 30°＝23
3
，
又∠CDB ＝1
2∠COD ＝30°，所以∠CDB ＝∠DCO ，
所以BC ＝BD ＝OD ，所以BC ＝23
3
.
8.(2021·高考卷)如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦
AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．
证明：如图，连接AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D .连接BD ，CE .因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．
从而∠ABD ＝∠ACE ＝π
2.
所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝
2r 12r 2＝r 1
r 2
.所以AB ∶AC 为定值．
9.如下图，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE .请判断DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论．
解：DE 是⊙O 的切线．
如图，连接OD 、CD ，那么OD ＝OC ，
∴∠OCD ＝∠ODC .又AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°.
∴三角形CDB 为直角三角形． 又E 为BC 的中点，∴DE ＝1
2BC ＝CE ，
∴∠ECD ＝∠EDC .
又∠OCD ＋∠ECD ＝90°，∴∠ODC ＋∠EDC ＝90°， 即∠ODE ＝90°，∴DE 为⊙O 的切线．
10.(2021·高考卷)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .
(1)证明：△ABE ∽△ADC ；
(2)假设△ABC 的面积S ＝1
2AD ·AE ，求∠BAC 的大小．
解：(1)证明：由条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .
(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝AD
AC
， 即AB ·AC ＝AD ·AE .
又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝1
2AD ·AE ，
故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .
那么sin ∠BAC ∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.
11.如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、
F .
(1)求证：AB 2
＝AE ·BC ；
(2)BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． 解：(1)证明：因为BE 切⊙O 于B ， 所以∠ABE ＝∠ACB . 由于AD ∥BC ， 所以∠BAE ＝∠ABC . 所以△EAB ∽△ABC . 所以AE AB ＝
AB BC
.故AB 2
＝AE ·BC .
(2)由(1)，知△EAB ∽△ABC ， 所以BE AC ＝
AB
BC
.
又AE ∥BC ，所以EF AF ＝
BE
AC
.
所以AB BC ＝
EF
AF
.
因为AD ∥BC ，所以AB ＝CD . 所以AB ＝CD .所以58＝EF
6.
所以EF ＝308＝15
4
.
12.如图，C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .
(1)求∠ADF 的度数； (2)假设AB ＝AC ，求AC BC
的值． 解：(1)∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B ＝∠EAC ，
又CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCB ， ∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ， 即∠ADF ＝∠AFD .
又∵BE 为圆O 的直径，∴∠BAE ＝90°， ∴∠ADF ＝1
2(180°－∠BAE )＝45°.
(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACE ＝∠BCA ， ∴△ACE ∽△BCA ，∴AC BC ＝AE BA
. 又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ， ∴∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ，
由∠BAE ＝90°及三角形内角和定理知，∠B ＝30°， ∴在Rt △ABE 中，
AC BC ＝AE BA ＝tan B ＝tan 30°＝33
. 13.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，
DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4.
(1)求PF 的长度；
(2)假设圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．
解：(1)连接OC ，OD ，OE ，由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长
AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，
又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，
从而∠PFD ＝∠OCP ， 故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PD PO
.由割线定理知，
PC ·PD ＝PA ·PB ＝12，
故PF ＝
PC ·PD PO ＝12
4
＝3. (2)假设圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1.
所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，那么PT 2
＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2. 14.(2021·高考课标全国卷)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2
－14x ＋mn ＝0的两个根．
(1)证明：C ，B ，D ，E 四点一共圆；
(2)假设∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．
解：(1)证明：如图，连接DE ，在△ADE 和△ACB 中，
AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，
即AD AC ＝AE AB
.
又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB .
因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点一共圆．
(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2
－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2AD ＝2，AB ＝12.
如图，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G 、F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点一共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH . 由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝1
2(12－2)＝5.
故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.
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