人教版高中数学必修二课件：3.2.3直线的一般式方程

斜角为450，则m的值是
（B）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截 距为3，则m的值是___-6_______
例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3） 并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
解：设直线为Ax+By+C=0， ∵直线过点（0，3）代入直线方程 得3B= -C， B= －C/3 又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B
解:(1)当m=0时,l1:y+4=0,l2:x+3=0, 显然l1与l2不平行;
当m

0时, l1的斜率k1


m 2
, 在y轴上的截距b1

4.
l2的斜率k 2


1 m
, 在y轴上的截距b2


3 m
.
l1 //l2 ,k1 k2 ,且b1 b2 (否则两直线重合).
即 m 1 ,且 4 3 ,m 2.
,
l1 //l2,
a 3


2 3
,
a 2.验证知, a 2适合题意.a 2.
总结：两条直线的几种位置关系
位置
直线方 程
l1
:
y

k1 x

b1
关系
l2 : y k2 x b2
重 合 k1 k2且b1 b2
平 行 k1 k2且b1 b2
l1 : A1x B1 y C1 0
y y1 y1 y2
x x1 x1 x2
不垂直于x、 y轴直线
在x轴上的截距a, 截距式 在y轴上的截距b
xy
不垂直于x、y
1 轴的直线，不
ab
过原点的直线
（二）填空
1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程_y_-_1_=_2_(_x_-_2_)__
2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是____y_=_1_____ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程_x_=__2_____
证明:方法1:把原方程变形得 (x+2y-1)m-(x+y-5)=0, 此式对于m的任意实数都成立, ∴ x+2y-1=0,
x+y-5=0.∴ x=9, y=-4.
即直线过定点(9,-4).
变：已知（k 1)x-（k-1)y-2k=0为直线l的方程， 求证：不论k为何实数，直线l必过定点，并求出 定点坐标
由三角形面积为6得 ∴A=±C/4 ∴方程为
y
3
x
O
所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0
总结：直线方程
名称 已知条件
标准方程
使用范围
斜截式
斜率k和y轴 上的截距b
y kx b
不包括y轴及平 行于y轴的直线
点斜式
斜率k和一点 P0( x0 , y0 )
y

y0

k(x

x0 )
3.2.3直线的一般式方程
目标： 1.掌握直线方程的一般式. 2.能根据条件熟练地求出直线的方程.
复习回顾
名 几何
方程 适用范
点称斜式
点条P(x0,件y0)和斜率k
y y0 k(x x0)
有围斜率的
直线
斜率k,y轴上的纵 斜截式 截距b
y kxb
有斜率的直 线
两点式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)
y

y0。
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( y2 y1)x (x1 x2) y x1( y1 y2) y1(x2 x1) 0
x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
即x+y-6=0.(3)由直线AC的方程
y 1 3.
令x=0,则
由直线BC的方程x+y-6=0, 令x=0,则y=6.
所以两交点间的距离为 | 6 1 3 | 5 3.
小结：
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式 斜截式 两点式
截距式
(x0,y0) , k k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
2
(2)经过点B(4,2),平行于x轴;
(3)在x轴,y轴上的截距分别是 3 ,-3.
2
例2:求直线l:3x+5y-15=0的斜率以及它 在x轴,y轴上的截距,并画图.
练习：求直线3x+2y+6=0的斜截式和截 距式方程
巩固训练（二）
设直线l的方程为Ax+By+c=0（A，B不同时为 零）
根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的 关系： 直线l过原点:___C__=_0______ 直线l过点(1,1):_A__+_B_+_C__=_0__ 直线l平行于 轴:_A_=__0_,B_=__0_,C_=_0
(1)l在x轴上的截距是-3；
(2)l的斜率是-1。
10.已知△ABC在第一象 限,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:
(1)AB所在直线的方程; (2)AC和BC所在直线的方程; (3)AC,BC所在直线与y轴的交点间的距离.
分析:求AB的方程时,先观察两点坐标易得,AC,BC通过画图 易求其斜率,然后点斜式写出即可.
l2 : A2 x B2 y C2 0 A1B2 A2B1 0
且A1C2 A2C1 0 A1B2 A2B1 0
且A1C2 A2C1 0
垂直
k1k2 1
A1A2 B1B2 0
相交
k1 k2
A1B2 A2B1 0
题型三 综合问题
例3:求证:不论m取什么实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5总 过某一定点. 分析:由题意知,不论m取什么值,直线总是通过定点,也就是 说与m的取值无关,因此可将方程变形为m的方程,令m的 系数为0,解方程组得出定点坐标.
11
解:(1)因为kAB= 5 1 =0,
所以AB所在直线方程为y=1. (2)kAC=tan60°= 3 ,
所以AC所在直线方程为
y-1=
3 (x-1),即
3 x-y+1-
3 =0,
又kBC=tan(180°-45°)=-tan45°=-1, 所以BC所在直线方程为y-1=-(x-5),
3x y 1 3 0,
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线为：
(1)平行于x轴 (2)平行于y轴
A=0 即 By+C=0 B=0 即 Ax+C=0
(3)与x轴重合 A=0 且C=0 即 y=0
(4)与y轴重合 B=0 且C=0 即 x=0
例题分析
例1、已求知直直线线的经点过斜点式A和（一6，般-式方4）程，.斜率为 34 ，
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的
系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列.
练习
根据下列条件,写出直线的方程,并把它化
成一般式 (1)经过点A(8,-2),斜率是 1 ;
1、若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线，则实 数m的取值范围是m≠__0________.
2、 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
3、设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6， 根据下列条件分别确定m的值。[来源:学_科_网]
思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程? 所有的直线方程是否都是二元一次方程？
新课讲解
上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
y y 1 k(x x1) y kx b
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
则a等于( )
A.2
B.1
C.0
D.-1
解析:由题意得a(a+2)=-1,即(a+1)2=0,∴a=-1.
答案:D
练2.(上海高考)已知两条直线l1:ax+3y-3=0, l2:4x+6y-1=0,若l1∥l2,则a=___2_____.
解析 : l1的斜率k1

a 3
, l2的斜率k2


2 3
x轴上截距a y轴上截距b
y-y0=k(x-x0) 有斜率的直线
y=kx+b
有斜率的直线
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
过点（x0 , y0）与x轴垂直的直线可表示成 x x0，
过点（x0
,
y
）
0
与y轴垂直的直线可表示成
Ax By C 0
不包括过原点 的直线以及与 坐标轴平行的 直线
A,B不同时为零
例5.已知A（2,2）和直线l:3x+4y-20=0 求：（1）过点A和直线l平行的直线方
程
（2）过点A和直线l垂直的直线方程
变式训练:已知三直线l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y1=0,求证:l1∥l2,l1⊥l3.
证明:把l1、l2、l3的方程写成斜截式得
l1
:
y

1 2
x

7 4
;
l2
:
y

1 2
x

5 2
;
l3
:
y

2x

1 2
.
1 75 k1 k2 2 ,b1 4 2 b2 ,
l1 //l2. k3 2,k1 k3 1,l1 l3.
例6:已知两条直线方程 l1:mx+2y+8=0,l2:x+my+3=0,当m为何 值时: (1)两直线互相平行; (2)两直线互相垂直.
2m
m
综上知,当m 2时, l1与l2互相平行.
(2)由(1)知,当m=0时,显然有l1⊥l2;
当m≠0时,若l1⊥l2,则有 此时m不存在.
m ( 1 ) 1, 2m
综上知,当m=0时,l1与l2互相垂直.
练1.(福建高考)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,
不包括y轴及与 y轴平行的直线
两点式
点 点
P1( x1, y1) 和 P2( x2 , y2 )
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
不包括坐标轴 以及与坐标轴 平行的直线
截距式 一般式
在x轴上的截
距a,即点(a , 0)
在y轴上的截
距b,即点(0, b)
x y 1 ab
直线l平行于轴:__A_=_0_,_B_=_0_,_C_=_0
例3：设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1） y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的 截距是-3；（2）斜率是-1。
解：（1）由题意得
(2)由题意得
巩固训练（三）
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾