2023届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区高一上数学期末综合测试试题含解析

f
x
x, x 2
2, x
2
，则
f
f
2 等于
A.2
B.4
C.1
D. 1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13．若 y tan(2x ) ，则该函数定义域为_________ 4
14．定义域为 R，值域为
的一个减函数是___________.
15．已知函数 f (x) ex ，若关于 x 的不等式[ f (x)]2 2 f (x) a 0 在[0，1]上有解，则实数 a 的取值范围为______
【详解】先绘制出 f x lg x ，分析该函数为偶函数，而 g x lg x 1 相当于 f x 往右平移一个单位，得到函
数图像为：
发现交点 A,B,C,D 关于 x 1 对称，故 xB xC 1, xA +xD 1，故所有实数解的和为 4，故选 B
2
2
【点睛】本道题考查了函数奇偶性判定法则和数形结合思想，绘制函数图像，即可 9、A
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得
log3 (9t 1) t log3(91 1) 1 ，再构造函数 g(t) log3 (9t 1) t ，利用函数的单调性解不等式.
7、D
【解析】根据 f（x）≥f（ π ）对一切 x∈R 恒成立，那么 x= π 取得最小值．结合周期判断各选项即可
0.013
则方程 ln x x 0 的一个近似根（精度为 0.1）为（）
A.0.56
B.0.57
C.0.65
D.0.8
11． x R, 不等式 ax2 4x 1 0恒成立，则 a 的取值范围为（ ）
A. a 4 C. a 4
B. a 4 或 a 0 D. 4 a 0
12．已知函数
f
x
log2
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．已知函数
f
x
x
1 1
1,
x
1,
0
，且
g
x
f
x mx 2m 在 1,1 内有且仅有两个不同的零点，则实数
2x1, x 0,1
m 的取值范围是
A.
1,
1 4
B.
,
1
1 4
,
C.
1,
1 4
D.
,
1
1 4
,
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13、
x
x
3 8
k 2
,k
Z
【解析】由 2x k k Z ，即可求出结果.
42
【详解】因为
y
tan
2x
4
，所以
2x
4
2
k
k
Z ，解得
x
3 8
k 2
,k
Z
，
所以该函数定义域为 x
x
3 8
k 2
,k
Z
.
故答案为
x
x
3 8
因为 cos 3 ，所以 5
x x2 16
3 5
，且
x
0，
解得 x 3 ，
故选：B
5、D 【解析】从充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.
【详解】若 0 x 1，则一定有 x 2 ，故充分性满足；
若 x 2 ，不一定有 0 x 1，
例如 x 3 ，满足 x 2 ，但不满足 0 x 1，故必要性不满足；
故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件.
故选： D .
6、C
【解析】令 t x2 x 1，则 f (t) 1 log3 10 ，从而 t log3 (9t 1) 1 log3 10 ，即可得到
log3 (9t 1) t log3(91 1) 1 ，然后构造函数 g(t) log3 (9t 1) t ，利用导数判断其单调性，进而可得
【点睛】本题主要考查两条直线平行的充要条件，意在考查对基础知识的理解与应用，属于基础题.
10、B
【解析】利用零点存在性定理和精确度要求即可得解.
【详解】由表格知在区间 0.5625,0.625两端点处的函数值符号相反，且区间长度不超过 0.1，符合精度要求，
因此，近似值可取此区间上任一数 故选：B 11、A 【解析】先讨论系数为 0 的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.
（2）若对任意 x R ，不等式 f (2x ) 0 恒成立，求 a 的取值范围；
（3）讨论 f (x) 零点的个数.
20．已知函数 f x sin x cos x 3 sin2 x 3
2
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）若
0, ，
f
2
1 4
，求
sin
7 12
的值
21．已知函数 f x 2 3 sin x cos x cos 2x
的是（ ）
A.
f
π 3
0
B.点
5π 6
,
0
是函数
f
x
的一个对称中心
C.
f
x
在
0,
π 6
上是增函数
D.存在直线经过点 a, b 且与函数 f x 的图象有无数多个交点
8．关于 x 的方程 lg x 1| a(a 0)的所有实数解的和为
A.2
B.4
C.6
D.8
9．如果直线 ax 1 b y 5 0 和 1 a x y b 0 同时平行于直线 x-2y+3=0，则 a,b 的值为
令
g (t )
log3 (9t
1)
t
，则
g
'(t)
1
9t ln 9 (9t 1) ln
3
1
2 9t 9t 1
，
所以 9t 0 ，所以 g '(t) 0 ，
所以 g(t) 在[ 3 , ) 单调递增， 4
所以由 g(t) g(1) ，得 3 t 1， 4
所以 3 x2 x 1 1，解得 0 x 1， 4
1,
1 4
，故选
C.
2、A
【解析】正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，
记为 O，PO=AO=R， PO1 4 ， OO1 =4-R，
在 Rt△ AOO1 中， AO1 2 ，
由勾股定理 R2 2 4 R2 得 R 9 ，
4 ∴球的表面积 S 81 ，故选 A.
A. 81 4
C. 9
B.16 D. 27
4
3．已知角 的终边过点 P1, 2，则 tan 等于（ ）
A.2
B. 2
C. 1
D. 1
2
2
4．已知角 的终边经过点 P x, 4，且 cos 3 ，则 x 的值为（）
5
A. 3
B. 3
C. 3
D. 4
5．对于实数 x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）条件
6
6
【详解】函数 f（x）=asinx+bcosx=
a2 b2 sin x ,sin
b a2 b2
周期 T=2π
由题意 x= π 取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（ π ）=0 不正确；x= π 取得最小值，那么 π + π = 2π 就是相邻的对称
6
3
6
62 3
中心，∴点（
5π 6
4
考点：球的体积和表面积 3、B 【解析】由正切函数的定义计算
【详解】由题意 tan 2 2 1
故选：B
4、B
. 【解析】根据点 P x,4 ，先表示出该点和原点之间的距离，再根据三角函数的定义列出等式，解方程可得答案.
【详解】因为角 的终边经过点 P x, 4 ，
则 r | OP | x2 16 ，
k 2
,k
Z
【点睛】本题主要考查函数的定义域，根据正切函数的定义域，即可得出结果，属于基础题型.
14、
（答案不唯一）
【解析】利用基本初等函数的性质可知满足要求的函数可以是
，其中 .
【详解】因为
的定义域为 R，是增函数，且值域为
，
所以
的定义域为 R，是减函数，且值域为
，
则
的定义域为 R，是减函数，且值域为
A.a= 1 ,b 0 2
C.a= 1 ,b 0 2
B.a= 2,b 0 D.a= 1 ,b 2
2
10．若用二分法逐次计算函数 f x ln x x 在区间0.5,1 内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：
x
0.5
1 0.75
0.625
0.1 0.462
0.155
f
1
1, h
x
表示过定点
A 2, 0
的直线，当
hx
过
1,1
时
m
1，此时两个函数有两个交点，当
hx
过
0,
1 2
时
m 1 ，此时两个函数有一个交点，所以当 1 m 1 时，两个函数有两个交点，所以 g x f x mx 2m 在
4
4
1,1
内有且仅有两个不同的零点，实数
m
的取值范围是
,0）不是函数
f（x）的一个对称中心；因为
x=
π 6
取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在
0,
π 6
是减函数 故选 D 【点睛】本题考查三角函数的性质应用，排除法求解，考查转化思想以及计算能力 8、B
【解析】本道题先构造函数 f x ，然后通过平移得到函数 h x ，结合图像，计算，即可
3 x2 x 1 1，解不等式可得答案 4 【详解】令 t x2 x 1，则 t x2 x 1 (x 1)2 3 3 ，
2 44 f (t) 1 log3 10 ，
所以 t log3 (9t 1) 1 log3 10 ，
所以 log3 (9t 1) t log3(91 1) 1 ，
16．已知函数
f
x
2 cos x
的部分图像如图所示，则
f
2
_______________.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．已知 ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，且 cosC 2b 3c .
cos A
3a
（1）角 A 的大小；
（2）若点 M 在边 AC 上，且 cos AMB 21 ， BM 7 ，求 ABM 的面积； 7
（1）求函数 f x 的对称中心；
（2）当
x
7 12
,
12
时，求函数
f
x 的值域
22．已知函数
在
上的最大值与最小值之和为
（1）求实数 的值； （2）对于任意的
，不等式
恒成立，求实数 的取值范围
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1、C
参考答案
【解析】
由 g x f x mx+2m 0，即 f x m x 2 ，分别作出函数 f x 和 y mx 2 的图象如图，由图象可知
（3）在（2）的条件下，若 CM 2AM ，试求 BC 的长.
18．已知 cos 1 ，且 是第四象限角. 3
（1）求 sin 2 和 cos 2 的值；
（2）求
tan
π 4
的值；
19．已知函数 f (x) x 2a 1，（ a 为常数）. x
（1）当 a=1时，判断 f (x) 在 (, 0) 的单调性，并用定义证明；
【详解】 x R, 不等式 ax2 4x 1 0恒成立，
当 a 0 时，显然不恒成立，
a 0 所以 Δ 16 4a 0 ，解得： a 4 .
故选：A. 12、A
【解析】由题设有 f 2 f 0 f 2 f 4 log2 4 2 ，所以 f f 2 f 2 2 ，选 A
A.充要
B.既不充分也不必要
C.必要不充分
D.充分不必要
6．已知函数 f (x) x log3 9x 1 ，则使得 f x2 x 1 1 log3 10成立的 x 的取值范围是（ ）
A. 0,
2 2
B. (, 0) (1, )
C. (0,1)
D. (,1)
7．设函数 f（x）=asinx+bcosx，其中 a，b∈R，ab≠0，若 f（x）≥f（ π ）对一切 x∈R 恒成立，则下列结论中正确 6
，
所以定义域为 R，值域为
的一个减函数是
.
故答案为：
（答案不唯一）.
15、 (, e2 2e]
【解析】不等式 f x2 2 f x a 0在[0，1]上有解等价于 a [ f (x)]2 2 f (x) ，令 g(x) e2x 2ex (0 x 1) ，
则 a g(x)max . 【详解】由[ f (x)]2 2 f (x) a 0 在[0，1]上有解，
【解析】由两直线平行时满足的条件，列出关于 a, b 方程，求出方程的解即可得到 a, b 的值.
【详解】 直线 ax 1 b y 5 0 和 1 a x y b 0 同时平行于直线 x 2y 3 0，
a
1 1
1
1b 2
a 1 2
5 3 b 3
，
解得 a 1 ,b 0 ，故选 A. 2
可得 a [ f (x)]2 2 f (x) ，即 a e2x 2ex 令 g(x) e2x 2ex (0 x 1) ，则 a g(x)max ， 因为 0 x 1，所以1 ex e ， 则当 ex e ，即 x 1 时， g(x)max e2 2e ， 即 a e2 2e ，故实数 a 的取值范围是 (, e2 2e]
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色 字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。