高中数学第3章导数及其应用34生活中的优化问题举例课件新人教A版选修1
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(1)求 a，b 的值； (2)如果该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品，请你帮 他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
解：(1)由投资额为零时收益为零，可知 f(0)＝－a＋2＝0， 解得 a＝2.g(0)＝6ln b＝0，解得 b＝1.
(2)由(1)可得，f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)． 设投入经销 B 商品的资金为 x 万元(0<x≤5)，则投入经销 A 商品的资金为(5－x)万元， 设所获得的收益为 S(x)万元，则 S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1) ＝6ln(x＋1)－2x＋10(0<x≤5)．
11.5 升，欲使每小时的油耗不超过 9 升，求 x 的取值范围；
(2)求该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值．
【思路探索】 (1)中先利用条件确定 k 的值．(2)中列出汽 车行驶 100 千米的油耗的函数关系式，再求解．
【解】 (1)∵当 x＝120 时，每小时油耗 11.5 升， ∴15120－k＋4152000＝11.5，解得 k＝100. 若每小时油耗不超过 9 升，则15x－100＋4 5x00≤9，解得 45≤x≤100. 又 60≤x≤120， ∴x 的取值范围为[60,100]．
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
(2019·遂宁月考)某个体户计划经销 A， B 两种商品，据调查统计，当投资额为 x(x≥0)万元时，在经销 A，B 商品中所获得的收益分别为 f(x)万元与 g(x)万元，其中 f(x) ＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a>0，b>0)．已知投资额为零时收 益均为零．
[名 师 点 拨] 认真读题，理解题意，建立数学模型是关键．化简函数关 系式，利用导数求解．定义域要与实际问题相联系．有时要分 情况讨论.
某单位用 2 160 万元购得一块空地，计 划在该地块上建造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房， 经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费 用为 560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用 最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑
0<x<16) ， 则 两 个 正 方 形 面 积 之 和 为
S(x)
＝
x 4
2
＋
16－x 4
2(0<x<16)，则 S′(x)＝1x62 ＋4－4x2′＝14(x－8)．令 S′(x)＝0，得 x
＝8.∴当 0<x<8 时，S′(x)<0；当 8<x<16 时，S′(x)>0.∴x＝8 是函
数 S(x)的极小值点，也是最小值点．
故 x＝2 10时，函数有最小值． 即当 C 点到 A 点的距离为 2 10 km 时，垃圾处理厂对两 地的总影响度最小．
课堂基础达标
即学即练 稳操胜券
1．把长度为 16 的线段分成两段，各围成一个正方形，它
们面积和的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解 析 ： 设其中一段长为 x ，则另一段长为 16 －x( 其 中
地的总影响度为 y，统计调查表明：垃圾处理厂对 A 地的影响度 与其到 A 地距离的平方成反比，比例系数为 4；对 B 地的影响 度与其到 B 地的距离的平方成反比，比例系数为 k，当垃圾处理
︵ 厂建在AB的中点时，对 A，B 两地的总影响度为 0.26.
(1)将 y 表示成 x 的函数； ︵
(2)判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对 A，B 两地的总影响度最小？若存在，求出该点到 A 地的距离； 若不存在，说明理由．
‖知识梳理‖ 1．优化问题 生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问 题，这些问题通常称为____优__化__问__题____．
2．解决优化问题的基本思路
重点难点突破
解剖难点 探究提高
1．利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，抽象出实际问题的数 学模型，列出函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导函数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0；求得函数 可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数 值的大小，得出函数的最值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
∴当 x＝8 时，S(x)取最小值，S(x)最小＝S(8)＝8，即两个正方
形面积之和的最小值是 8，故选 D. 答案：D
2．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：
万件)的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获
[名 师 点 拨] 实际生活中的容积、面积最大，效率最高，利润最大等问 题都需要用导数求解得相应的最大值，此时根据 f′(x)＝0 求出极 值点后，要根据问题的实际意义舍去不合适的极值点．若函数 在该点左增右减，则此时唯一的极大值就是所求实际问题的最 大值.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
又 60≤k≤120，∴75≤k≤120 时， 当 x＝9 0k00时，ymin＝20－9k020； 当9 0k00>120，即 60≤k<75 时， 当 x＝120 时，ymin＝1045－6k. 综上，当 75≤k<120，该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值 为 20－9k020 升，当 60≤k<75，该汽车行驶 100 千米的油耗的最 小值为1045－6k升．
2．用导数解决优化问题应注意 (1)在列出函数的解析式时，要注意实际问题中变量的取值 范围，即函数的定义域． (2)一般情况下，是通过求函数的极值来求得函数的最值．如 果函数 f(x)在给定区间内只有一个极值点或在开区间上只有一 个点使 f′(x)＝0，则只要根据实际问题的意义判断该值是最大值 还是最小值即可，也就是说不必再与端点处的函数值进行比较．
15 时，f(x)取最小值．
∴为了楼房每平方米的综合费用最小，该楼房应建为 15 层．
题型三 综合问题 如图，已知抛物线 y2＝4x 的顶点为 O，点 A(5,0)．倾
斜角为π4的直线 l 与线段 OA 相交，且不经过 O，A 两点，直线 l 交抛物线于点 M，N，求使△AMN 的面积最大时的直线 l 的方程．
【解】 设容器高为 x cm，容器的容积为 V(x) cm3， 则 V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)． 求 V(x)的导数，得 V′(x)＝12x2－552x＋4 320 ＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)． 令 V′(x)＝0，得 x1＝10，x2＝36(舍去)． 当 0<x<10 时，V′(x)>0，那么 V(x)为增函数；
当 10<x<24 时，V′(x)<0，那么 V(x)为减函数． 因此，在定义域(0,24)内，函数 V(x)只有当 x＝10 时取得最 大值，其最大值为 V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)． 故当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3.
题型二 最小值问题
(2019·江阴一中期中)某辆汽车以 x 千米/时的速度
在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求
60≤x≤120)
时
，
每
小
时
的
油
耗
(
所
需
要
的
汽
油
量
)
为
1 5
x－k＋4
5x00升，其中
k
为常数，且
60≤k≤120.
(1)若汽车以 120 千米/时的速度行驶时，每小时的油耗为
S′(x)＝x＋6 1－2，令 S′(x)＝0，得 x＝2. 当 0<x<2 时，S′(x)>0，函数 S(x)单调递增； 当 2<x≤5 时，S′(x)<0，函数 S(x)单调递减． 所以，当 x＝2 时，函数 S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6(万元)． 所以，当投入经销 A 商品 3 万元，B 商品 2 万元时，他可 获得最大收益，收益的最大值约为(6ln 3＋6)万元．
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 最大值问题 用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一
个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边 翻转 90°角，再焊接而成(如图)．问该容器的高为多少时，容器 的容积最大？最大容积是多少？
【思路探索】 设出容器的高为 x cm，则可用 x 表示出容 器的长和宽，列出容器体积关于 x 的函数解析式，再利用导数 求解．
【思路探索】 设直线 l 的方程为 y＝x＋b，与 y2＝4x 联立， 消去 x，得关于 y 的一元二次方程．利用根与系数的关系求|MN|， 求出点 A 到直线 MN 的距离 d，得△AMN 的面积 S＝12|MN|·d， 然后求 S 的最值．
【解】 依题意设直线 l 的方程为 y＝x＋b，它与 x 轴的交 点 P(－b,0)(－5<b<0)．
则 f′(b)＝－3b2－18b－15. 令 f′(b)>0 得，－5<x<－1，此时 f(b)单调递增；令 f′(b)<0 得， x>－1 或 x<－5，此时 f(b)单调递减． ∴当 b＝－1 时，f(b)最大，即 S△AMN 最大， ∴当△AMN 面积最大时，直线 l 的方程为 y＝x－1.
(2)设汽车行驶 100 千米油耗为 y 升，则 y＝10x0·15x－k＋4 5x00＝20－20xk＋90x0200(60≤x≤120)． y′＝2x02k－180x3000＝20kx－x1380 000， 令 y′＝0，得 x＝9 0k00， 当 60≤9 0k00≤120，即 75≤k≤150，
[名 师 点 拨] 在利用导数研究实际问题中的最值时，如果在定义域内导 环境，某市计划 ︵
在以 A，B 两地为直径的半圆弧AB上选择一点 C 建造垃圾处理厂(如图所示)，已知 A，B 两地的 距离为 10 km，垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离有关， 对 A，B 两地的总影响度为对 A 地的影响度和对 B 地影响度的 和，记 C 点到 A 地的距离为 x km，垃圾处理厂对 A，B 两
复习课件
高中数学第3章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例课件新人教A版选 修1
2021/4/17
高中数学第3章导数及其应用34生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1
第三章 导数及其应用
3．4 生活中的优化问题举例
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梳理知识 夯实基础
目标导学
1．了解导数在解决实际问题中的作用． 2．掌握利用导数解决生活中的优化问题．
购地总费用 费用＋平均购地费用，平均购地费用＝建筑总面积）
解：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，
则
f(x)＝(560＋48x)＋2
160×10 2 000x
000＝560＋48x＋10
x800，
∴f′(x)＝48－10x8200.
令 f′(x)＝0，得 x＝15.
当 x>15 时，f′(x)>0；当 0<x<15 时，f′(x)<0，因此，当 x＝
解：(1)由题意 AC⊥BC，BC2＝100－x2， 则 y＝x42＋100k－x2(0<x<10)， 其中，当 x＝5 2时，y＝0.26，故 k＝9. ∴y＝x42＋1009－x2(0<x<10)．
(2)存在．由(1)可得 y′＝－x38＋－190×0－－x22x2 ＝ 10xx2－314000－x2x＋22200， 令 y′＝0 得 x2＝40，∴x＝2 10， 当 0<x<2 10时，y′<0，故函数在区间(0,2 10)上单调递减， 当 2 10<x<10 时，y′>0，故函数在区间(2 10，10)上单调递 增，
由yy2＝＝x4＋x，b， 得 y2－4y＋4b＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 y1＋y2＝4，y1y2＝4b.
∴|y2－y1|＝ y2＋y12－4y1y2＝ 42－16b＝4 1－b. ∴|MN|＝ 2|y2－y1|＝4 2· 1－b.又点 A(5,0)到直线 l 的距离 为 d＝5＋2b. ∴S△AMN＝12|MN|·d＝2 5＋b21－b. 令 f(b)＝(5＋b)2(1－b)(－5<b<0)，
解：(1)由投资额为零时收益为零，可知 f(0)＝－a＋2＝0， 解得 a＝2.g(0)＝6ln b＝0，解得 b＝1.
(2)由(1)可得，f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)． 设投入经销 B 商品的资金为 x 万元(0<x≤5)，则投入经销 A 商品的资金为(5－x)万元， 设所获得的收益为 S(x)万元，则 S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1) ＝6ln(x＋1)－2x＋10(0<x≤5)．
11.5 升，欲使每小时的油耗不超过 9 升，求 x 的取值范围；
(2)求该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值．
【思路探索】 (1)中先利用条件确定 k 的值．(2)中列出汽 车行驶 100 千米的油耗的函数关系式，再求解．
【解】 (1)∵当 x＝120 时，每小时油耗 11.5 升， ∴15120－k＋4152000＝11.5，解得 k＝100. 若每小时油耗不超过 9 升，则15x－100＋4 5x00≤9，解得 45≤x≤100. 又 60≤x≤120， ∴x 的取值范围为[60,100]．
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
(2019·遂宁月考)某个体户计划经销 A， B 两种商品，据调查统计，当投资额为 x(x≥0)万元时，在经销 A，B 商品中所获得的收益分别为 f(x)万元与 g(x)万元，其中 f(x) ＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a>0，b>0)．已知投资额为零时收 益均为零．
[名 师 点 拨] 认真读题，理解题意，建立数学模型是关键．化简函数关 系式，利用导数求解．定义域要与实际问题相联系．有时要分 情况讨论.
某单位用 2 160 万元购得一块空地，计 划在该地块上建造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房， 经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费 用为 560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用 最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑
0<x<16) ， 则 两 个 正 方 形 面 积 之 和 为
S(x)
＝
x 4
2
＋
16－x 4
2(0<x<16)，则 S′(x)＝1x62 ＋4－4x2′＝14(x－8)．令 S′(x)＝0，得 x
＝8.∴当 0<x<8 时，S′(x)<0；当 8<x<16 时，S′(x)>0.∴x＝8 是函
数 S(x)的极小值点，也是最小值点．
故 x＝2 10时，函数有最小值． 即当 C 点到 A 点的距离为 2 10 km 时，垃圾处理厂对两 地的总影响度最小．
课堂基础达标
即学即练 稳操胜券
1．把长度为 16 的线段分成两段，各围成一个正方形，它
们面积和的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解 析 ： 设其中一段长为 x ，则另一段长为 16 －x( 其 中
地的总影响度为 y，统计调查表明：垃圾处理厂对 A 地的影响度 与其到 A 地距离的平方成反比，比例系数为 4；对 B 地的影响 度与其到 B 地的距离的平方成反比，比例系数为 k，当垃圾处理
︵ 厂建在AB的中点时，对 A，B 两地的总影响度为 0.26.
(1)将 y 表示成 x 的函数； ︵
(2)判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对 A，B 两地的总影响度最小？若存在，求出该点到 A 地的距离； 若不存在，说明理由．
‖知识梳理‖ 1．优化问题 生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问 题，这些问题通常称为____优__化__问__题____．
2．解决优化问题的基本思路
重点难点突破
解剖难点 探究提高
1．利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，抽象出实际问题的数 学模型，列出函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导函数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0；求得函数 可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数 值的大小，得出函数的最值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
∴当 x＝8 时，S(x)取最小值，S(x)最小＝S(8)＝8，即两个正方
形面积之和的最小值是 8，故选 D. 答案：D
2．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：
万件)的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获
[名 师 点 拨] 实际生活中的容积、面积最大，效率最高，利润最大等问 题都需要用导数求解得相应的最大值，此时根据 f′(x)＝0 求出极 值点后，要根据问题的实际意义舍去不合适的极值点．若函数 在该点左增右减，则此时唯一的极大值就是所求实际问题的最 大值.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
又 60≤k≤120，∴75≤k≤120 时， 当 x＝9 0k00时，ymin＝20－9k020； 当9 0k00>120，即 60≤k<75 时， 当 x＝120 时，ymin＝1045－6k. 综上，当 75≤k<120，该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值 为 20－9k020 升，当 60≤k<75，该汽车行驶 100 千米的油耗的最 小值为1045－6k升．
2．用导数解决优化问题应注意 (1)在列出函数的解析式时，要注意实际问题中变量的取值 范围，即函数的定义域． (2)一般情况下，是通过求函数的极值来求得函数的最值．如 果函数 f(x)在给定区间内只有一个极值点或在开区间上只有一 个点使 f′(x)＝0，则只要根据实际问题的意义判断该值是最大值 还是最小值即可，也就是说不必再与端点处的函数值进行比较．
15 时，f(x)取最小值．
∴为了楼房每平方米的综合费用最小，该楼房应建为 15 层．
题型三 综合问题 如图，已知抛物线 y2＝4x 的顶点为 O，点 A(5,0)．倾
斜角为π4的直线 l 与线段 OA 相交，且不经过 O，A 两点，直线 l 交抛物线于点 M，N，求使△AMN 的面积最大时的直线 l 的方程．
【解】 设容器高为 x cm，容器的容积为 V(x) cm3， 则 V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)． 求 V(x)的导数，得 V′(x)＝12x2－552x＋4 320 ＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)． 令 V′(x)＝0，得 x1＝10，x2＝36(舍去)． 当 0<x<10 时，V′(x)>0，那么 V(x)为增函数；
当 10<x<24 时，V′(x)<0，那么 V(x)为减函数． 因此，在定义域(0,24)内，函数 V(x)只有当 x＝10 时取得最 大值，其最大值为 V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)． 故当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3.
题型二 最小值问题
(2019·江阴一中期中)某辆汽车以 x 千米/时的速度
在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求
60≤x≤120)
时
，
每
小
时
的
油
耗
(
所
需
要
的
汽
油
量
)
为
1 5
x－k＋4
5x00升，其中
k
为常数，且
60≤k≤120.
(1)若汽车以 120 千米/时的速度行驶时，每小时的油耗为
S′(x)＝x＋6 1－2，令 S′(x)＝0，得 x＝2. 当 0<x<2 时，S′(x)>0，函数 S(x)单调递增； 当 2<x≤5 时，S′(x)<0，函数 S(x)单调递减． 所以，当 x＝2 时，函数 S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6(万元)． 所以，当投入经销 A 商品 3 万元，B 商品 2 万元时，他可 获得最大收益，收益的最大值约为(6ln 3＋6)万元．
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归纳透析 触类旁通
题型一 最大值问题 用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一
个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边 翻转 90°角，再焊接而成(如图)．问该容器的高为多少时，容器 的容积最大？最大容积是多少？
【思路探索】 设出容器的高为 x cm，则可用 x 表示出容 器的长和宽，列出容器体积关于 x 的函数解析式，再利用导数 求解．
【思路探索】 设直线 l 的方程为 y＝x＋b，与 y2＝4x 联立， 消去 x，得关于 y 的一元二次方程．利用根与系数的关系求|MN|， 求出点 A 到直线 MN 的距离 d，得△AMN 的面积 S＝12|MN|·d， 然后求 S 的最值．
【解】 依题意设直线 l 的方程为 y＝x＋b，它与 x 轴的交 点 P(－b,0)(－5<b<0)．
则 f′(b)＝－3b2－18b－15. 令 f′(b)>0 得，－5<x<－1，此时 f(b)单调递增；令 f′(b)<0 得， x>－1 或 x<－5，此时 f(b)单调递减． ∴当 b＝－1 时，f(b)最大，即 S△AMN 最大， ∴当△AMN 面积最大时，直线 l 的方程为 y＝x－1.
(2)设汽车行驶 100 千米油耗为 y 升，则 y＝10x0·15x－k＋4 5x00＝20－20xk＋90x0200(60≤x≤120)． y′＝2x02k－180x3000＝20kx－x1380 000， 令 y′＝0，得 x＝9 0k00， 当 60≤9 0k00≤120，即 75≤k≤150，
[名 师 点 拨] 在利用导数研究实际问题中的最值时，如果在定义域内导 环境，某市计划 ︵
在以 A，B 两地为直径的半圆弧AB上选择一点 C 建造垃圾处理厂(如图所示)，已知 A，B 两地的 距离为 10 km，垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离有关， 对 A，B 两地的总影响度为对 A 地的影响度和对 B 地影响度的 和，记 C 点到 A 地的距离为 x km，垃圾处理厂对 A，B 两
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2021/4/17
高中数学第3章导数及其应用34生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1
第三章 导数及其应用
3．4 生活中的优化问题举例
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梳理知识 夯实基础
目标导学
1．了解导数在解决实际问题中的作用． 2．掌握利用导数解决生活中的优化问题．
购地总费用 费用＋平均购地费用，平均购地费用＝建筑总面积）
解：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，
则
f(x)＝(560＋48x)＋2
160×10 2 000x
000＝560＋48x＋10
x800，
∴f′(x)＝48－10x8200.
令 f′(x)＝0，得 x＝15.
当 x>15 时，f′(x)>0；当 0<x<15 时，f′(x)<0，因此，当 x＝
解：(1)由题意 AC⊥BC，BC2＝100－x2， 则 y＝x42＋100k－x2(0<x<10)， 其中，当 x＝5 2时，y＝0.26，故 k＝9. ∴y＝x42＋1009－x2(0<x<10)．
(2)存在．由(1)可得 y′＝－x38＋－190×0－－x22x2 ＝ 10xx2－314000－x2x＋22200， 令 y′＝0 得 x2＝40，∴x＝2 10， 当 0<x<2 10时，y′<0，故函数在区间(0,2 10)上单调递减， 当 2 10<x<10 时，y′>0，故函数在区间(2 10，10)上单调递 增，
由yy2＝＝x4＋x，b， 得 y2－4y＋4b＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 y1＋y2＝4，y1y2＝4b.
∴|y2－y1|＝ y2＋y12－4y1y2＝ 42－16b＝4 1－b. ∴|MN|＝ 2|y2－y1|＝4 2· 1－b.又点 A(5,0)到直线 l 的距离 为 d＝5＋2b. ∴S△AMN＝12|MN|·d＝2 5＋b21－b. 令 f(b)＝(5＋b)2(1－b)(－5<b<0)，