贵州省遵义四中09-10学年高二数学半期考试试题(理) 人教版

遵义四中2009-2010第二学期半期考试题高二数学（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、下列命题中是真命题的是（ ）
A 、空间中的两个平面有一条公共的直线
B 、海水水面是平面
C 、如果,,A B C 三点不在同一条直线上，则,,A B C 三点确定一个平面
D 、镜面是平面 2、由数字123456、、、、、可以组成没有重复数字的三位数中，能被2整除或能被5整除的三位数的个数是 （ ）
A 、60
B 、70
C 、80
D 、90 3、向量,a b 不共线，p ma nb =+，则0p =的充分必要条件是（ ）
A 、mn o =
B 、00m n ==且
C 、m+n=0
D 、m n =
4、如果平面α平面,,,,l A C B βαβ=∈∈且,AB BC αβ⊥⊥，那么l 与直线AC 的位置关系是（ ）
A 、异面
B 、平行
C 、垂直
D 、 不确定 5、若131223PP PP P P =+，则下列结论正确的是（ ）
○1123,,P P P 三点共线 ○2、1P 在线段23P P 上 ○3、2P 在线段13P P 上 ○4、3P 在线段12PP 上 A 、○1○2 B 、○1○3 C 、○2 ○3 D 、○3○4 6、下列命题中正确的是 （ ） A 、
////a b a b αα⎫⇒⎬⊂⎭ B 、////a b b b αα⎫
⇒⎬⊂⎭
C 、//////a b a b αα⎫⇒⎬
⎭
D 、////a b b a a ααα⎫⎪
⊂⇒⎬⎪⊄⎭
7、设,,,,,3
6
a b a c b c π
π
⊥=
=
且1,2,3a b c ==
=，则a b c ++
=（ ）
A
8、有一块直角三角板ABC ，0030,90,A
B B
C ∠=∠=边在桌面上，当三角板所在的平面与桌面成045角时，
AC 边与桌面所成的角等于（ ） A 、
6π B 、4π C 、arcsin 4 D
、arccos 4
9、一个直角三角形的两个直角边长为,a b ，沿斜边高折成直二面角，则折叠后原两个直角边所夹角的余弦值为（
）
A 、
22
ab a b + B
C D 10、四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，侧棱与底
面边长为2a ，且1A AD ∠=0
160
A A
B ∠=，则侧棱1AA 与截面11B D DB 的距离是（ ）
A 、4a
B 、3a
C 、2a
D 、a
11、在北纬045圈上有,A B 两地， A 在东经0120，B 在西经0
150， 设地球的半径为R ，则,A B 两地的球面距离是（ ）
A 、53R π
B 、2R π C
、4
R D 、3R π 12、如图，已知在矩形ABCD
中，,AB BC a PA ==⊥面ABCD ，若BC 边上找到一点Q 满足PQ QD ⊥，则边长a
取值范围
A
、)⎡+∞⎣
B
、()
+∞
C
、)
⎡+∞⎣
D ()
+∞
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、一个多面体的棱数为8，面数为5，则这个多面体的顶点数为 。

14、已知()()cos ,1,sin ,sin ,1,cos a b αααα==，则a b +与a b -的夹角 。

15、已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角
A BD C --为120，则点A 到BCD △所在平面的距离等于 ． 16、将正⊿ABC 分割成n 2
（n ≥2，n ∈N ）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= _______， f(n)= _____ __
三、解答题，共７０分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤。

17、（本大题满分10分）已知底面为菱形的直四棱 柱1
111ABCD A B C D -，
求证：1AC BD ⊥
18、(本小题满分12分) 在正三棱柱ABC -1A 1B 1C 中，AB =4, A 1A =2, 求异面直线1AB 与1BC 所成角的正弦值 C
19、(本小题满分12分) 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =． M 为PD 的中点，点O 为BD 的中点， （1）求BM 与平面PAB 所成角的大小
（2）求点O 到平面ABM 的距离
20、(本小题满分12分) 已知ABC ∆的三个顶点()()()1,0,1,2,2,2,0,2,3A B C ，求ABC ∆的面积
21、(本小题满分12分) 如图，一张平行四边形的硬纸片0ABC D 中，1AD BD ==，
2AB =．沿它的对角线BD 把0BDC ∆折起，使点0C 到达平面0ABC D 外点C 的位置． （Ⅰ）证明：平面0ABC D ⊥平面0CBC ；
（Ⅱ）当二面角A BD C --为120︒时，求AC 的长
O
A P B
M
22、(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
（II ）设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM BCE 平面？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III ）求二面角F BD A --的大小。

理 科 答 案
一、选择题CCBCB
DACAD
DA
二、填空题13、5 14、0
90 15、
3
2
16、()()()()121033
6
n n f f n ++==
三、解答题 17、略 18、
26
5
19、()21:arctan 2（或36arcsin ,arccos 33
） ()2:1 20、1
21、（Ⅰ）证明：因为01AD BC BD ===，
02AB C D ==，所以090DBC ∠=︒．
因为折叠过程中，090DBC DBC ∠=∠=︒， 所以DB BC ⊥，又0DB BC ⊥，故DB ⊥平面0CBC ． 又DB ∈平面0ABC D ， 所以平面0ABC D ⊥平面0CBC ．
（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）知BC DB ⊥，0BC DB ⊥，
所以0CBC ∠是二面角0C BD C --的平面角．由已知得，060CBC ∠=︒． 作0CF C B ⊥，垂足为F ， 由01BC BC == 可得3
2
CF =，12BF =．
连结AF ，在ABF ∆中，
2221113
(2)()22cos135224
AF =+-⨯⨯⨯︒=．因为平面0ABC D ⊥平面0CBC ，
所以CF ⊥平面0ABC D ，可知CF AF ⊥．在Rt AFC ∆中，22133244AC AF CF =+=+=．
解法二：由已知得090ADB DBC ∠=∠=︒．以D 为原点，射线DA ，DB 分别为x ，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，0(1,1,0)C -，(0,0,0)D ．
由（Ⅰ）知BC DB ⊥，0BC DB ⊥，所以0CBC ∠为二面角0C BD C --的平面角．由已知可得060CBC ∠=︒，
所以
13
(,1,)
22
C -．所以
2213
(1)1()222
AC =--++=，即AC 的长为2．
22.解法一：（Ⅰ）因为平面ABEF ⊥平面ABCD ,BC ⊂平
面ABCD ，平面ABEF
平面ABCD AB =，
所以BC ⊥平面ABEF 所以BC ⊥EF . 因为ABE ∆为等腰直角三角形， AB AE =，
所以45AEB ∠= 又因为45AEF ∠=， 所以454590FEB ∠=+=， 即EF ⊥BE B =, 所以EF ⊥平面BCE 。

……………………………………4分（Ⅱ）存在点M ,当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE 取BE 的中点N ，连接AN,MN ，则MN ∥＝1
2
AB ∥＝PC 所以PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN
因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内， 所以PM ∥平面BCE ………8分 （Ⅲ）由EA ⊥AB,平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD 作FG ⊥AB,交BA 的延长线于G ，则FG ∥EA 。

从而，FG ⊥平面ABCD 作GH ⊥BD 于G ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD ⊥FH 因此，∠AEF 为二面角F-BD-A 的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°，∠FAG=45°. 设AB=1,则AE=1,AF=
2
2
. FG=AF ·sinFAG=12
在Rt △FGH 中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+
12=3
2
, GH=BG ·sinGBH=
32·22=324
在Rt △FGH 中，tanFHG=
FG GH = 2
3
故二面角F-BD-A 的大小为arctan 2
3
.…12分 解法二:
(Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE ⊥AB.又因为平面ABEF ⊥平面ABCD,AE ⊂平面ABEF,平面ABEF ∩平面ABCD=AB, 所以AE ⊥平面ABCD. 所以AE ⊥AD.
因此,AD,AB,AE 两两垂直,以A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B （0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°. 从而，11
(0,,)22
F -. 所以11
(0,,)22EF =-
,(0,1,1)BE =-,(1,0,0)BC =. 11
0022
EF BE •=+-=,0EF BC •=. 所以EF ⊥BE, EF ⊥BC.
因为BE ⊂平面BCE,BC ∩BE=B , 所以EF ⊥平面BCE.
(Ⅱ) M （0，0，
12）.P （1, 12,0）. 从而PM =（1,-12-，1
2
）. 于是1111
1, , 2222
PM EF ⋅=
--⋅--（，）（0，）=0 所以PM ⊥FE ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE. 。

…8分
(Ⅲ) 设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n =（x ，y ，z ）
BD =(1，-1，0)，31(0,,)22BF =- 110
0n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即031
022
x y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 去y=1，则x=1，z=3，从1n =（0，0，3） 取平面ABD 的一个法向量为2n =（0，0，1）
12
12
12
3
cos
,
11
||||11
n n
n n
n n
⋅
===
⋅
故二面角F-BD-A的大小为arccos
11
. ……………………………………12分。